1、分形几何分形几何2分形几何分形几何仿射变换仿射变换是一种实现几何变换的公式，平移、比例、旋转、对称和错切变换是二维仿射变换的特例，任何常用的二维仿射变换总可表示为这五种变换的组合。3分形几何分形几何v其数学表达为：一个二维仿射变换：R2 R2feyxdcbayxa,b,c,d,e,f均为实数。这是一种最广泛的线性变换。4分形几何分形几何v我们可以通过一系列的收缩仿射变换，使某图形具备自相似性，从而得到分形结构。5分形几何分形几何科赫曲线给定线段AB，科赫曲线可以由以下步骤生成：将线段分成三等份（AC,CD,DB）；以CD为底，向外（内外随意）画一个等边三角形DMC；将线段CD移去；分别对AC,
2、CM,MD,DB重复13。6分形几何分形几何7分形几何分形几何8分形几何分形几何康托三分集合取一条长度为1的直线段E0，将它三等分，去掉中间一段，剩下两段记为E1，将剩下的两段再分别三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段记为E2，将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集。910分形几何分形几何11分形几何分形几何v康托三分集中有无穷多个点，所有的点处于非均匀分布状态。此点集具有自相似性，其局部与整体是相似的，所以是一个分形系统。12分形几何分形几何 Mandelbrot集合曼德博集
3、合可以用复二次多项式来定义：fc(z)=z2+C;其中 c 是一个复数参数。从 z=0 开始对 fc(z)进行迭代：13分形几何分形几何14分形几何分形几何v上图是曼德布洛特集最常见的表现形式，它给我们提供了一种理解周围世界的粗糙程度的方式。这一以数学家贝努瓦曼德布洛特命名的理论观察到，不管是在物理、生物和经济等各种领域中的许多复杂现象，都可以“以严格而有力的定量形式逼近。”15分形几何分形几何16分形几何分形几何17分形几何分形几何18分形几何分形几何19分形几何分形几何20分形几何分形几何21分形几何分形几何 Julia集合在复平面上，对于复数Z和C，如果存在变换 Zn+1=Zn2+C，那
4、么所有这些初始的复数Z所构成的集合称为Julia集，它随着C的变化而变化。22分形几何分形几何v经迭代后，最后的Z值有三种可能：1、Z值没有界限增加（趋向无穷）；2、Z值衰减（趋向于0）；3、Z值是变化的，即非1或非2 vJulia集的形状基本上分三种：象尘埃一样的结构、稳定的固态型或象树枝状。23分形几何分形几何24分形几何分形几何v分析的获取1.关于复数由于承认“负数也能开平方”将会带来很多幽雅和便利的结论，因此我们发明了虚数，用 i 来表示-1 的平方根（即虚数单位），并把实数扩展为复数（即一切形如 a+b i 的数）。25分形几何分形几何v正如实数可以用数轴上的点来表示一样，复数可以用
5、平面直角坐标系上的点来表示。令 x 轴表示复数的实数部分，令 y 轴表示复数的虚数部分，则 a+b i 就对应了平面上的点(a,b)。我们把这个平面直角坐标系叫做“复平面”。26分形几何分形几何v 复数与复数之间不但可以相加相减，还可以相乘相除。(a+b i)+(c+d i)就等于(a+c)+(b+d)i，而(a+b i)(c+d i)则等于(ac-bd)+(bc+ad)i。需要注意的是，我们不能讨论一个复数乘以另一个复数后是变大了还是变小了，因为复数根本没有大小之分没有大小之分。如果真的要比较它们的大小，我们可以比较它们的模。复数 a+b i 的模就是 a2+b2 的平方根，也就是它到复平面
6、原点的距离。27分形几何分形几何v 我们用不同的颜色来表示不同大小的模，那么整个复平面大致如下图所示。28v如果我们用|z|来表示复数 z 的模，那么上图也就是函数 f(z)=|z|的“等高线地图等高线地图”。v复数的模有一个重要的性质：乘积的模等于模的乘积，即|ab|=|a|b|。v我们对复平面上的所有点都进行平方，画出 f(z)=|z2|的等高线地图。29分形几何分形几何v f(z)=|z2|30分形几何分形几何v可以看到，这一操作让模的变化更剧烈了，等高线变得更加密集了。外面浩瀚的蓝色空间，就对应着那些模已经相当大了的复数。31分形几何分形几何v如果对上图中的每个点再加上某个数，比如 0
7、.3，那么整个图会怎样变化呢？v对于模相同的复数来说，给实数部分加上 0.3，这对实数部分本来就较大的数影响会更大一些。因此，上图将会变得更扁，整个图形会在水平方向上拉伸。这也就是 f(z)=|z2+0.3|的等高线地形图。见下图（为便于观察，对图像进行了旋转）。32分形几何分形几何33分形几何分形几何v 接下来，我们再对所得的图形进行平方，继续加剧模的变化。34分形几何分形几何v 然后，再给每个点的实数部分加上 0.3，于是得到 f(z)=|(z2+0.3)2+0.3|的图像。35分形几何分形几何v 再加上 0.3 36分形几何分形几何v再平方37分形几何分形几何v 再加上0.3.这也就是函
8、数 f(z)=|(z2+0.3)2+0.3)2+0.3)2+0.3|的图像，它反映了对复平面上的各个复数“平方再加 0.3”迭代 4 次后模的大小情况。38分形几何分形几何v 我们照这个思路（加0.2然后平方）迭代12次后，可得到右图图形。可以看见整个图形已经具有了分形图形的复杂程度（图形的“黑边”其实是密集的等高线）。39分形几何分形几何v上图中，大部分区域内的数都变得越来越大，直达无穷。而原点附近这个四叶草形区域内的数，至少目前还不算太大。v这给出了上图的另外一种解读方法：随着迭代次数的增加，复平面上各个点的模的发散速度。40分形几何分形几何v有没有什么复数，随着迭代次数的增加，最终并不会
9、趋于无穷呢？当然有。比如方程 z2+0.3=z 的两个复数解，它是这个迭代下的不动点，每次迭代后都维持原来的值，自然不会趋于无穷。我们把所有这种迭代后不会趋于无穷的点所组成的集合就叫做 Julia 集，它是以法国数学家 Gaston Julia 命名的。41分形几何分形几何vz z2+0.3 的 Julia 集是由一些孤点组成的，我们无法把它画出来。上图中的四叶草形区域也只是那些发散比较慢的点，但再多迭代几次，最终也会趋于无穷。42分形几何分形几何v 是否存在适当的常数 c，使得迭代 z z2+c 的 Julia 集能够形成一块连通的区域呢？答案是肯定的。v 右图是对复平面上的点执行 12 次
10、 z z2-1 迭代后的结果，中间这些紫色和黄色的点已经稳定下来，不会发散了，它们构成了一块连通的 Julia 集.43分形几何分形几何v 常数 c 还可以是复数。右图则是迭代过程 z z2+(0.2+0.5 i)迭代 12 次的结果，其中也有一些模非常小的点，它们不会发散，构成了连通的 Julia 集。44分形几何分形几何v 在 Julia 集相关领域中，有一个非常漂亮而且非常重要的定理叫做 fundamental dichotomy theorem，它告诉我们，一个 Julia 集要么是完全连通的，任意两点间都有一条通路；要么是完全不连通的，整个图形全是一个个孤立的点。v 随着常数 c 的
11、变化，对应的 Julia 集也会连续地发生变化。我们比较关心的一个问题就是，哪些 c 值会让对应的 Julia 集形成一个连通的区域？45分形几何分形几何v 在研究 Julia 集时，我们通常假设 c 的模总是小于 2 的。注意到，对任意一个满足|z|2 的复数 z，都有|z2|=|z|2 2|z|，也就是说，对这样的 z 进行平方后，它的模至少都会变成原来的两倍。v 即使常数 c 的方向和 z2 的方向完全相反，也不足以把 z2 的模抵消到原来的水平。因此，在迭代运算过程中，一旦某一步结果的模大于 2 了，可以断定它必将发散到无穷。46分形几何分形几何v 因此，我们有了 Julia 集合的另
12、一个定义。z z2+c 对应的 Julia 集，就是无限迭代下去后模仍然不超过 2 的点。于是，我们立即有了 Julia 集的另一种生成方法。v 我们可以从复平面上模不超过 2 的所有点，也就是以原点为中心半径为 2 的圆盘出发，看看哪些点的平方加 c 后会落在这个圆盘内，进而考察哪些点平方加 c 再平方加 c 后将会落在这个圆盘内，如此反向迭代，不断找出原象，反推出符合要求的点集。47分形几何分形几何v我们在复平面上画出模为2的点的集合。48分形几何分形几何v我们把上图右移一个单位，得到所有加上-1 后模小于 2 的点。49分形几何分形几何v我们再找出上图区域中的每个点的平方根（别忘了，每个
13、数都有两个平方根，因此每个点都有两个原象），于是得到所有平方再加-1 后模仍然小于 2 的点。50分形几何分形几何v由于开平方是一个连续函数，而每个点都有一正一负两个平方根，因此整个图像本该变为两个关于原点对称的连通区域。不过，这两个连通区域有所重合，它们将会并在一起成为一整块连通区域。为了看出这一点，只需要注意到，0 是一个非常特殊的数，它的原象只有一个，就是它本身。由于上图中的区域内包含零点，因此它的两组原象也都包含原点，这就表明两个区域是有重合的。51分形几何分形几何52分形几何分形几何v按照迭代思路。把上图再次右移1个单位。53分形几何分形几何v再次开平方，求出平方根。54分形几何分形
14、几何v再次右移。55分形几何分形几何v 再次找平方根，由于零点始终没有跑出去，因此图像始终是一整块连通区域。56分形几何分形几何v 继续进行“右移”“平方根”的步骤。57分形几何分形几何v 可以看到，此时得到的点集已经非常接近之前给出的 z z2-1 的 Julia 集了。58分形几何分形几何v 右图则是反推 12 次后的结果，它基本上可以看作是 z z2-1 的 Julia 集了。59分形几何分形几何v 我们再来看一个无法构成连通区域的 Julia 集的例子。取 c=-1-0.9 i，让我们来看看逆推的过程。还是先画出半径为 2 的圆盘。60分形几何分形几何v 找出所有加上-1-0.9 i
15、后会落进该圆盘的点，实际上相当于把圆盘右移 1 个单位，再上移 0.9 个单位。61分形几何分形几何v再寻找上图中的点的平方根。62分形几何分形几何v然后迭代（平移求平方根）63分形几何分形几何v然后再次平移64分形几何分形几何v这里发生了一个非常值得注意的现象：原点现在跑到了灰色区域的外边。也就是说，这个点在若干次迭代之后不能落入那个半径为 2 的圆盘里，表明这个点的模最终将会发散。换句话说，0 不属于 c=-1-0.9 i 时的 Julia 集。65分形几何分形几何v 我们可以证明，一个不包含原点的区域，开平方后必然会得到两块不连通的区域。v 故对上图再次求方根后，得到两个关于原点对称的图
16、像。66分形几何分形几何v而此后每经过一次“平移求方根”的迭代过程，就会多出一对联通的图像。67分形几何分形几何v如此跌打下去，连通块的数量将会越来越多，它们的总面积则会越来越小，最后就只剩下一些孤立的点了。v就如同我们最早所说的 z z2+0.3 的 Julia 集一样。68分形几何分形几何vz z2+0.3多次迭代的图像变化。69分形几何分形几何v从上图可以看出，直到第 12 次迭代，零点仍然还在候选区域中；到了第 13 次迭代，才把零点排除在 Julia 集之外。此后，图形很快便收缩为了一堆离散的点。70分形几何分形几何v也就是说，为了判断 z z2+c 的 Julia 集是否连通，我们
17、只需要测试一下，看对初始值 0 迭代无穷多次，所得的模是否会趋于无穷大。71分形几何分形几何v我们自然希望知道，能够使 Julia 集连通的常数值 c 在复平面上组成了一个什么样的图形。为此，我们只需要固定初始值为 0，把复平面上不同的点当作 c，画出迭代过程中模的发散速度（和最开始制作 Julia 集一样，我们用不同的颜色来表示不同的发散速度）。72分形几何分形几何73分形几何分形几何v这本身竟然又是一个漂亮的分形图形！数学家 Benot B.Mandelbrot 是最早对其进行系统研究的人之一，因此我们就把所有不会让零点发散的复数 c 组成的集合叫做 Mandelbrot 集。74分形几何
18、分形几何v整个 Mandelbrot 集可以包含于一个以原点为圆心，半径为 2 的圆里。这也就是我们在考虑 Julia 集时往往假设常数 c 的模小于 2 的原因。75分形几何分形几何v 生成 Mandelbrot 集的算法和生成 Julia 集的算法完全一样，只是这一次我们固定的是初始值，而把 c 当作了变量。Mandelbrot 集内的每一个点就对应了一个连通的 Julia 集，Mandelbrot 集合外的点则对应了不连通的 Julia 集，并且很容易想到，越靠近 Mandelbrot 集的边界，对应的 Julia 集形状就越诡异。因此，Mandelbrot 集还有另外一种解读方法：它就是 Julia 集的缩略图！76分形几何分形几何vMandelbrot 集可以说是所有无穷多个 Julia 集的一个高度总结。究其原因，还是因为 Julia 集的零点太重要了。Julia 集的零点的迭代结果，很大程度上决定了 Julia 集的形状，就好像这个零点“知道”Julia 集是什么样子似的。而 Mandelbrot 集则把所有的零点信息都汇聚在了一起，自然高度归纳出了所有的 Julia 集。77分形几何分形几何
