1、2020 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）密卷一 数学 参考公式： 样本数据 12 , n x xx的方差 2 2 1 1 n i i sxx n ，其中 1 1 n i i xx n 柱体的体积VSh，其中 S 是柱体的底面积，h 是柱体的高 锥体的体积 1 3 VSh，其中 S 是椎体的底面积，h 是椎体的高 一填空题：本题共 14 小题请把答案填写在答题卡相应位置上 1已知集合 2 | 13,|9AxxBxZ x ，则 AB=_ 2已知复数 z 满足43izi（i 为虚数单位） ，则 z=_ 3执行如图所示的程序框图，则输出的 S 值为_ 4下图是青年歌手大奖赛上 9 位评委给某
2、位选手打分的茎叶图，去掉一个最高分和一个最 低分，所剩数据的平均数为_ 5直线 x+y+a=0 是圆 x2+y2-4y=0 的一条对称轴，则 a=_ 6函数 3 ( )2logf xx的定义域_ 7已知存在 2 , sin3sin0 2 2 xxxa 恒成立，则实数 a 的取值范围是_ 8在区间0,2上随机取两个数 x，y，则事件“x2+y24”发生的概率为_ 9等差数列 n a的前 n 项和 Sn，若 S2=4，S6=10，则 S10=_ 10已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点为 F，直线:3l yx与 C 交于 A，B 两 点，AF，BF 的中点分别为 M
3、，N，若以线段 MN 为直径的圆经过原点，则双曲线 C 的离心 率为_ 11已知函数( )f x的定义域为 R，其导函数( )fx既是 R 上增函数，又是奇函数，则满足不 等式(1)(3 )f mfm的实数 m 的取值范围为_ 12 已知球 O 与棱长为 8 的正方体 ABCD-A1B1C1D1的所有棱都相切， 点 P 是球 O 上一点， 点 Q 是 A1C1B 的外接圆上的一点，则线段 PQ 的取值范围是_ 13已知正数 ab 满足 a+b=1，则 14 11ab 的最小值为_ 14在 ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，若 222 2020abc，则 2 tantan t
4、an(tantan) AB CAB _ 二解答题：本大题共 6 小题请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤 15已知 1010 sinsin(),sin,0, 2102 （）求cos2； （）求tan()的值 16 如图， 已知四棱锥 PABCD 中， 底面 ABCD 是直角梯形，ADBC， BC=CD=PD=2AD， ADCD，PD平面 ABCD，E 为 PB 的中点 （）求证：AE平面 PDC； （）求证：AEBC 17如图，一块弓形薄铁片 EMF，点 M 为弧 EF 的中点，其所在圆 O 的半径为 8dm（圆心 O 在弓形 EMF 内） ， 2 3 EOF
5、将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片 ABCD（不计 损耗） ，ADBC，且点 A，D 在EF上，设2AOD （）求矩形铁片 ABCD 的面积 S 关于的函数关系式 （）当裁出的矩形铁片 ABCD 面积最大时，求cos的值 18已知点 5 2, 3 M 在椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 上， 12 ,A A分别为 E 的左、右顶点，直 线 A1M 与 A2M 的斜率之积为 5 9 ，F 为椭圆的右焦点，直线 9 : 2 l x （）求椭圆 E 的方程； （）直线 m 过点 F 且与椭圆 E 交于 B，C 两点，直线 BA2，CA2分别与直线 l 交于 P，Q 两点，以 PQ
6、为直径的圆过定点 3 ,1 2 ，求直线 m 的方程 19已知函数 (1) ( )ln 1 a x f xx x . （）讨论( )f x的单调性； （）当 x1 时，( )0f x 恒成立，求 a 的取值范围 20在数列 n a中，若 * n aN，且 1 , (1,2,3,)2 3, n n n nn a a an aa 是偶数 是奇数 ，则称 n a为“J 数 列”设 n a为“J 数列”，记 n a的前 n 项和为 Sn （）若 a1=10，求 S3n的值； （）若 S3=17，求 a1的值； （）证明： n a中总有一项为 1 或 3 数学（附加题） 21【选做题】 ：本题包括 A、
7、B、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作 答，若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A选修 4-2：矩阵与变换 给定矩阵 31 13 A （）求矩阵 A 的特征值； （）证明： 1 1 1 e 和 2 1 1 e 是矩阵 A 的特征向量 B选修 4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，直线 l 的方程 1 sin 62 ，曲线 C 的方程为4cos 3 ，直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求|AB的值 C选修 4-5：不等式选讲 若 m， n 都是正数， 且存在实数 x 使得 11 |14 |12 |xx mn 成立， 求 m+n 的
8、最小值 【必做题】第 22 题、第 23 题请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤 22设 1002100 012100 (23 ) xaa xa xax，求下列各式的值： （）求 a 的值（用指数表示） ； （）求 22 02410013599 aaaaaaaa的值 232020 年初，新冠肺炎疫情袭击全国，某省由于人员流动性较大，成为湖北省外疫情最 严重的省份之一，截至 2 月 29 日，该省已累计确诊 1349 例患者（无境外输入病例） （）为了解新冠肺炎的相关特征，研究人员从该省随机抽取 100 名确诊患者，统计他 们的年龄数据，得下面的频数分布表： 由频
9、数分布表可以大致认为，该省新冠肺炎患者的年龄 Z 服从正态分布 2 ,15.2N， 其中近似为这 100 名患者年龄的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代 表） 请估计该省新冠肺炎患者年龄在 70 岁以上（70）的患者比例； （）截至 2 月 29 日，该省新冠肺炎的密切接触者（均已接受检测）中确诊患者约占 10%，以这些密切接触者确诊的频率代替 1 名密切接触者确诊发生的概率，每名密切接触者 是否确诊相互独立现有密切接触者 20 人，为检测出所有患者，设计了如下方案：将这 20 名密切接触者随机地按 n（12 时，( )f x的单调递增区间 2 (0,12 )aaa ， 2 12
10、 ,aaa ； 单调递减区间 22 (12 ,12 )aaa aaa ； （）由（）知， （1）a2 时，( )f x在(0,)单调递增 x1 时，( )(1)0f xf，符合题意 （2）a2 时， 22 12112aaaaaa ( )f x在 2 (1,12 )aaa 单调递减， 2 (12 ,)aaa 单调递增 2 ( )(12 )(1)0f xf aaaf 最小值 ，不符合题意 （15 分） 实数 a 的取值范围(,2 20解： （）当 a1=10 时，an中的各项依次为 10，5，8，4，2，1，4，2，1， 所以 S3n=7n+16 （） （1）若 a1是奇数，则 a2=a1+3 是
11、偶数， 21 3 3 22 aa a ， 由 S3=17，得 1 11 3 317 2 a aa ，解得 a1=5，适合题意 （2）若 a1是偶数，不妨设 * 1 2ak kN，则 1 2 2 a ak 若 k 是偶数，则 2 3 22 ak a ， 由 S3=17，得217 2 k kk，此方程无整数解； 若 k 是奇数，则 a3=k+3， 由 S3=17，得 2k+k+k+3=17，此方程无整数解 综上， 1 5a （）首先证明：一定存在某个 i a，使得6 i a 成立 否则，对每一个 * iN，都有6 i a ， 则在 i a为奇数时，必有 2 3 2 i ii a aa ； 在 i
12、a为偶数时，有 2 3 2 i ii a aa ，或 2 4 i ii a aa 因此，若对每一个 * iN，都有6 i a ，则 135 ,a a a单调递减， 注意到 * n a N，显然这一过程不可能无限进行下去， 所以必定存在某个 i a，使得6 i a 成立 经检验，当2 i a ，或4 i a ，或5 i a 时， n a中出现 1； 当6 i a 时， n a中出现 3， 综上， n a中总有一项为 1 或 3 21【选做题】【选做题】 A选修 4-2：矩阵与变换 解： （）A的特征多项式为 2 31 |(3)1(4)(2) 13 AE 所以A的特征值为 1 2， 2 4 （）证
13、明： 1 1 1 e 在矩阵A的作用下，其像与其保持共线，即 31121 2 13121 2 1 1 e 在矩阵A的作用下，其像与其保持共线，即 31141 4 13141 成立 所以 1 1 1 e 和 2 1 1 e 是矩阵A的特征向量 B选修 4-4：坐标系与参数方程 解：由题意知，直线 l 过点(1,0)P，且倾斜角 6 ， 直线 l 的参数方程： 3 1 2 1 2 xt yt （t 是参数） ； 由 2 4cos4 cos cos4 sin sin 333 2222 22 30(1)(3)4xyxyxy 将直线 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程， 得 2 2 31 34 22
14、 tt ，整理， 得 2 310tt ，由韦达定理得： 12 12 3 1 tt tt 12 | |ABPAPBtt 2 2 1212 4(3)4( 1)7tttt C选修 4-5：不等式选讲 解：设 1 22, 4 11 ( ) |41|21|6 , 24 1 22, 2 xx f xxxxx xx 当 1 4 x ， min 3 ( ) 2 f x 由题意， min 11 ( )f x mn ，即 113 2mn ， 113 2mn 11 ()2224 nm mn mnmn 48 11 3 mn mn . 当且仅当 m=n 时，m+n 的最小值 8 3 【必做题】【必做题】 22解： （）
15、 100 0 2a （）令 x=1，得 100 0123100 (23)aaaaa； 令 x=-1，得 100 0123100 (23)aaaaa； 22 02410013599 aaaaaaaa 01231000123100 aaaaaaaaaa 100100 (23)(23) 1 23解： （） 2 15625123518452255226512754 85295 54.8 100 ； (54.8 15.254.8 15.2)(39.670)0.6826PZPZ 故 1(39.670)10.6826 (70)0.158715.87% 22 PZ P Z （）由题意，每名密切接触者确诊为新冠脑炎的概率均为 1 10 ， n 的可能取值为 2，4，5，10 当2,4,5,10n时， 1 ,10 n XB n 对于某组 n 个人，化验次数 Y 的可能值为：1，n+1 9 (1) 10 n P Y ， 9 (1)1 10 n P Yn 999 ( )1(1)11 101010 nnn E Ynnn 则 20 人的化验总次数为 20919 ( )120 1 1010 nn f nnn nn 经计算(2)13.8, (4)11.8, (5)12.2, (10)15ffff 当 n=4 时符合题意，按 4 人一组检测，可使化验总次数最少
