1、福建省普通高中学业水平合格性考试数学学科考试说明（适用于2019级高中学生）一、命题依据依据教育部颁布的普通高中数学课程标准（实验）、2019年福建省普通高中数学学科教学指导意见福建省普通高中学生学业水平考试实施办法（试行）和本考试说明，并结合我省普通教学实际进行命题二、命题原则1导向性原则命题应全面贯彻党的教育方针，以党的“十九大”精神为指导，全面贯彻落实国家中长期教育改革和发展规划纲要（20192020年）和教育部关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见的有关要求，按照“德育为先，能力为重，全面发展”的总要求，面向全体学生，遵循学生身心发展规律，同时结合数学学科特点，有机融入社会主义
2、核心价值观教育和中华优秀传统文化教育数学学科的立德树人不但体现在通过数学史的渗透弘扬数学文化上，更体现在突出数学的理性思维，引导学生树立法则意识，养成行必有据、依章办事的生活习惯，确立正确的世界观、人生观、价值观命题应有利于促进学生全面、和谐、健康的发展，有利于中学实施素质教育，有利于体现数学学科新课程理念，充分发挥学业水平考试对普通高中数学学科教学的积极导向作用，把“使学生学会思考，成为善于认识和解决问题的人才”的要求落到实处2基础性原则命题应注重对数学学科基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验的考查，处理好知识、技能、数学思想方法与数学学科核心素养的关系，要根据数学学科的特点，考查学生
3、用数学眼光观察世界，用数学思维分析世界，用数学语言表达世界的能力，充分关注学生在数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等数学学科核心素养的表现，试题难易适当，不出偏题和怪题3科学性原则试题设计必须与福建省普通高中学生学业水平合格性考试数学学科考试说明（适用于2019级高中学生）要求相一致，具有较高的信度、效度和一定的区分度试卷应结构合理、版面美观；试题内容科学严谨、文字简洁、图表规范、符号标准；试题答案正确无误，评分标准准确合理，具有较强的可操作性4实践性原则坚持理论联系实际，试题背景应来自学生所能理解的生活现实，符合学生所具有的数学现实和其它学科现实，贴近学生的生活实际，
4、关注数学的应用及其与社会的联系，考查学生数学应用能力命题可通过设立开放性问题和探究性问题，考查学生从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力，考查学生的思维过程、实践能力和创新精神5公平性原则试题的考查内容、素材选取、试卷形式对每个学生而言要体现公平性，制定的评分标准应合理，尊重不同的解答方式和表现形式6综合性原则高中数学尽管内容多样，但在本质上是一个有机整体，不同知识、不同单元之间都存在实质性联系命题时要凸显知识间的内在联系，注重整体性和系统性，突出理性思维从知识层面看，应综合考虑知识主线的逻辑走向，注意相互间的关联，突出核心内容的考查；从素养层面看，应综合考虑各种能力和思想方法对
5、高中数学知识的统摄作用，注重考查知识蕴涵的思想和方法三、考试目标与要求高中学生学业水平考试数学学科考试的考查方面包括：中学数学基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验1知识要求知识是指普通高中数学课程标准（实验）（以下简称课程标准）中所规定的必修课程中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法，还包括按照一定程序与步骤进行运算、处理数据、绘制图表等基本技能对知识的要求依次是了解、理解、掌握三个层次（1）了解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，能按照一定的程序和步骤照样模仿，并能（或会）在有关的问题中识别和认识它这一层次所涉及的主要行
6、为动词有：了解，知道，识别，模仿，会求，会解等（2）理解：要求对所列知识内容有较深刻的理性认识，知道知识间的逻辑关系，能够对所列知识作正确的描述说明并用数学语言表达，能够利用所学的知识内容对有关问题进行比较、判别、讨论，具备利用所学知识解决简单问题的能力这一层次所涉及的主要行为动词有：理解，描述，说明，表达，推测，想象，比较，判别，初步应用等（3）掌握：要求能够对所列的知识内容进行推导证明，能够利用所学知识对问题进行分析、研究、讨论，并且加以解决这一层次所涉及的主要行为动词有：掌握，导出，分析，推导，证明，研究，讨论，运用、解决问题等2能力要求能力是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、
7、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识（1）空间想象能力空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力，主要表现为识图、画图和对图形的想象能力识图是指观察研究所给图形中几何元素之间的相互关系；画图是指将文字语言和符号语言转化为图形语言以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换；对图形的想象主要包括有图想图和无图想图两种，是空间想象能力高层次的标志对空间想象能力的考查主要体现在：能根据条件正确作出图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合与变形；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质（2）抽象概括能力抽象概括能力是指对具体的、生
8、动的实例，经过分析提炼，发现研究对象的本质；从给定的大量信息材料中概括出一些结论，并能将其应用于解决问题或做出新的判断抽象是指舍弃事物非本质的属性，揭示其本质的属性；概括是指把仅仅属于某一类对象的共同属性区分出来的思维过程抽象和概括是相互联系的，没有抽象就不可能有概括，而概括必须在抽象的基础上得出某种观点或某个结论对抽象概括能力的考查主要体现在：能够根据解题的需要熟练地实现三种语言（即文字、符号、图表）的相互转化；能从给定的信息材料中概括出相应的结论，并能将其应用于解决问题或作出新的判断（3）推理论证能力推理论证能力是根据已知的事实和已获得的正确数学命题，论证某一数学命题真实性的初步的推理能力
9、推理是思维的基本形式之一，它由前提和结论两部分组成；论证是由已有的正确的前提到被论证的结论的一连串的推理过程推理既包括演绎推理，也包括合情推理；论证方法既包括按形式划分的演绎法和归纳法，也包括按思考方法划分的直接证法和间接证法一般运用合情推理进行猜想，再运用演绎推理进行证明对推理论证能力的考查主要体现在：能根据题设条件符合逻辑地探求相应的结论，并能正确表达推理过程，推理言之有据、形式规范、结构严谨（4）运算求解能力运算求解能力是思维能力和运算技能的结合运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，对几何图形各几何量的计算求解等运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算
10、公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力对运算求解能力的考查主要体现在：会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算（5）数据处理能力数据处理能力主要是指针对研究对象的特殊性，选择合理的收集数据的方法，根据问题的具体情况，选择合适的统计方法整理数据，并构建模型对数据进行分析、推断，获得结论对数据处理能力的考查主要体现在：会收集、整理、分析数据，能从大量数据中提取对研究问题有用的信息，并作出推断与决策（6）应用意识应用意识是指面对实际问题，能自觉应用所学知识和方法
11、从数学的角度进行解决的意识它包括在实际情境中发现问题和提出问题的意识，主动应用数学知识分析问题和解决问题的意识对应用意识的考查主要体现在：能综合运用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决相关学科、生产、生活中简单的数学问题；能理解问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题；能应用相关的数学方法解决问题进而加以验证，并能用数学语言正确地表达和说明应用的主要过程是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，将现实问题转化为数学问题，构造数学模型，并加以解决（7）创新意识创新意识是指能自觉地发现、提出新问题，或能根据特定的问题情境，创造性地应用所学知识分析问题
12、和解决问题的意识，是理性思维的高层次表现对数学问题的“观察、猜测、抽象、概括、证明”，是发现问题和解决问题的重要途径，对数学知识的迁移、组合、融会的程度越高，显示出的创新意识也就越强对创新意识的考查主要体现在：能发现问题、提出问题，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想方法，选择有效的方法和手段分析信息，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题3数学思想数学思想是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含在数学知识发生、发展和应用的过程中数学思想主要包括：数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想、统计与概率思想等，其含义如下：（1）数形结
13、合思想数形结合思想就是充分运用“数”的严谨和“形”的直观，将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过图形的描述、代数的论证来研究和解决数学问题的一种数学思想方法数形结合思想是数学的规律性与灵活性的有机结合，通过“以形助数，以数解形”，变抽象思维为形象思维，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，有助于把握数学问题的本质，有利于达到优化解题的目的（2）函数与方程思想函数与方程思想就是通过分析所给问题的数量关系，构建相应的函数或方程，再用函数或方程的观点分析、解决问题的思想方法函数思想是利用运动变化的观点分析和研究具体问题中的数量关系，通过函数的形式把这种数量关系表示出来并
14、加以研究，从而使问题获解；方程思想是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为方程问题，然后通过解方程（组）使问题获解函数思想主要是从运动、变化、对应的观点寻求量与量之间的联系，而方程思想则侧重于寻求各量之间的等量关系函数与方程思想，既是函数思想与方程思想的体现，也是两种思想综合运用的体现，是研究变量与函数、相等与不等过程中的基本数学思想掌握函数与方程思想有助于把握各量之间的联系，进而达到解决问题的目的（3）分类与整合思想分类与整合思想是依据数学对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象划分为不同种类分别研究或分别求解的一种数学思想它是当问题所给的对象很难从整体上统一进行研究时，能按
15、照某个合理的标准对研究对象进行分类，然后对每一类分别研究得出相应结论，最后综合各类结果得到整个问题的结论的一种思想方法分类与整合思想就是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学思想，它是数学严谨性与合理性的体现，是研究问题的一种逻辑方法（4）化归与转化思想化归与转化思想是在研究和解决数学问题的过程中，依据数学知识的内在联系对问题进行变形、转化，直至将其转化为某个（或某些）已经解决或容易解决的问题的一种数学思想其实质是采用某种方式，借助某些数学知识，将问题进行合理转化，使抽象问题具体化、复杂问题简单化、未知问题已知化等，进而解决问题掌握命题的多种等价形式是灵活地进行化归与转化的基础，化归与转化是
16、解决问题的一种重要策略（5）特殊与一般思想特殊与一般思想是通过对问题的特殊情形（如特殊函数、特殊数列、特殊点、特殊位置、特殊值、特殊方程等）的解决，寻求一般问题的解决思路和方法，或通过对一般问题的研究，再把解决一般问题的方法或结果应用到特殊问题上，从而获得特殊问题的解决的数学思想特殊与一般是对立统一的，可以通过特殊探索一般，也可以在一般中研究特殊一般化是把研究对象或问题从原有范围扩展到更大范围进行考察的思维方式；特殊化是把研究对象或问题从原有范围缩小到较小或个别情形进行考察的思维方式特殊与一般思想是在解决问题时，通过探索合适的一般化或特殊化的问题，寻找解决问题的突破口，得出结论的一种思想方法（
17、6）统计与概率思想统计与概率思想就是面对研究的问题需要获取总体数据，但又无法或不便得到总体数据时，能自觉地、合理地抽取样本，通过对样本数字特征及其规律的研究，把握样本的性质特征，并以此来估测总体性质特征的数学思想其核心是通过合理收集、整理和分析样本数据而提取其中有价值的信息，并据此作出合理的估计与决策，它是在“偶然”中寻找“必然”，然后再用“必然”的规律去解决“偶然”的问题统计与概率思想包含统计思想与概率思想两个部分，统计思想又包括统计推断思想，抽样思想等；概率思想包括随机思想，或然与必然思想等4个性品质个性品质是指学生个体的情感、态度和价值观要求学生具有一定的数学视野，认识数学的科学价值和人
18、文价值，崇尚数学的理性精神，形成审慎思维的习惯，体会数学的美学意义要求考生克服紧张情绪，以平和的心态参加考试，合理支配考试时间，以实事求是的科学态度解答试题，树立战胜困难的信心，体现锲而不舍的精神5考查要求数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间深刻的内在联系，包括各部分知识的纵向联系和横向联系，要善于从本质上抓住这些联系，进而通过分类、梳理、综合，构建数学试卷的框架结构（1）对数学基础知识的考查，既要全面又要突出重点对于支撑数学学科知识体系的重点内容，要占有较大的比例，构成数学试卷的主体注重数学的内在联系和知识的综合性，不刻意追求知识的覆盖面从学科的整体高度和思维价值的高度综合考虑问题，在
19、知识网络的交汇点处设计试题，使对数学基础知识的考查达到必要的深度（2）对数学思想方法的考查要与数学知识的考查结合进行，通过数学知识的考查，反映学生对数学思想方法的理解和掌握程度考查时，要从学科整体意义上考虑，注重通性通法，淡化特殊技巧，有效地检测学生对中学数学知识中所蕴含的数学思想方法的掌握程度（3）对数学能力的考查，强调“以能力立意”，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握数学学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，侧重体现对知识的理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，以此来检测考生将知识迁移到不同情境中去的能力，从而检测出考生个体理性思维的广度和深度以及进一步学习的潜能对能力的考查要全面，
20、强调综合性、应用性，并要切合考生实际对推理论证能力和抽象概括能力的考查应贯穿于全卷，是考查的重点，强调其科学性、严谨性、抽象性对空间想象能力的考查应着重关注识图、画图和对图形的想象对运算求解能力的考查应着重关注对算法和推理的考查，考查以代数运算为主对数据处理能力的考查应着重关注运用概率统计的基本方法和思想解决实际问题的能力对应用意识的考查主要采用解决应用问题的形式命题时要坚持“贴近生活，背景公平，控制难度”的原则，试题设计要切合中学数学教学的实际和考生的年龄特点，并结合实践经验，使数学应用问题的难度符合考生的水平对创新意识的考查是对高层次理性思维的考查在考试中创设新颖的问题情境，构造有一定深度
21、和广度的数学问题时，要注重问题的多样化，体现思维的发散性；要精心设计考查数学主体内容、体现数学本质的试题；要有反映数、形运动变化的试题以及研究型、探索型、开放型等类型的试题数学科的命题，应在考查基础知识的基础上，注重对数学思想方法的考查，注重对数学能力的考查，展现数学的科学价值和人文价值，同时兼顾试题的基础性、综合性和应用性，重视试题间的层次性，合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查，努力体现数学学科核心素养的要求四、考试内容普通高中数学课程标准（实验）所规定的五个必修模块的学习内容具体分述如下：（一）集合1集合的含义与表示了解集合的含义，了解元素与集合的关系；能用自然语言、图形语言、集合
22、语言（列举法或描述法）描述具体问题2集合间的基本关系理解集合之间包含与相等的含义；了解全集、子集、空集的含义3集合的基本运算理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解补集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩（Venn）图表达集合的关系及运算（二）函数概念与基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数）1函数了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；了解简单的分段函数，并能简单应用（函数分段不超过三段）；理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；了解函数奇偶性的含义；会运用函数的
23、图象理解和研究函数的性质2指数函数理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为的指数函数的图象；知道指数函数是一类重要的函数模型3对数函数理解对数的概念及其运算性质，会用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用；理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为的对数函数的图象；知道对数函数是一类重要的函数模型，知道指数函数（，且）与对数函数（，且）互为反函数4幂函数了解幂函数的概念；了解幂函数的图象的变化情况5函数与方程了解函数的零点与方程根的联系，会判断一元
24、二次方程实根的存在性及实根的个数；会用二分法求某些方程的近似解6函数模型及其应用了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，知道直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义；了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用（三）立体几何初步1空间几何体了解柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，会用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图；会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表
25、示形式；了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式2点、直线、平面之间的位置关系理解空间直线、平面位置关系的定义，会用以下公理和定理进行推理：公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线公理4：平行于同一条直线的两条直线平行定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定理解以下判定定理，并用以证明一些空间位
26、置关系的简单命题：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直 一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直掌握以下性质定理并用以证明一些空间位置关系的简单命题：一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行垂直于同一个平面的两条直线平行两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直（四）平面解析几何初步1直线与方程掌握确定直线位置的几何要素；理解直线的倾斜角和斜率
27、的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；掌握直线方程的三种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系；能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标；掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离2圆与方程掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程；能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系；能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；了解用代数方法处理几何问题的思想3空间直角坐标系了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标刻画点的位置；会推导空间两点间的距离公式（五）算法初步
28、1算法的含义、程序框图了解算法的含义，了解算法的思想；理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环2基本算法语句理解几种基本算法语句输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义3算法案例了解秦九韶算法、辗转相除法、更相减损术等算法案例（六）统计1随机抽样理解随机抽样；会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法2用样本估计总体了解分布的意义和作用，能根据频率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，了解他们各自的特点；理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差；能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并作出合理的解释；会用样本的频率分
29、布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解样本估计总体的思想；会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题3变量的相关性会作两个有关联变量的数据的散点图，并利用散点图认识变量间的相关关系；了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程（七）概率1事件与概率了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别；了解两个互斥事件的概率加法公式2古典概型理解古典概型及其概率计算公式；会计算一些随机事件的基本事件数及其发生的概率3随机数与几何概型了解随机数的意义，了解几何概型的意义，能运用模拟方法估计概率 （八
30、）基本初等函数（三角函数）1任意角、弧度了解任意角的概念和弧度制的概念；能进行弧度与角度的互化2三角函数理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；能用单位圆中的三角函数线推导出的正弦、余弦、正切的诱导公式及的正弦、余弦的诱导公式；能画出，的图象，了解三角函数的周期性；理解正弦函数、余弦函数在0，2上的性质（如单调性、最大值和最小值、图象与x轴交点等），理解正切函数在上的单调性；理解同角三角函数的基本关系式：，；了解函数的物理意义，能画出函数的图象，了解函数中参数A，对函数图象变化的影响；了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题（九）平面向量1平面向量的
31、实际背景及基本概念了解向量的实际背景；理解平面向量概念和两个向量相等的含义；理解向量的几何表示2向量的线性运算掌握向量加、减法的运算，理解其几何意义；掌握向量数乘运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；了解向量的线性运算性质及其几何意义3平面向量的基本定理及坐标表示了解平面向量的基本定理及其意义；掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；理解用坐标表示的平面向量共线的条件4平面向量的数量积理解平面向量数量积的含义及其物理意义；了解平面向量的数量积与向量投影的关系；掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；会运用数量积表示两个向量的夹角，会判断两
32、个平面向量的垂直关系5向量的应用会用向量方法解决一些简单的平面几何问题；会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题（十）三角恒等变换1两角和与差的三角函数公式会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；会用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式，会用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系2简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）（十一）解三角形1正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题2正弦定理和余弦定理的应用 能够
33、运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题（十二）数列1数列的概念和简单表示法了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；知道数列是自变量为正整数的一类函数2等差数列、等比数列理解等差数列、等比数列的概念；掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式；能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用等差数列、等比数列的有关知识解决相应的问题；了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系（十三）不等式1不等关系与一元二次不等式了解不等式（组）的实际背景，会从实际问题的情境中抽象出不等式模型；了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次
34、方程的联系；会解一元二次不等式2二元一次不等式组与简单线性规划问题会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决3基本不等式：（）了解基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题五、考试形式考试采用闭卷笔试的形式，全卷100分，考试时间90分钟考试不使用计算器六、试卷结构试卷包括第卷和第卷两部分第卷为15道选择题，第卷为非选择题，由5道填空题和5道解答题组成其中选择题是四选一型的单项选择题；填空题只要求直接写出结果，不必写出计算过程或推证过程；解答题包括计算题、
35、证明题和应用题等，解答应写出文字说明、演算步骤或推理论证过程三种题型所占分数的百分比约为：选择题占45%，填空题占15%，解答题占40%试题按其难度分为容易题、中档题和稍难题其中难度值为以上的试题为容易题，难度值为之间的试题为中档题，难度值为之间的试题为稍难题试卷的总体难度控制在左右七、题型示例【例1】若全集集合，则（A）（B）（C）（D）【答案】D【说明】本题以列举法表示的数集为载体，着重考查集合间的关系及运算等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力解决此类问题，考生首先要弄清楚符号语言的含义，知道它表示集合的并集的补集，其求解顺序是先求并集，再求补集；其次是根据补集的运算法则及集合中元素
36、的互异性，由已知条件，求得；最后再根据补集的求解法则及全集，求得本题常见的错误：一是混淆交集与并集，从而误选C；二是弄错并集或补集运算，选择A本题要求考生了解集合语言的含义及集合元素的基本特征，理解集合间的基本运算，属于理解层次，是容易题【例2】如图，是全集，是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（A）（B）（C）（D）【答案】C【说明】本题以Venn图为载体，考查集合的交、并、补运算等基本知识，考查推理论证能力，考查数形结合思想解决此类问题，既可以用直接分析法，也可以用间接排除法解答主要思路有：思路一：阴影部分为交集的一部分，且位于的外部，即在中，所以它表示的集合为思路二：取阴影部分中的任意
37、一个点，则，且，即，所以；反之，当时，必在阴影部分中，故选C本题常见错误：一是混淆交集与并集的符号，选择答案D；二是没有看清楚题图中阴影部分而误选答案A本题要求考生通过Venn图直观认识集合间的关系及基本运算， 侧重考查基本技能，属于理解层次，为容易题【例3】函数的部分图象大致为（A）（B）（C）（D）【答案】D【说明】本题以函数图象为载体，通过函数的性质判断函数的图象，考查函数的性质，考查推理论证能力，考查数形结合思想对于函数图象问题，一般考虑从定义域、特殊点的函数值、函数的单调性、奇偶性等方面入手进行分析，对于本题，首先可以发现函数是奇函数，其图象关于原点对称，而函数的图象可以由的图象向上
38、平移一个单位长度得到，其图象关于点对称，且当时，结合选项可知，应选择D本题常见错误：一是不能发现函数是奇函数，因此也没能发现函数图象关于点对称，在用特殊值法时，计算失误，而误选A或C；二是通过计算发现时，但因不能正确判断时函数的变化趋势，而误选B本题要求考生理解函数的定义域、值域、函数的奇偶性与单调性等基本知识，会用数形结合思想分析解决问题，属于理解层次，是中档题【例4】小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶与以上事件吻合得最好的图象是（A）（B）（C）（D）【答案】C【说明】本题以函数的实际应用问题为背景，考查函数图象的变化情况等知识，通过识图考
39、查抽象概括能力、应用意识，考查数形结合思想由于本题中图象描述的是距学校的距离与行驶时间的关系，中途停留，距离不变，这是解题的突破口，然后根据速度的变化确定正确选项由出发时距学校最远，首先排除A；中途堵塞停留，距离没变，再排除D；堵塞停留后骑得比原来快，所以排除B，故选C本题常见的错误是：一是误将纵坐标当成离开家的距离而选择答案A；二是不知道直线斜率与速度的关系，无法从图中识别出速度的变化，而误选B；三是审题不够认真，没有发现小明在途中有停留而误选D本题涉及的是函数的具体应用问题，要求考生从熟悉的背景中抽象出数学问题并加以解决，属于理解层次，是容易题【例5】已知，表示两条不同直线，表示平面，下列
40、说法正确的是（A）若，则（B）若，则（C）若，则（D）若，则【答案】B【说明】本题以直线与平面为载体，考查直线与直线的平行与垂直、直线与平面的平行与垂直等基础知识，考查空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查化归与转化思想解决问题时，利用直线与平面平行、直线与平面垂直的判定定理及性质定理进行逐个判断即可得到正确答案本题经常出现的错误主要表现在空间想象能力弱，抽象概括能力不强，对线面平行、线面垂直的判定定理及性质定理理解不到位本题要求考生掌握直线与平面平行、直线与平面垂直的判定定理及性质定理，属于理解层次，是容易题【例6】在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是（A）（B）（C）（D）【答
41、案】C【说明】本题以对称点的坐标的求解为载体，主要考查空间直角坐标系等基础知识，考查考生空间想象能力和运算求解能力，考查数形结合思想解决问题时，只要熟悉空间直角坐标系，由图可得点关于平面的对称点是本题的主要错误是：不会在空间直角坐标系中，利用坐标刻画点的位置本题要求考生会用空间直角坐标系刻画点的位置，属了解层次，是容易题【例7】如图，某几何体的三视图是三个圆及每个圆中两条互相垂直的半径若该几何体的体积是，则它的表面积是ABCD【答案】A【说明】本题以三视图为载体，主要考查三视图、球的体积和表面积等基础知识，考查考生空间想象能力和运算求解能力解决问题时，由所给三视图可知，所给几何体是一个球截去个
42、球而得到的设球的半径为，由题设可得，即，从而所给几何体的表面积本题的主要错误表现在两方面：一是无法想象出该几何体的结构特征，不能正确把握该几何体，导致不能进行深入的分析和计算；二是在分析和计算该几何体的体积和表面积时，由于公式不熟练或计算能力不足导致错误本题要求考生掌握几何体的三视图及球体的表面积、体积，属于理解层次，是中档题【例8】阅读如图所示的程序框图，若运行该程序后输出的值为4，则输入的值为（A）2（B）0（C）（D）【答案】B【说明】本题以程序框图为载体，着重考查条件结构、赋值语句等基础知识，考查推理论证能力要解决本题，考生需要读懂框图，理解其功能是：对于分段函数给定值，输出值；进而利
43、用逆向思维，令，解得考生易出现的错误，一是计算出错，二是判断条件结构流向错误本题要求了解算法的含义和思想，理解程序框图的顺序结构和条件结构属于理解层次，是容易题【例9】从甲、乙、丙三人中任选2人，分别担任周一和周二的值日生，则甲被选中的概率为（A）（B）（C）（D） 1【答案】C【说明】本题以实际问题为载体，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查统计与概率思想考生要解决本题，需要选择恰当的表示方法，正确列出所有基本事件，找出满足“甲被选中”的基本事件，并根据古典概型概率计算公式，得到所求概率为常出现的错误是不能正确表示基本事件或不能正确列出所有基本事件本题要求考生理解基本的概率模型及其
44、概率计算公式，能正确表示基本事件，属于理解层次，是容易题【例10】若角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边经过点，则的值为（A）（B）（C）（D）【答案】A【说明】本题以三角函数求值为载体，考查任意角的三角函数定义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想解决问题时，考生应理解任意角的三角函数定义，根据已知条件计算出的值，本题易出现的错误一是求的值时公式错误，二是计算错误，从而得出错误选项本题要求考生理解任意角的三角函数的定义，属于理解层次，是容易题【例11】函数，的单调递增区间是（A）（B）（C）（D）【答案】C【说明】本题以三角函数为载体，考查两角和与差的三角函数公式、三角函数的
45、单调性等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想解决问题时，考生应首先用辅助角公式将函数解析式化为，然后结合定义域求出，最后由求得单调递增区间本题易出现的错误一是用错辅助角公式，二是计算错误，从而得出错误选项本题要求考生掌握求三角函数单调区间的方法，属理解层次，是中档题【例12】若则（A）（B）（C）（D）【答案】A【说明】本题以求三角函数值为载体，考查诱导公式、二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想解决问题时，考生应知道用已知三角函数值的角表示待求的三角函数值的角，即利用诱导公式把已知条件转化为，把待求式子转化为，从而达到
46、解决问题的目的本题易出现的错误一是诱导公式运用错误，二是二倍角公式记忆错误，三是计算错误，从而得出错误选项本题要求考生掌握解决知值求值问题的方法，属于理解层次，是中档题【例13】已知点,，则向量在方向上的投影为（A）（B）（C）（D）【答案】B【说明】本题以求向量的投影为载体，考查向量的坐标计算公式、向量的夹角公式与投影计算公式以及共线向量判定等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想解决问题时，考生应首先求出,，然后代入投影的计算公式，得到，或者通过坐标判断出同向，得到向量在方向上的投影即为本题易出现的错误，一是向量的坐标计算错误，二是投影计算公式记忆错误，从而得出错误选项本题要求考生掌握共线向量的判定方法与投影计算方法，属于理解层次，是容易题【例14】古代数学著作九章算术有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，该女子所需的天数至少为（A）7（B）8（C）9（D）10【答案】B【说明】本题以中国古代趣题为载体，考查等比数列的概念、前n项和公式、不等式等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查化归与转化思想、方
