1、高中数学导数讲义完整版第一部分 导数的背景一、导入新课1.瞬时速度问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？ (,其中g是重力加速度）.2.切线的斜率问题2：P（1,1）是曲线上的一点，Q是曲线上点P附近的一个点，当点Q沿曲线逐渐向点P趋近时割线PQ的斜率的变化情况.3.边际成本问题3：设成本为C，产量为q，成本与产量的函数关系式为，我们来研究当q50时，产量变化对成本的影响.二、小结:瞬时速度是平均速度当趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置，切线的斜率是割线斜率当趋近于0时的极限；边际成本是平均成本当趋近于0时的极限.三、练习与作业：1.某物体的运动方程为（位移单位：m，时间单
2、位：s）求它在t2s时的速度.2.判断曲线在点P（1,2）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.3.已知成本C与产量q的函数关系式为，求当产量q80时的边际成本.4.一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系为，求t4s时此球在垂直方向的瞬时速度.5.判断曲线在（1，）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.6.已知成本C与产量q的函数关系为，求当产量q30时的边际成本.第二部分 导数的概念一、新课：1.设函数在处附近有定义，当自变量在处有增量时，则函数相应地有增量，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限(即无限趋近于某个常数)，我们把这个极
3、限值叫做函数在处的导数，记作，即。 一般地，其中为常数。特别，。二、练习1已知物体做自由落体运动的方程为若无限趋近于0时，无限趋近于，那么正确的说法是（ ） A是在01s这一段时间内的平均速度 B是在1（1+）s这段时间内的速度 C是物体从1s到（1+）s这段时间内的平均速度D是物体在这一时刻的瞬时速度. 2 若，则= ，= ， = ， = 。三、导数 如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数。称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数，也可记作，即 函数在处的导数就是函数在开区间上导数在处的函数值，即。所以函数在处的导数也记作。注：
4、1.如果函数在开区间内每一点都有导数，则称函数在开区间内可导。2.导数与导函数都称为导数，这要加以区分3.求导函数时，只需将求导数式中的换成就可，即4.由导数的定义可知，求函数的导数的一般方法是：（1）.求函数的改变量。（2）.求平均变化率。（3）.取极限，得导数。例1.求在3处的导数。例2.已知函数 （1）求。 （2）求函数在2处的导数。四、练习与作业：1.求下列函数的导数：（1）；（2） (3) (3)2.求函数在1,0，1处导数。3.求下列函数在指定点处的导数：（1）；（2）；（3）（4）.4.求下列函数的导数：（1）（2）； （3）（4）。5.求函数在2,0，2处的导数。作业1.若存在
5、，则2.若，则3.求下列函数的导数：（1）（2）（3）（4）4.某工厂每日产品的总成本C是日产量x的函数，即，试求：（1）当日产量为100时的平均成本；（2）当日产量由100增加到125时，增加部分的平均成本；（3）当日产量为100时的边际成本.5.设电量与时间的函数关系为，求t3s时的电流强度.6.设质点的运动方程是，计算从t2到t2之间的平均速度，并计算当0.1时的平均速度，再计算t2时的瞬时速度.7.若曲线的切线垂直于直线，试求这条切线的方程.8.在抛物线上，哪一点的切线处于下述位置？（1）与x轴平行（2）平行于第一象限角的平分线.（3）与x轴相交成45角9.已知曲线上有两点A（2,0）
6、，B（1,1），求：（1）割线AB的斜率；（2）过点A的切线的斜率；（3）点A处的切线的方程.10. 在抛物线上依次取M（1,1），N（3,9）两点，作过这两点的割线，问：抛物线上哪一点处的切线平行于这条割线？并求这条切线的方程.11.已知一气球的半径以10cm/s的速度增长，求半径为10cm时，该气球的体积与表面积的增长速度.12.一长方形两边长分别用x与y表示，如果x以0.01m/s的速度减小，y边以0.02m/s的速度增加，求在x20m，y15m时，长方形面积的变化率.13.（选做）证明：过曲线上的任何一点（）（）的切线与两坐标轴围成的三角形面积是一个常数.（提示：）第一部分 函数求导一
7、、 导数定义1. 简单函数的定义求导的方法（一差、二比、三取极限）（1）求函数的增量；（2）求平均变化率。（3）取极限求导数2导数与导函数的关系：特殊与一般的关系。函数在某一点的导数就是导函数，当时的函数值。3常用的导数公式及求导法则：（1）公式（2） 法则：二、例：（1） （2） （3） （4） （5） 第二部分 复合函数的导数一、基本公式：如果函数在点x处可导，函数f (u)在点u=处可导，则复合函数y= f (u)=f 在点x处也可导，并且 (f )= 或记作 =二、例题： 例1求下列函数的导数 例2求下列函数的导数（1）y=cos x （2）y=ln (x+) (3) (4) 三、求下
8、函数的导数.1、（1） （2）2、(1)y=(5x3)4 (2)y=(2+3x)5 (3)y=(2x2)3 (4)y=(2x3+x)23、(1)y= (2)y= (3)y=sin(3x) (4)y=cos(1+x2) 4、； ； 5、 (1) y =sinx3+sin33x； （2） (3) (4)导数的应用一：求切线方程导数的几何意义：在处的导数就是在处的切线斜率曲线C：y=f（x）在其上一点P（x0，f（x0）处的切线方程为yf（x0）=（x0）（xx0）.问题1：如何求解曲线的切线？求切线问题的基本步骤：找切点 求导数 得斜率题1.求曲线y=x2在点(1,1)处的切线方程.练习1：已知，
9、求曲线在处的切线斜率和切线方程练习2： 如图，函数的图象在点P处的切线方程是，则= .变式1:求曲线y=x2过点(0,1)的切线方程变式2已知曲线(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求曲线过点的切线方程；变3：已知，求曲线在处的切线斜率是多少？题2、在曲线上求一点P，使过点P点的切线与直线平行。题3、已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图象过点P(0,2)，且在点M处(-1，f(-1)处的切线方程为6x-y+7=0，求函数的解析式题4、 曲线y=x2+1上过点P的切线与曲线y=2x21相切，求点P的坐标.作业：1.已知曲线y=x3+，则在点P（2，4）的切线方程是_.2.过点P（1，2）
10、且与曲线y=3x24x+2在点M（1，1）处的切线平行的直线方程是_.3.设函数f（x）=（xa）（xb）（xc）（a、b、c是两两不等的常数），则+=_.4、求曲线在处的切线的斜率。5曲线y=x3+3x2+6x10的切线中，求斜率最小的切线方程.6.已知函数 若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值；7.求曲线的过点A（2，-2）的切线方程。8.若直线y=3x+1是曲线y=x3a的一条切线，求实数a的值.导数的应用二：单调区间讨论例1：求下列函数的单调区间(1) (2) (3) 例2:设，求函数的单调区间.练习： 已知函数，讨论的单调性.例3.设函数在处取得极值，且曲线在点处的切线
11、垂直于直线（）求的值；（）若函数，讨论的单调性 练习：已知函数 （I）若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值； （II）若函数在区间上不单调，求的取值范围1、（北京理）设函数（）求曲线在点处的切线方程；（）求函数的单调区间；（）若函数在区间内单调递增，求的取值范围.2、已知函数在处有极值.（1） 求函数的单调区间；（2） 求函数在上有且仅有一个零点，求的取值范围。3、已知函数，且在区间上为增函数（1）、求实数的取值范围；（2）、若函数与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围4、已知函数.()当时，讨论的单调性；（）设当时，若对任意，存在，使，求实数取值范围.导数应用三：求函数的极
12、值、最值（一）函数极值的概念（二）函数极值的求法：（1）考虑函数的定义域并求f(x); （2）解方程f(x)=0，得方程的根x0(可能不止一个） （3）如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0。(1) 当m=1时，求曲线y=f(x)在点（1，f(1)处的切线的斜率(2) 求函数f(x)的单调区间与极值4、若函数f(x)=,(1)若f(x)在点（1，f(1）)处的切线的斜率为，求实数a的值（2）若f(x)在x=1处取得极值，求函数的单调区间5、函数f(x)=x3+ax2+3x-9已知f(x)在x=-3时取得极值，求a6、若函数y=-x3+6x2+m的极大值为13，求m的值7、已知函数f(x
13、)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10. (1)求a,b的值； （2）f(x)的单调区间8、已知函数f(x)=ax2+blnx在x=1处有极值（1）求a,b的值；(2)判定函数的单调性，并求出单调区间9、设函数f(x)=(a0)，且方程f(x)-9x=0的两根分别为1,4，若f(x)在（）内无极值点，求a的取值范围（三） 函数的最值与导数 注：求函数f(x)在闭区间a,b内的最值步骤如下 （1）求函数y=f(x)在(a,b)内的极值 （2）将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较，其中最大的一个就是 最大值，最小的一个就是最小值题型一 求闭区间上的最值1、设在
14、区间a,b上函数f(x)的图像是一条连续不断的曲线，且在区间(a,b)上可导，下列命题正确的是 （1）若函数在a,b上有最大值，则这个最大值必是a,b上的极大值 （2）若函数在a,b上有最小值，则这个最小值必是a,b上的极小值 （3）若函数在a,b上有最值，则这个最值必在x=a或x=b处取得2、求函数f(x)=x2-4x+6在区间1,5上的最值3、求函数f(x)=x3-3x2+6x-10在区间-1,1上的最值4、已知f(x)=x3+2x2-4x+5,求函数在-3,1上的最值 题型二 有函数的最值确定参数的值1、已知函数f(x)=ax3-6ax2+b,x-3,1的最大值为3，最小值为-29，求a
15、,b的值2、设，函数f(x)=x3-ax2+b(-1)的最大值为1，最小值为，求a,b（四）导数综合应用1、已知函数f(x)=x2+ax+blnx(x0,a,b为实数).(1)若a=1,b=-1,求函数f(x)的极值.(2)若 a+b=-2，讨论f(x)的单调性.2、 设函数f(x)=ax-+lnx。(1)当f(1)=0时，若函数f(x)是单调函数，求实数a的取值范 围.(2)当f(x)在x=2,x=4出取得极值时，若方程f(x)=c在区间1,8内有三个不同的实 数根，求实数c的取值范围(ln20.639).3、设函数f(x)=x3-ax2-3a2x+1（a0）.（1）若a=1，求曲线f(x)在(a,f(a)处的切线方程。 (2)求函数f(x)的单调区间、极大值、和极小值.（3）若xa+1,a+2时，恒有f(x)-3a, 求实数a的取值范围.(四) 作业函数导数求极值，最值1已知，在与时，都取得极值。（）求的值；（）若都有恒成立，求c的取值范围。2已知函数，其中。（1）若是函数的极值点，求实数的值。（2）若对任意的，（为自然对数的底数）都有成立，求实数的取值范围。3已知函数（1）求的单调区间；（2）设，若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围4已知函数在处取到极值2（）求的值；（）试研究曲线的所有切线与直线垂直的条数；（）若对任意，均存在，使得，试求的取值范围11
