1、 华东师大版八年级下册数学平行四边形的性质及判定 一、 平行四边形的性质【知识要点及基础例题】1、 定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。2、 平行四边形的中心对称性及性质定理1：平行四边形的对边相等。例1、如图所示，已知四边形ABDE是平行四边形，C为边BD延长线上一点，连结AC、CE，有AC=DE。求证：AD=CE练习：如图，在ABC中，AB=AC，D为BC上一点，以AB、BD为邻边作平行四边形ABDE，连结AD、EC。求证：ADCECD3、 平行四边形性质定理2：平行四边形的对角相等。例2、如图，在平行四边形ABCD中，求平行四边形ABCD各个内角的度数。4、 平行四边形性质定
2、理3：平行四边形的对角线互相平分。例3、如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB=4，AC=6，并且ABCA，求对角线BD的长。练习：如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O。若AC=14，BD=8,AB=10，则OAB的周长为（ ）5、 平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心。6、 平行线间的距离两条直线平行，其中一条直线上的任一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离。平行线的性质：平行线之间的距离处处相等。例4、如图，直线，点P在直线上，点A、B在直线上，设PAB面积为S。 当点P运动到位置时，PAB与的面积相等吗？为什么？练
3、习：如图所示，直线和AB的夹角，且AB=50mm,求两平行线之间的距离。【思维拓展】一、 利用平行四边形的性质进行计算例1、若平行四边形ABCD的对角线相交与O点，且ABBC，过O点作OEAC，交BC于E。如果三角形ABE的周长为b。则平行四边形ABCD的周长是（ ）（例1图）例2、如图，在平行四边形ABCD中，点E为AD的中点，CE交BA的延长线于点F。若BC=2AB，求的度数。练习：1、如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F，若FDE的周长为8，FCB的周长为12，则FC的长为（ ）2、 如图，在平行四边形ABCD中，将平行四
4、边形ABCD折叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN，则等于（ ）二、 利用平行四边形的性质进行证明例3、如图甲所示，在平行四边形ABCD中，AE、BF分别平分,并分别交CD于点E、F,AE、BF相交于点M。（1）求证：AEBF；（2）判断线段DF与CE的大小关系，并予以证明。（两种解法）练习：如图，四边形ABCD是平行四边形，O是对角线AC的中点，过点O的直线EF分别交AB、DC于点E、F，与CB、AD的延长线分别交于点G、H。除AB=CD，AD=BC，OA=OC这三对相等的线段外，图中还有多对相等的线段，请选出其中一对加以证明 三、 与平行四边形面积有
5、关的计算例4、如图，点E是平行四边形ABCD内任意一点，平行四边形ABCD的面积是6，连结点E与平行四边形的四个顶点，求图中阴影部分的面积。练习：如图所示，在平行四边形ABCD中，点E为AC上一点，AE=2EC，点F为AB上一点，BF=2AF，BEF的面积为2平方厘米，求平行四边形ABCD的面积。四、 利用平行四边形的性质进行方案设计例5、如图是一块平行四边形贴片ABCD，且AB=2AD。现在想用这块贴片截出一个直角三角形，并要求斜边与AB重合，且面积最大，能否截出符合条件的三角形？如果能截出，画出截线；如果不能截出，请说明理由。练习：张大伯承包了一个呈四边形的池塘：如图所示，它的四个角A，B
6、，C，D处均有一棵核桃树，张大伯今年养鱼喜获丰收，明年准备把池塘面积扩大一倍，但又不想毁掉这四棵大树，并且扩建后的池塘呈平行四边形形状张大伯这一设想是否能实现？请你帮助他解决一下，并画出草图 二、 平行四边形的判定【知识要点及基础例题】平行四边形的判定方法1：定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。例1、如图所示，已知四边形ABCD中，ABCD，ADBC，P、Q分别是AB、CD上的点，且AP=CQ，求证：四边形PDQB为平行四边形。 平行四边形判定方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。例2、如图所示，在平行四边形ABCD中，M、N分别是CD、AB上的点，CM=AN，E、F是AC上的
7、点，且AE=CF.求证：四边形MENF是平行四边形。平行四边形判定3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。例3、如图所示，在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，BE的延长线与CD的延长线交于点F。（1） ABEDFE （2）试连结BD、AF，判断四边形ABDF的形状。平行四边形判定4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。例4、如图所示，在平行四边形ABCD中，E、F分别是对角线A、C的三等分点，求证：四边形BFDE是平行四边形。平行四边形判定5：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。例5、如图所示，AE、CF分别是平行四边形ABCD的内角的平分线。求证：四边形AECF是平行四边形。平行
8、四边形判定方法的选择平行四边形的五种判定方法：定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形。这五种判定方法分别是从四边形的边、角、对角线三个方面来判定，我们应仔细观察题目中所给出的条件，仔细选择适合题目的判定方法进行解答。在这五种方法中，有一种与对角线有关，一种与对角有关，其他三种与边有关，这五种判定方法还与平行四边形的性质相呼应，注意区别与联系。平行四边形判定方法选择 已知条件 选择的判定方法 边一组对边相等 方法2，方法3一组对边平行 定义
9、（方法1），方法3 角一组对角相等 方法5 对角线 方法4例6、如图所示，在平行四边形ABCD中，点E、F在AC上且AF=CE,点G、H分别在AB、CD上且AG=CH,AC与GH相交于点O。（1）求证：EGFH（2）GH、EF互相平分。 【拓展提高】例1、如图所示，在平行四边形ABCD中，以对角线AC为边长在其两侧各作一个正ACP和正ACQ,求证：四边形BPDQ是平行四边形。例2、如图所示，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AF=CE.求证：四边形BEDF是平行四边形。（多种方法证明）例3、如图所示，已知现有六边形的铁板ABCDEF,其中A=B=C=D=E=F=120，AB=1
10、0cm，BC=70cm，CD=20cm，DE=40cm，求AF和EF的长（两种思路）例4、加倍中线构造平行四边形解题如图所示，已知AD为ABC的中线，E为AC上一点，连结BE交AD于点F且AE=FE。求证：AC=BF例5、与平行四边形相关的动点问题如图，在四边形ABCD中，ADBC，且ADBC，BC=6cm,点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，Q以2cm/s的速度由C出发向B运动，几秒后，四边形ABQP是平行四边形？ 【规律总结】1、证明两条线段相等的常用方法：等角对等边；“三线合一”的性质；证明两线段所在三角形全等；平行四边形对边相等或对角线互相平分。2、 当
11、题中有三角形中线时，常加倍中线构造平行四边形，然后利用平行四边形的性质推出线段相等、平行或角相等。例5、如图所示，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AD、BC上的点，请你自行规定E、F在边AD、BC上的位置，然后补充题设，提出结论并证明（要求至少编制两个正确命题，且补充题设不能相同）例6、如图所示，某城市部分街道示意图，其中CD垂直平分AF，ABCD，BCDF。从B站乘车到E站只有两条路线有直接到达的公交车，路线1是BDAE，路线2是BCFE，请比较两条路线路程的长短，并给出证明【中考对接】1、 （厦门)如图所示，已知ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，EFB=60，DC=
12、EF(1) 求证四边形EFCD是平行四边形。(2) 若BF=EF,求证：AE=AD2、 (2010江苏）如图所示，在平行四边形ABCD中，点E、F是对角线AC上两点，且AE=CF。求证：【强化练习】1、 （天津）如图所示，点D、E、F分别是ABC的边AB、BC、CA的中点，连结DE、EF、FD,则图中平行四边形的个数为( )个2、 如图所示，D、E、F分别在ABC的各边上且DEAF,DE=AF,延长FD至G，使FG=2DF。求证：ED与AG互相平分。 - 3、（四川）有一块形状如图所示的玻璃，不小心把DEF部分打碎，现在只测得AB=60cm,BC=80cm，B=60，A=120,C=120你能根据测得的数据计算AD的长吗？4、如图所示，E、F分别是平行四边形ABCD的AD、BC边上的点，且AE=CF。（1）求证：ABECDF(2)若M、N分别是BE、DF的中点，连结MF、EN。试判断四边形MFNE的形状，并证明你的结论。10
