1、精品文档 第1章 代数式与恒等变形 1.1 四个公式知识衔接在初中，我们学习了实数与代数式，知道代数式中有整式，分式，根式，它们具有类似实数的属性，可以进行运算。在多项式乘法运算中，我们学习了乘法公式，如：平方差公式；完全平方公式，并且知道乘法公式在整式的乘除，数值计算，代数式的化简求值以及代数等式的证明等方面有着广泛的应用。而在高中阶段的学习中，将会遇到更复杂的多项式运算为此在本章中我们将拓展乘法公式的内容。知识延展1 多项式的平方公式：2 立方和公式：3 立方差公式：4 完全立方公式： 注意：（1）公式中的字母可以是数，也可以是单项式或多项式； （2）要充分认识公式自身的价值，在多项式乘积
2、中，正确使用乘法公式能提高运算速度，减少运算中的失误； （3）对公式的认识应当从发现，总结出公式的思维过程中学习探索，概括，抽象的科学方法； （4）由于公式的范围在不断扩大，本章及初中所学的仅仅是其中最基本，最常用的几个公式。一 计算和化简例1 计算：变式训练：化简 二 利用乘法公式求值；例2 已知，求的值。变式训练：已知且，求的值。三 利用乘法公式证明例3 已知求证：变式训练：已知，求证： 习题精练1 化简：2 化简 3 已知且，求代数式的值；4 已知，求代数式的值；5 已知，求证：6 已知且均为正数，求证：以为边的四边形为菱形。 1.2 因式分解知识延展一 运用公式法立方和（差）公式： 二
3、 分组分解法1 分组后能直接提公因式 如：2 分组后直接应用公式 如：三 十字相乘法 1 如：2 其中如： 注意：十字相乘法的要领是：“头尾分解，交叉相乘，求和凑中，观察实验”四 其它方法简介 1 添项拆项法 如：（1）（2） 2 配方法 如： 3 运用求根公式法 题型归类一 分解因式 例1 把下列各式分解因式：（1） （2） （3） （4）二 利用分解因式解方程 例2 解方程：变式训练：若关于的方程（其中均为正数）有两个相等实根，证明以为长的线段能组成一个三角形，并指出该三角形的特征。三 利用分解因式化简分式 例3 已知求的值；变式训练：当等于的倒数时，求分式的值四 利用分解因式化简根式例4
4、 化简：变式 计算： 习题精练1 分解因式（1） （2） （3） （4）2 已知，求分式的值3 已知，化简4 求满足方程的所有整数解；5 已知，求证：6 已知，求证： 第2章 方程与不等式 2.1 一元二次方程的根系关系知识延展 1 一元二次方程根与系数关系（韦达定理）；如果的两个实数根是那么2 韦达定理的重要推论； 推论1 如果的的两个实数根是那么 推论2 以两个实数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是题型归类 一 不解方程，求含有已知一元二次方程两实根的对称式的值 （1） （2） （3） （4）变式训练 已知方程的两实根为，不解方程求下列各式的值； （1）； （2） （3） 例2 已知是
5、一元二次方程的两个实数根。 （1）是否存在实数，使成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由 （2）求使的值为整数的实数的整数值；变式训练 已知关于的方程根据下列条件，分别求的值。 （1）方程两实数根的积为5 （2）方程两实数根满足三 已知方程的两实根，求作新方程例3 已知方程不解方程，求作一个新方程，使它的一个根为原方程两实根的和的倒数，另一个根为原方程两实根差的平方。变式训练 不解方程，求作一个一元二次方程，使它的根比原方程各实根的2倍大1.四 已知两数的和与积，求这两数例4 已知两数和为14，积为-1，求这两个数。变式训练 已知两个数的和为，积等于，求这两个数。例5 当实数为何值时，
6、一元二次方程， （1）有一根为0 （2）两根互为倒数； （3）有两个异号根，且正根的绝对值较大；（4）一根大于3，一根小于3变式训练 已知整系数方程有一正根和一负根，且正根的绝对值较小，求的值和方程的根。 习题精练1 已知是方程的两个实数根，不解方程，求 （1） （2） （3）的值。2 已知关于的方程的两实根是一个矩形的两边的长 （1）当取何值时，方程存在两个正实数根？ （2）当矩形对角线长是时，求的值。3 已知是关于的方程的两个正实数根，且满足，求实数的值。4 设是方程的两实根，求作以为根的一元二次方程；5 已知实数分别满足和且，试求代数式的值。6 已知关于的方程（a为常数）的两个实数根是且
7、，求的值； 2.2 分式方程知识延展 可化为一元二次方程的分式方程解法有两种：一种是一般解法去分母法；另一种是特殊解法换元法 去分母法的一般步骤如下： 1 将分母分解因式，找到最简公分母； 2 以最简公分母乘以方程两边去分母，得到一个一元二次方程； 3 解这个一元二次方程； 4 验根题型归类一 用一般方法去分母法解分式方程例1 解下列分式方程 （1） （2） （3）变式训练 解下列分式方程： 1 ； 2 二 灵活应用去分母法解分式方程先通分再去分母 例2 解分式方程：变式训练：解方程 三 用特殊方法换元法解分式方程 例3 解方程变式训练 解方程：例4 解下列分式方程： （1） （2） （3）变
8、式训练 解下列方程； （1） （2） 习题精练1 解方程 （1） （2）2 解分式方程 3 解分式方程：4 用换元法解分式方程： （1） （2）5 用换元法解分式方程 （1） （2） （3） （4） 2.3 一元二次不等式知识延展 1 一元二次不等式的定义：形如和的不等式叫一元二次不等式 2 一元二次不等式的解法； （1）形如的解法是：在方程，若时，方程有两个不相等实根其，则的解集为或；若时，则的解集为；若时，则解集为一切实数 （2）形如的解法是：在方程中，若时，方程有两个不相等实根其，则的解集为；若时，则的解集为空集（无实数解）；若时，则解集为空集（无实数解）判别式b24ac000)的图象一
9、元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x10(a0)的解集x|xx2x|xx1x|xRax2bxc0)的解集x|x1xx2 一 求形如的解例1 解下列不等式 （1） （2） （3）变式训练 解不等式： （1） （2）二 求形如的解 例2 解不等式 （1） （2） （3）变式训练 解不等式 1 2 3 三 利用一元二次不等式与一元二次方程之间关系来解决问题 例3 已知不等式的解集是或，求不等式的解集。变式训练 已知关于的不等式的解集为或，试求解关于的不等式例4 解关于的一元二次不等式变式训练 解关于的一元二次不等式（a为常数）四 一元二次不等式，二次函数，二次方程之间的关系
10、例5 画出函数的图像，利用图像说明： （1）当取何值时， （2）当取何值时， （3）当取何值时，例6 已知不等式的解集为，求的值 变式训练 已知不等式的解集是或，则实数的取值是 ；例7 求的取值范围，使得抛物线在轴的下方；变式训练 若不等式的解集为全体实数，求实数的取值范围。 习题精练1 解下列一元二次不等式： （1） （2） （3）（4）2 当是什么实数时，有意义？3 当时什么实数时，二次函数的值（1）等于0？（2）是正数 ？（3） 是负数？4 当时，求函数的最大值和最小值。5 若的解集为，求实数 2.4 绝对值不等式知识延展1 和差的绝对值与绝对值的和差的关系 （1） （2）2 含有绝对值
11、的不等式的解法 （1）最简单的含有绝对值的不等式的解法： 的解为 无解 的解为或 的解为的一切实数； 的解为一切实数 （2）较简单的含有绝对值的不等式的解法： 1 2 或 3 的解法： 先求出使每个绝对值符号内的数学式子等于零的未知数的值（称为零点），将这些值依次在数轴上标出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的式子在每一个区间上的符号，去掉绝对值符号，使之转化为不含绝对值的不等式去解，这种方法我们称为零点分段法 4 或 题型归类一 含有一个绝对值的一次不等式的解法 例1 解下列不等式 （1） （2）变式训练 （1） （2） 二 含有两个绝对值的不等式的解法例2 解不等式变式训
12、练 解不等式 三 含有二次式的绝对值不等式的解法 例3 解不等式：变式训练 解不等式四 求绝对值不等式中的字母系数的取值范围 例4 若满足不等式的值也满足不等式，求的取值范围。变式训练 若关于的不等式的解集是，求的值。 习题精练1 解下列不等式 （1） （2）2 解不等式 3 解不等式（1） （2）4 解不等式：5 解不等式：6 解不等式： 2.5 分式不等式与高次不等式知识延展 1 分式不等式的解法： （1）形如的不等式可转化为，也可转化为或（2） 形如的分式不等式转化时需注意，即应转化为2 高次不等式的解法 高次不等式一般采用“根轴法”，即首先将高次不等式变形成一边为最高项系数为正的形式（
13、最好能分解成一次因式的积），然后解得相应的高次方程的解，并把解标在数轴上。用曲线从上往下，从右往左因式为奇数次幂的根穿过，偶数次幂的根折过，简记：奇穿过，偶折过提醒归类一 一般分式不等式的解法 例1 解下列不等式 （1） （2） （3）变式训练 解下列分式不等式 1 2 二 已知分式不等式的解集，求分式不等式中待定系数 例2 关于的不等式的解集为，求实数的值；变式训练 已知关于的不等式的解为，其实数的取值范围；三 高次不等式的求解 例3 解下列高次不等式 （1） （2） （3） 变式训练 1 2 习题精练1 解下列分式不等式 （1） （2）2 解下列分式不等式： （1） （2）3 已知关于的不
14、等式，问实数与的解集有怎样的关系？4 解下列高次不等式 (1) （2）5 解下列不等式 （1） （2）6 解不等式 （1） （2） 第三章 函 数知识延展 函数的定义可以进一步叙述如下： 设为给定的两个数集，如果按某个确定的对应关系，使对于A中的任意一个数，在B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从A到B的一个函数，记作： 其中是自变量，与的值相对应的的值叫做函数值。 在这个定义下，表示一个函数。因为对于任何一个数，按对应法则“函数值总是1”，y都有唯一确定的值1与它对应，所以是的函数。题型归类一 已知函数解析式，求函数值例1 已知函数，求变式训练 已知且，求的值；二 求函数解析式题型1：代
15、入法求解析式例2 （1）已知，求；（2）已知，求变式训练 已知，求题型2：待定系数法求函数解析式 例3 已知是一次函数，且满足，求变式训练：已知是二次函数，若，且，求的表达式； 习题精练1 已知求2 已知，求方程的解3 已知为反比例函数，其图像上一点A，轴，求的解析式4 已知，求5 已知，且求6 若，其中均为常数，已知，求 3.2 分段函数知识延展 当函数关系（注意：不是函数值）随着自变量不同的取值范围而改变时，就需要将函数关系式分段表示，通常，我们把这样的函数叫做分段函数。例如： 注意：（1）分段函数是指自变量在不同的取值范围内对应不同的解析式的函数。 （2）分段函数就整个“变化过程”而言，
16、是一个函数，而不是几个函数，只是“过程中”的不同阶段，其解析式不同而已。 （3）在实际生活中，我们常见到诸如“质点运动相关的图形面积”，“出租车计价”，电话收费“。”个人所得税纳税金额“等分段函数。题型归类一 已知分段函数，求相关值或范围 例1 已知当时，当时，函数的值为？变式训练 设函数求使得函数值的自变量的值。例2 设函数求函数的最大值；变式训练 设函数求函数值的取值范围。二 作分段函数的图像 变式训练 画出函数的图像 习题精练1 已知 （1）分别求出当取时，函数的值； （2）设当时，求当时，的值.2 已知 （1）分别求出当取时，函数的值； （2）当取何值时，当取何值时，3 已知函数当取何
17、值时，函数的值小于4 画出函数的图像.5 求函数的最大值和最小值.6 作函数的图像 3.3 函数图像的变换题型归类一：平移变换例1 将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，求所得抛物线的解析式.变式训练：将双曲线沿轴正方向平移2个单位，在沿轴负方向平移1个单位，求所得的函数解析式。二 翻折变换例2 画出下列函数的图像： （1） （2）方法总结：将函数的图像在轴上方的部分不变，下方的部分翻折到轴上方得到函数的图像将函数的图像在轴右方的部分不变，左方的部分图像由右方的图像沿轴翻折，得到函数的图像变式训练 画出函数的图像.三 对称变换例3 已知定义在上的函数的图像如图所示，分别画出的图像.方法
18、点拨：函数的图像与函数的图像分别关于轴，轴，原点对称。变式训练 抛物线沿轴对折，所得图像的函数解析式是 ； 习题精练1 如何将直线平移，能够得到直线试写出两种不同的方案。2 说出下列问题中图像变换的途径： （1）由抛物线变换为； （2）有抛物线变换为.3 画出函数的图像，求函数的最小值.4 画出函数的图像.5 画出函数的图像.6 作下列函数的图像（已知的图像如图所示） （1） （2） （3） （4）（5） （6） 3.4 给定范围内的二次函数的最值知识衔接： 在初中阶段，我们比较详细的讨论了二次函数在自变量取任意实数时的最小值和最大值：当时，函数在处取得最小值，无最大值；当时，函数在处取得最大
19、值，无最小值。 如果我们限制自变量在某个范围内取值，例如时，函数的最大值或最小值又是怎样的情况呢？知识延展： 二次函数在自变量的给定范围内，对应的图像是抛物线上的一段（含两个端点），必存在最高点和最低点.二次函数在闭区间上的最大值或最小值只能在给定范围内的端点处包含在给定范围内的顶点处取得. 解题时通常先确定是否属于该范围，然后分别求出给定范围的两个端点处的函数值来进行比较。在遇到有待定系数时，画出函数图像，就待定系数分类讨论是常用的数学思想方法。题型归类：一 无限制条件的最值例1 对于函数 1 当时，（1）当 时，取最小值， ； （2）当时，随的增大而 ； （3）当时，随的增大而 ；2 当时
20、，（1）当 时，取最大值， ； （2）当时，随的增大而 ； （3）当时，随的增大而 ;3 作出二次函数的图像，并求出函数的最值；变式训练 求二次函数的最值.二 给定范围内的最值 例2 观察函数在下列范围内时的图像，并求出其最值。 （1） （2） （3）变式训练 已知，求在下列给定范围内时，函数的最大值和最小值。 （2） （3）三 含参数的二次函数的最值 例3 已知在时的最大值是3，求实数的值；方法点拨：当二次函数的对称轴不定，而自变量的取值范围给定时，则应对对称轴的位置进行分类讨论，即对称轴在给定范围的左侧，中间和右侧，分别结合图像求其最值。变式训练 已知函数，且，求函数的最值。 习题精练1
21、求二次函数在时的最大值和最小值。2 对于函数。当变化时，求的取值范围.3 已知关于的函数当取何值时，的最小值为零？4 已知函数在时的最大值是3，最小值是2，求的取值范围。5 若，当时，函数的最小值是，最大值是0，求的值。6 求函数的最大值和最小值.1 求函数的值域；2 已知 （1）若，恒有，求的取值范围； （2）若恒有，求的取值范围；3 设为实数，函数的最大值为. （1）设，求的取值范围，并把表示成的函数 （2）当时，求.4 （1）若方程在时有实数解，求的取值范围； （2）为何值时方程在时有两解？有一解？无解？5 已知，若在区间上的最大值为，最小值为，令。 （1）求的表达式及的最小值；6 已知
22、二次函数，满足条件：，且方程有等根. （1）求的解析式 （2）是否存在实数，使在定义域和值域分别为和，如果存在求出的值；如果不存在，说明理由； 3.5 一元二次方程的实根分布知识延展 一元二次方程，一元二次不等式及一元二次函数三者关系紧密，相互关联，结合二次函数的图像来讨论一元二次方程的实根分布问题，不仅可以解决利用韦达定理无法解决的问题，还可以简化计算步奏这种方法为数形结合。 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0两个正根即两根都大于0一正根一负根即一个根小于0，一个大于0大致图象（）得出的结论大致图象（）得出的结论综合结论（不讨论） 表二：（两根与的大小比
23、较）分布情况两根都小于即两根都大于即一个根小于，一个大于即大致图象（）得出的结论大致图象（）得出的结论综合结论（不讨论）表三：（根在区间上的分布）分布情况两根都在内两根有且仅有一根在内（图象有两种情况，只画了一种）一根在内，另一根在内，大致图象（）得出的结论或大致图象（）得出的结论或综合结论（不讨论）题型归类一 两根同号或异号例1 已知关于的方程，分别下列情况，确定的取值范围： （1）方程两根都是正数 （2）方程两根都是负数 （3）方程有一个正根，一个负根。变式训练 已知关于的方程有两个负根，求的取值范围。二 两根在某一点的同侧例2 当为何值时，关于的方程的两实根均大于2？方法点拨：代数法：应
24、转化为；几何法：作出符合题意的图形，从判别式，对称轴的位置及特殊点的函数值三方面来列出符合题意的不等式（组）变式训练 讨论方程在满足什么条件时两实根都小于1三 两根在某一点的异侧例3 当为何值时，关于的方程有一根大于1，另一根小于1.变式训练 当取何值时，关于的方程有一个根大于1，另一个根小于1？ 习 题 精 练1 函数的图像如图所示，试确定下列代数式的值的符号： 2 已知关于的方程，求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根，但不可能都是负数。3 若关于的方程中，一个根大于3，另一个根小于3，求实数的取值范围。4 设关于的方程的两个实数根为，若，求实数的取值范围.5 设关于的方程的两实根，
25、已知，求的取值范围。6 已知关于的方程在范围内有实根，求的取值范围。1 关于的方程根据下列条件分别求出的取值范围. （1）两根都大于 （2）一根大于2 ，另一根小于2 （3）一根在区间上，另一根在区间上.2 （1）当为何值时，方程有两个负实数根； （2）关于的方程至少有一个正实数根，求实数的取值范围.1.1集合 第1课时集合的含义与集合的表示课时目标1.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性.2. 体会元素与集合间的“从属关系”.3.记住常用数集的表示符号并会应用4 .掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法).5.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合1元素与集合的概念(1)把
26、_统称为元素，通常用_表示(2)把_叫做集合(简称为集)，通常用_表示2集合中元素的特性：_、_、_.3集合相等：只有构成两个集合的元素是_的，才说这两个集合是相等的4元素与集合的关系关系概念记法读法元素与集合的关系属于如果_的元素，就说a属于集合AaAa属于集合A不属于如果_中的元素，就说a不属于集合AaAa不属于集合A5.常用数集及表示符号：名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号_6 集合的表示：1列举法把集合的元素_出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法2描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为_不等式x73的解集为_所有偶数的集合可表示为_总结：集合的概念，是
27、我们在高中进一步学习函数的基础概念，用集合的观点来研究函数，是近代数学的思想。对于函数，我们将会有新的认识和理解，有利用对数学的深入学习。什么是集合，在高中的教材中，仅作了一种描述：某些指定的对象集在一起就成为一个集合.对这一描述，要理解“对象”的内涵，在集合中，我们将“对象”称为“元素”，它具有如下三个特征：1 确定性 （又叫封闭性） 2 互异性 3 无序性集合的表示法有：列举法，描述法，韦恩图法等.如方程的解组成的集合，可用列举法表示为。不等式的解集，可用描述法表示为.通常我们用大写的拉丁字母表示集合，用小写的拉丁字母表示集合中的元素。列举法，描述法都用大括号表述.元素与集合之间是属于或不
28、属于的关系，如是集合A的元素，记作，读作属于A;不是集合A的元素，记作，读作不属于A。集合简称集，在高中数学中主要研究数集和点集. 数集中的元素都是数，点集中的元素都是点，通常用点的坐标来表示。常用数集的记法：N 自然数集 正整数集 Z 整数集 Q 有理数集 R 实数集含有有限个元素的集合叫有限集，含有无限个元素的集合叫无限集，不含任何元素的集合叫空集，记作题型归类一 集合的概念例1 下列的描述中，能构成集合的是（ ） A 给出数字 B 美丽的鲜花 C 所有的无理数 D 一切很大的正整数例2 在下面的各个集合中，表示空集的是（ ） A B C D 二 元素与集合例1 集合的元素有多少个？并用列
29、举法表示集合A.例2 用列举法表示下列集合； （1） （2） 例3 下列各小题，分别指出了一个集合的所有元素，用适当的方法（列举法或描述法）把这个集合表示出来，并说出它是有限集还是无限集.1 由这三个数字组成的没有重复数字的三位数2 平面内，一个动作到两个定点距离相等的所有点。3 一元二次方程的根；4 抛物线与轴的交点。例4 设集合，且，求例5 下面三个集合：（1）；（2） （3） （1）它们各自的含义是什么； （2）它们是不是相同的集合；例6 已知，求实数的值；例7 已知集合，若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围；课堂训练：1下列语句能确定是一个集合的是()A著名的科学家B留长发的女生C
30、2010年广州亚运会比赛项目D视力差的男生2集合A只含有元素a，则下列各式正确的是()A0A BaACaA DaA3已知M中有三个元素可以作为某一个三角形的边长，则此三角形一定不是()A直角三角形 B锐角三角形C钝角三角形 D等腰三角形4由a2,2a,4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是()A1 B2 C6 D25已知集合A是由0，m，m23m2三个元素组成的集合，且2A，则实数m为()A2 B3C0或3 D0,2,3均可6由实数x、x、|x|、及所组成的集合，最多含有()A2个元素 B3个元素C4个元素 D5个元素7集合xN|x32用列举法可表示为()A0,1,2,3,4
31、 B1,2,3,4C0,1,2,3,4,5 D1,2,3,4,58集合(x，y)|y2x1表示()A方程y2x1B点(x，y)C平面直角坐标系中的所有点组成的集合D函数y2x1图象上的所有点组成的集合9将集合表示成列举法，正确的是()A2,3 B(2,3)Cx2，y3 D(2,3)10用列举法表示集合x|x22x10为()A1,1 B1Cx1 Dx22x1011已知集合AxN|x，则有()A1A B0AC. A D2A12方程组的解集不可表示为()A BC1,2 D(1,2)二、填空题13由下列对象组成的集体属于集合的是_(填序号)不超过的正整数；本班中成绩好的同学；高一数学课本中所有的简单题；平方后等于自身的数14集合A中含有三个元素0,1，x，且x2A，则实数x的值为_15用符号“”或“”填空_R，3_Q，1_N，_
