1、2020 年全国高考新课标卷名师押题信息卷 文科数学 本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、一、选择题（本大题共选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目
2、要求的）合题目要求的） 1若集合 Ax|y 2x ，Bx|x2x0，则 AB（ ） A0，1） B0，1 C0，2） D0，2 【答案】B 【解析】集合 Ax|y 2x x|x2， Bx|x2x0x|0x1， 则 ABx|0x10，1. 2复数满足1+i = 1 i，则| =（ ） A2i B2 Ci D1 【答案】D 【解析】由题意，复数1+ = 1 ，解得 = 1+ 1 = (1+)(1+) (1)(1+) = ，所以| = 1，故选 D 3 周髀算经中提出了“方属地，圆属天”，也就是人们常说的“天圆地方”我国古代铜钱的铸造也蕴 含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想现将铜钱抽象成如图
3、所示的图形，其中圆的半径为 r，正 方形的边长为 a（0ar） ，若在圆内随机取点，得到点取自阴影部分的概率是 p，则圆周率 的值为 （ ） A 2 2 1 a p r B 2 2 1 a p r C 1 a p r D 1 a p r 【答案】A 【解析】圆形钱币的半径为 rcm，面积为 S圆r2； 正方形边长为 acm，面积为 S正方形a2 在圆形内随机取一点，此点取自黑色部分的概率是 p SS S 圆正方形 圆 1 2 2 a r ， 所以 2 2 1 a p r 4在ABC中，a，b，c分别为三个内角 A，B，C所对的边，设向量 (),( ,)mbcca nb ca， 若m n u v
4、v ，则角 A的大小为（ ） A 6 B 3 C 2 D 2 3 【答案】B 【解析】因为m n ,所以( 0)()()bcca cam nb, 即 222 0bbcca ,所以 222 2 1 cos, 22 bca bc bc A bc 因为 0,A,故 3 A 5将函数 ( )2sin 3 f xx 图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩为原来的 1 2 ，然后将所得函数 图象再向右平移 (0)m m 个单位长度，所得函数图象关于y轴对称，则m的最小值为（ ） A 12 B 3 C 5 12 D 7 12 【答案】C 【解析】将函数( )2sin 3 f xx 图象上所有点的纵坐标不变，横坐
5、标缩为原来的 1 2 ， 可得2sin 2 3 yx 的图象，然后将所得函数图象再向右平移 (0)m m 个单位长度， 得到2sin 22 3 yxm 的图象， 所得函数图象关于 y 轴对称，则2 32 mk ,即, 212 k mkZ ， 故当1k 时，m取得最小值为 5 12 . 6函数 1 ( )2 2 x f xx 的零点所在区间为（ ） A( 1,0) B(0,1) C(1,2) D(2,3) 【答案】D 【解析】12 1 25f ， 01 023f ， 13 11 2 22 f ， 11 222 44 f， 17 332 88 f ， 230ff， 由零点存在定理可知： f x零点
6、所在区间为2,3. 7函数 1 ( )2f xx x 的图象大致是（ ） A B C D 【答案】C 【解析】当 x0时， 1 ( )20f xx x ，故排除选项 B、D； 又 17 240 22 f （ ），故排除选项 A 8 已知一个几何体的三视图如图所示， 正 （主） 视图是由一个半圆弧和一个正方形的三边拼接而成的， 俯视图和侧（左）视图分别为一个正方形和一个长方形，那么这个几何体的体积是( ) A1 2 B1 4 C1 8 D1+ 【答案】C 【解析】 根据几何体的三视图转换为直观图为： 该几何体为一个棱长为 1的正方体和一个底面半径为 1 2 ， 高为 1的半个圆柱. 如图所示：
7、所以：V 2 11 1 1 1( )11 228 . 9执行如图所示的程序框图，若输入n的值为 3，则输出s的值是( ) A1 B2 C4 D7 【答案】C 【解析】 第一次循环； 第二次循环； 第三次循环； 结束循环， 输出 选 C. 10在三棱锥PABC中，已知 4 APC ， 3 BPC ，PAAC，PBBC，且平面PAC 平 面PBC， 三棱锥PABC的体积为 3 6 ， 若点, , ,P A B C都在球O的球面上， 则球O的表面积为( ) A4 B8 C12 D16 【答案】A 【解析】取PC中点O，连接,AO BO，设球半径为R，因为 3 BPC ，PAAC，PBBC， 所以AO
8、BOR，2PCR，PBR，3BCR， 因为 4 APC ，PAAC，所以PAAC，则AOPC, 因为平面PAC 平面PBC，所以AO 平面PBC，即 13 36 PABCPBC VSAO ， 所以 3 33 66 R ，1R，球的表面积为 2 44R . 11 已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 上一点 A 关于原点的对称点为点 B， F 为其右焦点， 若AFBF， 设ABF，且, 6 4 ，则该椭圆离心率e的取值范围为（ ） A 2 , 31 2 B 2 ,1 2 C 23 , 22 D 36 , 33 【答案】A 【解析】由题意得OAOBOFc，所以 A 在圆 222 =xy
9、c上，与 22 22 1 xy ab 联立解得 222 2 2 () A acb x c ， 因为ABF，且, 6 4 ， 所以 2 2 sin2 2 sin()2 sin, AA aacac ac AFcexcx ceee 因此 222 22 2 2() ()() acacbac ece ， 解得 22222222 (2 )() (2 )2()accbacaccaac， 即 22 2 ,20ac acac，即 2 2 12 ,12031 2 eeee ，选 A. 12定义在上的函数()对任意1,2(1 2)都有(1)(2) 12 0，且函数 = ( 1)的图象关于 (1,0)成中心对称，若,
10、满足不等式(2 2) (2 2)，则当1 4时，2 + 的取值范围是 （ ） A3, 1 2) B3, 1 2 C5, 1 2) D5, 1 2 【答案】D 【解析】 由已知条件知函数()为奇函数且在上为减函数,由(2 2) (2 2)有(2 2) (2 2),所以2 2 2 2，( )( + 2) 0,若以为横坐标,为纵坐标,建立平面直角坐标 系,如图所示,阴影部分为不等式*( )( + 2) 0 1 4 表示的平面区域,即及其内 部,(1,1),(4,4),(4,2),令 = 2 + ,则 = 2+ 1 ,求出= 1 2 ,= 1,所以,解得 5 1 2, 2 + 的取值范围是5, 1 2
11、,选 D. 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13曲线 ye5x2在点(0，3)处的切线方程为_ 【答案】530xy. 【解析】因为 y5e5x，所以切线的斜率 k5e05，所以切线方程是：y35(x0)，即 y 5x3. 14已知 n a、 n b 都是等差数列，若 110 +=9ab， 38 +=15ab，则 56 +=ab_ 【答案】21. 【解析】 n a、 n b都是等差数列， 若 110 +=9ab， 38 +=15ab， 又 1561038 230aabbab， 56110 3030 921abab ， 15如果命题 0px ：， 4 957xm x
12、 为真命题，则实数 m的取值范围是_ 【答案】|1m m 【解析】命题 p为真命题，即当0x 时，不等式 4 957xm x 恒成立， 又当0x 时， 44 92912xx xx ， 当且仅当 4 9x x ，即 2 3 x 时， 4 9x x 取得最小值 12， 故5712m，解得1.m 16 正方体 ABCDA1B1C1D1中， E是棱 DD1的中点， F是侧面 CDD1C1上的动点， 且 B1F平面 A1BE， 记 B1与 F的轨迹构成的平面为 . F，使得 B1FCD1 直线 B1F与直线 BC所成角的正切值的取值范围是 2 4 ， 1 2 与平面 CDD1C1所成锐二面角的正切值为
13、2 2 正方体 ABCDA1B1C1D1的各个侧面中，与 所成的锐二面角相等的侧面共四个. 其中正确命题的序号是_.（写出所有正确的命题序号） 【答案】 【解析】如图所示， 设正方体的棱长为 2，分别取 CC1和 C1D1的中点为 M，N，连接 MN、MB1、NB1，则 MNA1B，MB1 EA1， MN、MB1平面 MNB1，A1B、EA1平面 A1BE，且 MNMB1M，A1BEA1A1， 平面 MNB1平面 A1BE， 当 F在 MN上运动时，始终有 B1F平面 A1BE，即平面 MNB1就是平面 . 对于，当 F为线段 MN的中点时，MB1NB1，B1FMN，MNCD1，B1FCD1，
14、即正 确； 对于，BCB1C1，直线 B1F与直线 B1C1所成的角即为所求， B1C1平面 MNC1，C1F平面 MNC1，B1C1C1F， 直线 B1F与直线 B1C1所成的角为FB1C1，且 tanFB1C1 1 11 FC BC ， 而 FC1的取值范围为 2 1 2 ，B1C12，所以 tanFB1C1 2 4 ， 1 2 ，即正确； 对于，平面 MNB1与平面 CDD1C1所成的锐二面角即为所求， 取 MN的中点 Q，因为 B1C1平面 MNC1，所以B1QC1就是所求角， 而 tanB1QC1 11 1 2 2 2 2 2 BC QC ，即正确； 对于，由对称性可知，与 所成的锐
15、二面角相等的面有平面 BCC1B1，平面 ADD1A1，平面 A1B1C1D1， 平面 ABCD，即正确. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分 12 分） 已知an是公差为 1的等差数列，数列bn满足 1211 1 1, 2 nnnn bba bbnb . （1）求数列bn的通项公式； （2）设 1 2 n n n c b ，求数列cn的前 n项和 Sn. 【解析】 （1）由已知得： 1 2211 ,1a bbba 又an是公差为 1的等差数列， n anann. 11nnnn a bbnb 1 (1) nn nbnb ，数
16、列nbn是常数列， 1 1 1, nn nbbb n （2）由（1）得： 11 22 n n n n cn b 23 1111 123 2222 n n Sn 又 2341 11111 123 22222 n n Sn 由可得： 231 111111 222222 nn n Sn 1 11 1 22 1 1 2 1 2 n n n 1 1 1 (2) 2 n n 1 2(2) 2 n n Sn 18（本小题满分 12 分） 在三棱柱 111 ABCABC中，2,120ACBCACB，D为 11 A B的中点. （1）证明： 1 /AC平面 1 BC D； （2）若 11 A AAC ，点 1
17、A在平面ABC的射影在AC上，且侧面 11 A ABB的面积为2 3，求三棱锥 11 BA C D的体积. 【解析】 （1）证明：连接 1 BC交 1 BC于点E，连接DE. 则E为 1 BC的中点，又D为 11 A B的中点，所以 1 / /DEAC，且DE 平面 1 BC D， 1 AC 平面 1 BC D， 则 1 / /AC平面 1 BC D. （2）解：取AC的中点O，连接 1 AO，过点O作OF AB于点F，连接 1 AF. 因为点 1 A在平面ABC的射影O在AC上，且 11 A AAC ， 所以 1 AO 平面ABC， 1 AOAB， 1 AOOFO，AB 平面 1 AOF，
18、则 1 AFAB. 设 1 AOh，在 ABC中，2ACBC，120ACB， 2 3AB ， 1 2 OF ， 2 1 1 4 AFh， 由 11 2 1 2 32 3 4 A ABB Sh，可得 1 3 2 AOh . 则 111 1 ABC DB AC D VV 1 1 1 1 3 BAC D AOS 1311 2 3222 1 2 sin120 4 . 所以三棱锥 11 ABC D的体积为 1 4 . 19（本小题满分 12 分） 中国诗词大会是中央电视台于 2016年推出的大型益智类节目，中央电视台为了解该节目的收视情 况，抽查北方与南方各 5个城市，得到观看该节目的人数(单位：千人)
19、如茎叶图所示，但其中一个数字 被污损. （1）若将被污损的数字视为 09中 10个数字中的一个，求北方观众平均人数超过南方观众平均人数 的概率； （2） 该节目的播出极大激发了观众学习诗词的热情,现在随机统计了 4位观众每周学习诗词的平均时间 y（单位：小时）与年龄x（单位：岁） ，并制作了对照表（如下表所示） ： 年龄x 20 30 40 50 每周学习诗词的平均时间 y 3 3.5 3.5 4 由表中数据分析，x与y呈线性相关关系，试求线性回归方程，并预测年龄为 60岁的观众每周学习诗 词的平均时间. 参考公式： 1 2 2 1 n ii i n i i x ynx y b xn x ，a
20、ybx $ 【解析】 （1）设污损的数字为x，由北方观众平均人数超过南方观众平均人数得 78798281 807377788680 55 x ， 6x，即0,1,2,3,4,5x ， 63 105 P； （2） 1 2030405035 4 x ， 1 33.53.543.5 4 y ， 4490xy， 又 4 1 20 330 3.540 3.550 4505 ii i x y ， 4 22222 1 203040505400 i i x ， 2 505490 0.03 54004 35 b ， 3.50.03 352.45a ， 0.032.45yx， 60x 时，4.25y . 答：年龄
21、为 60岁的观众每周学习诗词的平均时间大约为4.25小时. 20（本小题满分 12 分） 已知椭圆 C： 22 1 xy ab （ab0）的焦距为 2，且过点 3 1 2 ，. （1）求椭圆 C的方程； （2）已知BMN是椭圆 C的内接三角形，若坐标原点 O为BMN的重心，求点 O到直线 MN距离的 最小值. 【解析】 （1）由题意可得：椭圆的焦距为 2，则1c ，又椭圆过点 3 1 2 ， 22 222 19 1 4ab cab ，解得：a24，b23， 所以椭圆的方程为： 22 43 xy 1； （2）设 Bmn，记线段 MN中点 D， 因为 O为BMN的重心，所以BO 2OD uuu r
22、 ，则点 D的坐标为： 22 ， nm ， 若 n0，则|m|2，此时直线 MN与 x轴垂直， 故原点 O到直线 MN的距离为 2 m ，即为 1， 若 n0，此时直线 MN的斜率存在， 设 M（x1，y1），N（x2，y2），则 x1+x2m，y1+y2n， 又 22 11 43 xy 1， 22 22 43 xy 1， 两式相减 12121212 43 xxxxyyyy 0， 可得：kMN 12 12 yy xx 3 4 m n ， 故直线 MN的方程为：y 3 4 m n （x 2 m ） 2 n ，即 6mx+8ny+3m2+4n20， 则点 O到直线 MN的距离 d 22 22 34
23、 3664 mn mn ， 将 22 43 mn 1，代入得 d 2 3 9n ， 因为 0n23，所以 dmin 3 2 ，又 3 2 1， 故原点 O到直线 MN的距离的最小值为 3 2 . 21（本小题满分 12 分） 已知函数 f（x）lnxsinx+ax（a0） （1）若 a1，求证：当 x（1， 2 ）时，f（x）2x1； （2）若 f（x）在（0，2）上有且仅有 1个极值点，求 a的取值范围 【解析】 （1）证明：当 a1时，f（x）lnxsinx+x，令 g（x）f（x）（2x1）lnxsinxx+1， x1 2 ， ， 则 11 cos10 x gxxcosx xx ，g（x
24、）在（1， 2 ）上单调递减， 故 g（x）g（1）sin10，所以 f（x）2x1； （2）解：由题知 1 fxcosxa x ，令 0fx ，所以 1 acosx x f x在（0，2）上有且仅有 1 个极值点， 函数 y 1 a x （a0）与函数 ycosx，x（0，2）的图象只有一个交点， 1 21 2 acos ，即 1 1 2 a ， 所以 a的取值范围为 1 0,1 2 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目 计分 22 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，直线 1 l的方程为
25、3yx，曲线C的参数方程为 13 3 xcos ysin （是参数， 0）.以O为极点， x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）分别写出直线 1 l与曲线C的极坐标方程； （2） 若直线 2:2 sin 3 30 3 l ， 直线 1 l与曲线C的交点为A， 直线 1 l与 2 l的交点为B， 求AB. 【解析】（1）直线的极坐标方程为 3 ,曲线的普通方程为，又 ，所以曲线的极坐标方程为. （2）设，则有，解得,设，则有 ，解得,所以. 23 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数( ) |1|2 |f xxxa （1）若1a ，解不等式( )4f x ； （2）对任意的实数m，若总存在实数x，使得 2 24( )mmf x，求实数a的取值范围 【解析】 （1）当1a 时，( )4|1|2| 4f xxx， 化为 1 23 x x 或 12 34 x 或 2 214 x x 解得 3 1 2 x 或12x 或 5 2 2 x， 35 22 x. 即不等式( )4f x 的解集为 3 5 (, ) 2 2 . （2）根据题意，得 2 24mm的取值范围是 ( )f x值域的子集. 22 24(1)33mmm 又由于( )1221f xxxaa ， ( )f x的值域为|21|,)a 故|21| 3a ，21a . 即实数a的取值范围为 2,1.
