1、山东省 2020 年高考名师押题信息卷 数学试题 2020.6.29 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 姓名_ 班级_ 考号_ 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂 其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4测试范围：高中全部内容. 第部分（选择题，共 60 分） 一、一、 单项选择题：本题共单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，
2、共 40 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求只有一项是符合题目要求. 1已知集合2 , x Ay yxR，2Bx x 或3x ，则AB R （ ） A2,0 B2,0 C,3 D,3 【答案】B 【解析】2 ,0, x Ay yxR，2Bx x 或3x ， , 20,AB ， 2,0AB R ， 2若复数z满足3 i 26iz（i为虚数单位） ，则z （ ） A1 B2 C3 D4 【答案】B 【解析】由3 i26iz， 得 26i3i26i20i 2i 3 i3 i3i10 z ， 则2z ， 3已知非零向量a、b满足 2ab，且( )abb，则
3、a与b的夹角为（ ） A 6 B 4 C 3 D 2 3 【答案】C 【解析】, a b是非零向量，且()abb， 22 0,0,ab ba bba bb， 设a与b的夹角为，则0. 2 2 1 cos,2,cos 2 b a bbab a b ， 3 . 4已知数列 n a为各项均为正数的等比数列， n S是它的前n项和，若 17 4a a ，且 47 5 2 2 aa，则 5 S= （ ） A32 B31 C30 D29 【答案】B 【解析】因为 17 4a a ， 所以 2 44 4,0,2 n aaa. 因为 47 5 2 2 aa， 所以 7 1 4 a . 所以 3 1 11 ,1
4、6. 82 qqa， 所以 5 5 1 161 ( ) 2 =31 1 1 2 S . 5中国农业银行广元分行发行“金穗广元 剑门关旅游卡”是以“游广元、知广元、爱广元共享和谐广元”为主 题活动的一项经济性和公益性相结合的重大举措，以最优惠的价格惠及广元户籍市民、浙江及黑龙江授建 省群众、省内援建市市民，凡上述对象均可办理此卡，本人凭此卡及本人身份证一年内（期满后可重新充 值办理）在广元市范围内可无限次游览所有售门票景区景点，如：剑门关、朝天明月峡、旺苍鼓城山七 里峡、青川唐家河、广元皇泽寺、苍溪梨博园、昭化古城等，现有浙江及黑龙江援建省群众甲乙两人到广 元旅游（同游） ，第一天他们游览了剑门
5、关、朝天明月峡，第二天他们准备从上面剩下的 5个景点中选两个 景点游览，则第二天游览青川唐家河的概率是（ ） A 4 25 B 1 5 C 2 5 D 2 3 【答案】C 【解析】从剩下的 5 个景点中任选两个景点有 2 5 10C 种情况， 青川唐家河被选中有 1 4 C4种情况， 所以第二天游览青川唐家河的概率 42 105 P ， 6“ln2ln10ab”是“1 a b ”成立的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由ln2ln10ab，得 20 10 21 a b ab ， 得1ab，1 a b ； 反之，由1 a b
6、，不一定有ln2ln10ab，如2,1ab “ ln2ln10ab”是“1 a b ”成立的充分不必要条件. 7函数 cos 6 f xx （0）的最小正周期为，则 f x满足（ ） A在0, 3 上单调递增 B图象关于直线 6 x 对称 C 3 32 f D当 5 12 x 时有最小值1 【答案】D 【解析】由函数 cos 6 f xx （0）的最小正周期为得2，则 cos 2 6 f xx ， 当(0,) 3 x 时， 5 2(,) 666 x ，显然此时 f x不单调递增，A错误； 当 6 x 时，()cos0 62 f ，B错误； 53 ()cos 362 f ，C 错误；故选择 D.
7、 8已知定义在R上的函数 f x满足 4f xf x，函数2f x为偶函数，当0,2x时， f x 32 9 6 2 xxx+ a.若2,0x 时， f x的最大值为 1 2 ，则a （ ） A3 B2 C 1 2 D 3 2 【答案】A 【解析】由函数2f x是偶函数，得 f x关于2x 对称，即4f xfx， 因为 4f xf x ，所以()( )fxf x ，所以 f x为奇函数. 因为 f x在2,0上最大值为 1 2 ，所以 f x在0,2上最小值为 1 2 . 当0,2x时， 2 396fxxx，令 0fx，得1x ， 所以 ( )f x在(0,1)递减，在(1,2)递增， 所以当
8、1x 时， ( )f x取得极小值，即最小值， 所以 min 1 2 15 2 3fxfaa，. 二、二、多项选择题：本题共多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9若正实数 a，b满足1ab则下列说法正确的是（ ） Aab有最大值 1 4 B ab有最大值2 C 11 ab 有最小值 2 D 22 ab有最大值 1 2 【答案】AB 【解析】对 A, 22 11
9、 224 ab ab ,当且仅当 1 2 ab时取等号.故 A正确. 对 B, 2 22ababababab,故2ab,当且仅当 1 2 ab时取等号.故 B 正确. 对 C, 1111 2224 bab a ab abababa b .当且仅当 1 2 ab时取等号.所以 11 ab 有 最小值 4.故 C 错误. 对 D, 2 222222 121abaabbaabb ,即 22 1 2 ab,故 22 ab有最小值 1 2 .故 D错 误. 10对于函数 2 ln x f x x ，下列说法正确的是（ ） A f x在xe 处取得极大值 1 2e B f x有两个不同的零点 C 2 3f
10、ff D若 2 1 f xk x 在0,上恒成立，则 2 e k 【答案】ACD 【解析】由已知， 3 12ln x fx x ，令 ( ) 0fx 得0xe，令 ( ) 0fx 得xe，故 ( )f x 在(0,)e上单调递增，在(,)e 单调递减，所以 f x的极大值为 1 2 fe e ， A 正确； 又令 0f x 得ln0x ，即1x ，当 ,0,xf xf x只有 1个零点，B不正确； 23e，所以 23fff，故 C 正确； 若 2 1 f xk x 在0,上恒成立，即 2 1 f xk x 在0,上恒成立，设 22 1ln1 ( ) x g xf x xx ， 3 2ln1 (
11、 ) x g x x ，令 ( ) 0g x 得 1 2 0xe ，令 ( ) 0g x 得 1 2 xe ，故( )g x 在 1 2 (0,)e 上单调递增，在 1 2 (,)e 单调递减，所以 1 2 max ( )() 2 e g xg e ， 2 e k ， 故 D 正确. 11设 1 F， 2 F分别为双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足 212 PFFF，且 2 F到直线 1 PF的距离等于双曲线的实轴长，则关于该双曲线的下列结论正确的是（ ） A渐近线方程为430xy B渐近线方程为3 40xy C离心率为 5 3 D
12、离心率为 5 4 【答案】AC 【解析】设 212 2PFFFc， 由 12 2PFPFa，可得 1 22PFca， 由 2 F到直线 1 PF的距离等于双曲线的实轴长2a， 设 1 PF的中点M， 由等腰三角形 12 PFF的性质可得， 21 F MPF， 即有 2222 1 2 (2 )(2 )44PFcacab， 224cab，即2cab， 可得 2222 (2)cabba， 即有34ba， 则双曲线的渐近线方程为 4 3 b yxx a ，即430xy； 离心率 2 165 11 93 cb e aa 12已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M、N，若线段MN的最小值为31，则（
13、） A正方体的外接球的表面积为12 B正方体的内切球的体积为 4 3 C正方体的棱长为 2 D线段MN的最大值为2 3 【答案】ABC 【解析】设正方体的棱长为a， 则正方体外接球半径为体对角线长的一半，即 3 2 a；内切球半径为棱长的一半，即 2 a . ,M N分别为外接球和内切球上的动点， min 33 1 3 1 222 a MNaa ，解得：2a ，即正方体棱长为2，C正确， 正方体外接球表面积为 2 4312，A正确；内切球体积为 4 3 ，B正确； 线段MN的最大值为 3 31 22 a a ，D错误. 第部分（选择题，共 90 分） 三、三、 填空题：本题共填空题：本题共 4
14、 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13在抗击新冠肺炎的疫情中，某医院从 3 位女医生，5位男医生中选出 4 人参加援鄂医疗队，至少有一位 女医生入选，其中女医生甲和男医生乙不能同时参加，则不同的选法共有种_（用数字填写答案）. 【答案】50 【解析】以女医生的人数进行分类. 有 1位女医生时，有 3 位男医生，有 313 425 CC C24种选法； 有 2位女医生时，有 2 位男医生，有 2212 2524 C CC C22种选法； 有 3位女医生时，有 1 位男医生，有 1 4 C4种选法. 根据分类计数原理可得，共有2224450种选法. 故答案为：50. 14已
15、知F是抛物线C: 2 8yx的焦点，是C上一点，F的延长线交y轴于点若为F的中 点，则F _ 【答案】6 【解析】如图所示，不妨设点 M 位于第一象限，设抛物线的准线与x轴交于点F，作M Bl 与 点B，NAl与点A，由抛物线的解析式可得准线方程为2x ，则 2,4ANFF ，在直角 梯形ANFF中，中位线 3 2 ANFF BM ，由抛物线的定义有：3MFMB，结合题意， 有3MNMF，故 3 36FNFMNM 15设奇函数 ( )f x定义在(,0)(0, ) 上，其导函数为( )fx ，且( )0 2 f ，当0x时， ( )sin( )cos0fxxf xx ,则关于x的不等式( )2
16、 ()sin 6 f xfx 的解集为 【答案】(,0)(, ) 66 【解析】设 ( ) ( ) sin f x g x x ， 2 ( )sin( )cos ( ) sin fxxf xx g x x ， ( )f x是定义在(,0)(0, ) 上的奇函数， ()( ) ()( ) sin()sin fxf x gxg x xx ， ( )g x是定义在(,0)(0, )上的偶函数， 当0x时，( )sin( )cos0fxxf xx ， ( )0g x ，( )g x在(0, )上单调递减，( )g x在(,0)上单调递增， ( )0 2 f ， () 2 ()0 2 sin 2 f g
17、 ， ( )2 ()sin 6 f xfx ， ( )() 6 g xg ，(0, )x，或，(,0)x ， 6 x 或0 6 x . 关于 x的不等式( )2 ()sin 6 f xfx 的解集为(,0)(, ) 66 . 16 已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 2， 点,M N分别是棱 1 ,BC CC的中点， 则二面角C AMN 的余弦值为_； 若动点P在正方形 11 BCC B(包括边界)内运动， 且 1 PA/ /平面AMN， 则线段 1 PA的 长度范围是_. 【答案】 2 3 3 2 , 5 2 【解析】延长 AM交 DC于点 Q，过 C作 AM 垂线 CG，垂足
18、为 G，连接 NG， 则NGC为二面角CAMN的平面角， 计算得 2 5 5 CG ， 2 2 53 5 ()1 55 NG ， 所以 2 53 52 cos 553 NGC 取 11 BC的中点E， 1 BB的中点F，连接 1 AE， 1 AF，EF，取EF中点O，连接 1 AO， 点M，N分别是棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D中棱BC， 1 CC的中点， 1 / /AMAE， / /MNEF， AMMNM ， 1 AEEFE ， 平面/AMN平面 1 AEF， 动点P在正方形 11 BCC B（包括边界）内运动，且 1/ / PA面AMN， 点P的轨迹是线段EF， 22
19、11 215AEAF， 22 112EF ， 1 AOEF， 当P与O重合时， 1 PA的长度取最小值 22 1 23 2 ( 5)() 22 AO ， 当P与E（或 )F重合时， 1 PA的长度取最大值为 11 5AEAF 1 PA的长度范围为 3 2 , 5 2 四、四、解答题：本小题共解答题：本小题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （本小题 10 分） 已知函数( )logkf xx（k为常数，0k 且1k ） （1）在下列条件中选择一个_使数列 n a是等比数列，说明理由； 数列 n f a是首
20、项为 2，公比为 2的等比数列； 数列 n f a是首项为 4，公差为 2的等差数列； 数列 n f a是首项为 2，公差为 2的等差数列的前 n 项和构成的数列 （2）在（1）的条件下，当 2k 时，设 1 2 2 41 n nn a b n ，求数列 n b的前 n项和 n T. 【解析】 （1）不能使 n a成等比数列.可以：由题意4(1) 222 n f ann， 即log22 kn an，得 22n n ak ，且 4 1 0ak， 2(1) 2 2 1 22 n n n n ak k ak . 常数0k 且1k ， 2 k 为非零常数， 数列 n a是以 4 k为首项， 2 k为公
21、比的等比数列 （2）由（1）知 1 4222 n k n akkk ，所以当 2k 时， 1 2n n a . 因为 1 2 2 41 n nn a b n ， 所以 2 1 41 n b n ，所以 1111 (21)(21)2 2121 n b nnnn ， 12 111111 L1L 23352121 nn Tbbb nn 11 1 22121 n nn . 18在ABC中,内角 ABC 的所对的边是 abc,若 1 coscossinsin 2 BCBC （1）求 A； （2）若2 3,4abc,求ABC的面积. 【解析】(1) 1 coscossinsincos()cos()cos
22、2 BCBCBCAA 1 cos 2 A ,又(0, )A, 2 3 A . (2)由余弦定理有： 22222 ()21 cos 222 bcabcabc A bcbc , 又因为2 3,4abc, 16 12221 14 22 bc bc bcbc 23 ,sin 32 AA , 113 sin43 222 ABC SbcA 19 （本小题 12 分） 如图，等腰梯形 ABCD中，ABCD，ADABBC1，CD2，E 为 CD中点，以 AE为折痕把ADE 折 起，使点 D到达点 P 的位置（P平面 ABCE） （1）证明：AEPB； （2）若直线 PB与平面 ABCE 所成的角为 4 ，求二
23、面角 APEC的余弦值 【解析】 （1）连接 BD，设 AE的中点为 O， ABCE，ABCE 1 2 CD， 四边形 ABCE 为平行四边形，AEBCADDE， ADE，ABE 为等边三角形， ODAE，OBAE，折叠后,OPAE OBAE， 又 OPOBO， AE平面 POB，又 PB平面 POB， AEPB （2）在平面 POB内作 PQ平面 ABCE，垂足为 Q，则 Q 在直线 OB 上， 直线 PB与平面 ABCE夹角为PBO 4 ， 又 OPOB，OPOB， O、Q两点重合，即 PO平面 ABCE， 以 O 为原点，OE 为 x 轴，OB 为 y 轴，OP 为 z 轴，建立空间直角
24、坐标系， 则 P（0，0， 3 2 ） ，E（ 1 2 ，0，0） ，C（1， 3 2 ，0） ， PE （ 1 2 ，0， 3 2 ） ，EC （ 1 2 ， 3 2 ，0） ， 设平面 PCE 的一个法向量为 1 n （x，y，z） ，则 1 1 0 0 n PE n EC ，即 13 0 22 13 0 22 xz xy ， 令 x 3得 1 n （3，1，1） ， 又 OB平面 PAE， 2 n （0，1，0）为平面 PAE 的一个法向量， 设二面角 AEPC 为 ，则|cos|cos 12 ,n n| 12 12 15 55 n n n n ， 由图可知二面角 AEPC为钝角，所以
25、cos 5 5 20 （本小题 12 分） 已知圆 M： 2 2 116xy，直线 l：kxyk0（0k ）过定点 N，点 P是圆 M 上的任意一点， 线段NP的垂直平分线和MP相交于点 Q，当点 P在圆 M上运动时，点 Q 的轨迹为曲线 C. （1）求曲线 C 的方程； （2）直线 l交 C 于 A，B两点，D，B关于 x 轴对称，直线AD与 x轴交于点 E，且点 D 为线段AE的中点， 求直线 l的方程. 【解析】 （1）直线 l：kxyk0（0k ）过定点1,0N 由条件可得QNQP，又4QMQP 所以 4QMQN ，且4 | 2MN， 根据椭圆定义得动点 Q 的轨迹是以,M N为焦点的
26、椭圆 且24a ，2a=，1c ， 所以3b ， 故 C 的方程为： 22 1 43 xy . （2） 直线 l：10yk xk， 代入 22 1 43 xy ， 消去y并整理得 2222 3484120kxk xk ， 设 11 ,A x y、 22 ,B xy， 则 2 12 2 8 34 k xx k ， 2 12 2 412 34 k xx k . 因为 D为AE的中点，且 22 ,D xy， 因为 12 02yy，即 12 2yy ， 所以 12 121k xk x ，所以 12 23xx 联立得 2 1 2 49 34 k x k ， 2 2 2 49 34 k x k ，代入得
27、222 12 222 49 49412 343434 kkk xx kkk ， 解得 2 5 4 k ，所以 5 2 k ， 所以直线 l的方程为 5 1 2 yx . 21 （本小题 12 分） 某基地蔬菜大棚采用无土栽培方式种植各类蔬菜.根据过去 50 周的资料显示，该基地周光照量X（小时） 都在 30 小时以上，其中不足 50 小时的有 5 周，不低于 50 小时且不超过 70 小时的有 35 周，超过 70 小时 的有 10 周.根据统计，该基地的西红柿增加量y（千克）与使用某种液体肥料的质量x（千克）之间的关系 如图所示. （1）依据上图，是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？请计算
28、相关系数r并加以说明（精确到 0.01）. （若| | 0.75r ，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合） （2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪运 行台数受周光照量X限制，并有如下关系： 周光照量X（单位：小 时） 3050X 5070X 70X 光照控制仪运行台数 3 2 1 若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为 3000 元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制 仪周亏损 1000 元.以频率作为概率，商家欲使周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？ 附：相关系数公式 1 22 11 ()() ()() n
29、ii i nn ii ii xxyy r xxyy ， 参考数据：0.30.55，0.90.95. 【解析】 （1）由已知数据可得 24568 5 5 x ， 34445 4 5 y . 5 1 310003 16 ii i xxyy ， 5 222 222 1 310132 5 i i xx ， 5 22 2222 1 100012 i i yy . 相关系数 5 1 5522 11 ii i ii ii xxyy r xxyy 69 0.95 102 52 . 0.75r ，可用线性回归模型拟合y与x的关系. （2）记商家周总利润为Y元，由条件可知至少需安装 1 台，最多安装 3 台光照控
30、制仪. 安装 1 台光照控制仪可获得周总利润 3000 元. 安装 2 台光照控制仪的情形： 当70X 时，只有 1 台光照控制仪运行，此时周总利润3000 10002000Y （元） ， 10 20000.2 50 P Y ， 当3070X时，2 台光照控制仪都运行，此时周总利润2 30006000Y （元） ， 40 60000.8 50 P Y ， 故Y的分布列为 Y 2000 6000 P 0.2 0.8 2000 0.26000 0.85200EY （元）. 安装 3 台光照控制仪的情形： 当70X 时，只有 1 台光照控制仪运行， 此时周总利润1 30002 10001000Y （
31、元） ， 10 10000.2 50 P Y ， 当5070X时，有 2 台光照控制仪运行，此时周总利润2 3000 1 10005000Y （元） ， 35 50000.7 50 P Y ， 当3050X时，3 台光照控制仪都运行， 周总利润3 30009000Y （元） ， 5 90000.1 50 P Y ， 故Y的分布列为 Y 1000 5000 9000 P 0.2 0.7 0.1 1000 0.2 5000 0.79000 0.14600EY （元）. 综上可知，为使商家周总利润的均值达到最大，应该安装 2 台光照控制仪. 22 （本小题 12 分） 已知函数 2 1 ( )(21
32、)2ln 2 f xaxaxx. （1）当0a 时，求函数 ( )f x的单调区间； （2）当0a 时，证明: ( )24 x f xex（其中 e 为自然对数的底数）. 【解析】 （1）由题意，函数 f x的定义域为0, 2 2(21)2(2)(1) (21) axaxxax fxaxa xxx 当 1 2 a 时， 0fx恒成立，故 f x的递增区间为0,； 当 1 0 2 a时，在区间0,2， 1 , a 时 0fx ， 1 2, a 时 0fx ， 所以 f x的递增区间为0,2， 1 , a ，递减区间为 1 2, a ； 当 1 2 a 时，在区间 1 0, a ，2,时 0fx
33、， 1 ,2 a 时 0fx ， 所以 f x的递增区间为 1 0, a ，2,，递减区间为 1 ,2 a ； 综上所述，当 1 2 a 时， f x的递增区间为0,； 当 1 0 2 a时， f x的递增区间为0,2， 1 , a ，递减区间为 1 2, a ； 当 1 2 a 时， f x的递增区间为 1 0, a ，2,，递减区间为 1 ,2 a ； （2）当0a 时，由 24 x f xex ,只需证明 2 x elnx . 令 2 x g xelnx 0x ， 1 x gxe x . 设 0 0gx，则 0 0 1 (01) x o ex x . 当 0 0,xx时， 0gx， g x单调递减; 当 0, xx时， 0gx， g x单调递增, 当 0 xx时， g x取得唯一的极小值，也是最小值. g x的最小值是 0 00 2 x g xelnx 0 0 00 111 220 x lnx xex 成立. 故 24 x f xex 成立.
