1、数学 I 试卷 第 1 页(共 12 页) 徐州市 20192020 学年度高三年级考前模拟检测 数学 参考公式：圆锥的体积 1 3 VSh，其中S是圆锥的底面圆面积，h是高 一、填空题：本大题一、填空题：本大题共共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分分请把答案直接填写在请把答案直接填写在答题卡相应答题卡相应 位置上位置上 1已知集合0,9A，1,2,9B ，则集合AB中的元素个数为 2复数(42i)(1 i)z (i为虚数单位)的实部为 3从参加疫情防控知识竞赛的学生中抽出 60 名学生，将其成绩（均为整数）整理后画出 的频率分布直方图如图所示，则这 60 名学生中成
2、绩在区间 79.5,89.5)的人数为 4执行如图所示的算法流程图，则输出的结果为 5若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有 1，2，3，4，5，6 个点的正方体玩具), 先后抛掷两次，则两次点数之和大于 10 的概率为 结束 输出S 6n 2nn Y N 2,1Sn （第 4 题） 1 1S S 开始 39.5 49.5 59.5 69.5 79.5 89.5 99.5 成绩/分 0.005 频率 组距 （第 3 题） （第题） 0.01 0.015 a 0.03 注注 意意 事事 项项 考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷
3、共 4 页，包含填空题(第 1 题第 14 题)、解答题(第 15 题第 20 题)两部分。 本试卷满分 160 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交 回。 2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写 在试卷及答题纸上。 3.作答时必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位 置作答一律无效。 4.如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。 数学 I 试卷 第 2 页(共 12 页) 6在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 2 2 1 x y m 的一个焦点为(2,0)，则该双曲线的
4、 离心率为 7已知(2,3)AB ，( 1,)ACm ，若ABBC，则实数m的值为 8 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为 4， 面积为4的扇形， 则该圆锥的体积为 9已知公差不为0的等差数列 n a，其前 n 项和为 n S，首项 1 2a ，且 124 aaa， ，成等比 数列，则 7 S的值为 10已知函数 ( )sin() 6 f xx， 3 (0,) 2 x，若函数( )3 ( )2g xf x的两个零点分别是 12 ,x x，则 12 ()g xx的值为 11设函数( )f x是定义在R上的奇函数，且 2 log (1),0, ( ) ( ) ,0, xx f x g xx 则 (
5、7)g f 的值 为 12在平面直角坐标系xOy中，若圆 1 C: 22 20xyy与圆 2 C: 22 2 30xyaxay 上分别存在点P，Q，使POQ为以O为直角顶点的等腰直角三角形，且斜边长为 2 2，则实数a的值为 13若ABC的内角满足 123 tantantanABC ，则cosC的最小值为 14若函数( ) | ln|f xxxaa，(0,1x的最大值为0，则实数a的最大值为 二、解答题：本大题二、解答题：本大题共共 6 小题，共小题，共 90 分分请在请在答题卡指定区域答题卡指定区域 内作答内作答. . 解答时应写出文解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤字说明、证明过程
6、或演算步骤 15 （本小题满分 14 分） 如图，在三棱柱 111 ABCABC中，侧面 11 ABB A 底面ABC，ABAC，E，F分别 是棱AB，BC的中点求证： （1） 11 AC平面 1 B EF； （2） 1 ACB E (第 15 题) B A C A1 B1 F C1 E 数学 I 试卷 第 3 页(共 12 页) 16 （本小题满分 14 分） 如图， 在ABC中，6AC，D为AB边上一点，2 ADCD， 且 4 6 c o sB C D （1）求sin B的值； （2）求ABC的面积 17 （本小题满分 14 分） 如图，某市地铁施工队在自点 M 向点 N 直线掘进的过程中
7、，因发现一地下古城(如图 中正方形ABCD所示区域)而被迫改道原定的改道计划为：以 M 点向南，N 点向西 的交汇点O为圆心，OM为半径做圆弧MN ，将MN 作为新的线路，但由于弧线施工难 度大，于是又决定自P点起，改为直道PN已知3ONOM千米，点 A 到 OM， ON 的距离分别为 1 2 千米和 1 千米，/ABON，且1AB 千米，记PON. （1）求sin 的取值范围； （2）已知弧形线路MP 的造价与弧长成正比，比例系数为 3a，直道 PN 的造价与长度 的平方成正比，比例系数为 a，当 为多少时，总造价最少？ A B C D （第16题） O M N P A B C D (第 1
8、7 题) 北 南 东 西 数学 I 试卷 第 4 页(共 12 页) 18 （本小题满分 16 分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： 2 2 22 1(0) y x ab ab 的右焦点为 F， 左顶点为 A，下顶点为 B，连结 BF 并延长交椭圆于点 P，连结PAAB，记椭圆的 离心率为 e （1）若， 2 1 e7AB ，求椭圆 C 的标准方程； （2）若直线 PA 与 PB 的斜率之积为 1 6 ，求 e 的值 19 （本小题满分 16 分） 已知函数 2 ( )exf xxax，e是自然对数的底数，aR （1）当1a 时，求曲线( )yf x在点(0, (0)f处的
9、切线方程； （2）若函数( )f x在1,2上单调递增，求a的取值范围； （3） 若存在正实数b， 使得对任意的(0, )xb， 总有 2 ( )1f xx， 求a的取值范围 20 （本小题满分 16 分） 已知数列 n a满足 1 6a ， 2 3a ， 312nnnn aaaa ， * nN （1）若 3 4a ，求 4 a， 5 a的值； （2）证明：对任意正实数m， 221 nn ama 成等差数列； （3）若 1nn aa ( * nN)， 34 33aa ，求数列 n a的通项公式 （第 18 题） F O x y P A B 数学 I 试卷 第 5 页(共 12 页) 徐州市 2
10、0192020 学年度高三年级考前模拟检测 数学数学(附加题附加题) 21 选做题选做题本题包括本题包括 A、 B、 C 三三小题，小题， 请选定其中两题请选定其中两题 ， 并在相应的答题区域内作答并在相应的答题区域内作答 若若 多做，则按作答的前两题评分多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A选修 42：矩阵与变换（本小题满分 10 分） 已知矩阵 3 2 a b A，点(1,1)M在矩阵A对应的变换作用下变为点(4,4)N （1）求a，b的值； （2）求矩阵A的特征值 B选修 44：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分
11、） 在极坐标系中，已知两点 (4,) 6 A， (2,) 2 B以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴 建立平面直角坐标系xOy，直线l的参数方程为 2 , 32 xt yt (t为参数) （1）求A，B两点间的距离； （2）求点A到直线l的距离 注注 意意 事事 项项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1本试卷共 2 页，均为非选择题（第 21 题第 23 题） 。本卷满分为 40 分，考试时 间为 30 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 2答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在 试卷
12、及答题卡的规定位置。 3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否 相符。 4作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在 其他位置作答一律无效。中国数学教育网 数学 I 试卷 第 6 页(共 12 页) C选修 45：不等式选讲（本小题满分 10 分） 设函数( ) |1|f xx （1）解不等式( )2f x ； （2）设( )( )()(1)g xf xf ax a，若( )g x的最小值为 1 2 ，求a的值 【必做题】第【必做题】第 22、23 题，每小题题，每小题 10 分，共计分，共计 20 分分请在请在答题卡指定区域答题
13、卡指定区域 内作答，解答内作答，解答 时应写出文字说明、证明过程或演算步骤时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 22 （本小题满分 10 分） 如图，在正三棱柱 111 ABCABC中， 1 2ABAA，E，F，G 分别为 AA1，A1C1，AB 的中点 （1）求异面直线 BC1与 EF 所成角的余弦值； （2）求二面角 B1EGF 的余弦值 23 （本小题满分 10 分） 已知数列 n a满足 1 1 2 a ，且 2 1nnn aaa ， * nN （1）求证： 11 1 2 n n a a ； （2）求证： 122 C (21)2C (21)C (21)C (21)0 kknn nnnn
14、nnnn aakana （第 22 题） E F BA C1 A1B1 C G 数学 I 试卷 第 7 页(共 12 页) 徐州市 20192020 学年度高三年级考前模拟检测 数学参考答案与评分标准 一、填空题一、填空题 14 26 315 42 5 1 12 6 2 3 3 75 8 15 3 956 10 7 2 112 122 13 2 3 14 1 2e 二、解答题二、解答题 15 （1）在中，E，F分别是棱AB，BC的中点，所以/ /EFAC，2 分 又在三棱柱 111 ABCABC中， 11/ / ACAC， 所以 11/ / ACEF，4 分 又因为 11 AC 平面 1 B
15、EF，EF 平面 1 B EF， 所以 11/ / AC平面 1 B EF8 分 （2）因为侧面 11 ABB A 底面ABC，侧面 11 ABB A底面ABCAB， ABAC，AC 平面ABC，所以AC 平面 11 ABB A，12 分 又因为 1 B E 平面 11 ABB A，所以 1 ACB E14 分 16 （1）在ADC中，由余弦定理得 4 1 222 )6(22 2 cos 222222 CDAD ACCDAD ADC，2 分 所以 4 15 4 1 1cos1sin 2 2 ADCADC，4 分 因为 4 6 cosBCD，BCD是三角形BCD的内角， 所以 4 10 4 6
16、1cos1sin 2 2 BCDBCD，6 分 所以)sin(sinBCDADCB BCDADCBCDADCsincoscossin 4 10 4 1 4 6 4 15 8 10 8 分 （2）在BCD中，由正弦定理得 BDC BC B CD BCD BD sinsinsin ，10 分 4 8 10 4 10 2 sin sin B BCDCD BD， ABC 数学 I 试卷 第 8 页(共 12 页) 62 8 10 4 15 2 sin sin B BDCCD BC， 12 分 所以 2 153 8 10 626 2 1 sin 2 1 BBCABS ABC 14 分 17 （1）以 O
17、 为原点，ON 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系， 则(3,0)N， 1 ( ,1) 2 A， 3 ( ,2) 2 C， 所以直线 CN 的方程为 4 (3) 3 yx ， MN所在圆的方程为 22 9xy， 联立 22 4 (3), 3 9, yx xy 解得 21, 25 72 , 25 x y ， 当 PN 过点 C 时， 21 72 (,) 25 25 P， 24 sin 25 ， 所以sin的取值范围是 24 (0,) 25 6 分 （2）MP的长为 3() 2 ，设(3cos ,3sin )P， 则 222 (3cos3)(3sin )18 18cosPN，8 分 所以总造价
18、( )33()(18 18cos ) 2 faa 9 (18918cos ) 2 a， 0 (0,)， 0 24 sin 25 ，10 分 所以( )(18sin9)fa， 令( )0f得， 124 sin(0,) 225 ，所以 6 ，列表如下： (0,) 6 6 0 (,) 6 ( )f 0 ( )f 极小值 所以当 6 时，( )f有极小值，也是最小值 答：当 为 6 时，总造价最少14 分 18 （1）设椭圆的焦距为 2c O M N P A B C D (第 17 题) x y 数学 I 试卷 第 9 页(共 12 页) 由题意，得 22 222 1 2 7 c e a ab abc
19、 ， ， ， 解得 2 2 4 3. a b ， 所以椭圆的方程为 2 2 1 43 y x 4 分 （2）因为 B，F在直线 PB 上，所以直线 PB 的方程为1 y x cb 解方程组 2 2 22 1 1 y x cb y x ab ， ， 得 2 122 22 122 2 + + a c x ac b ac y ac ， ， 或 2 2 0x yb ， ， 所以点 P 的坐标为 22 2 2222 2 () + b ac a c acac ， 8 分 因为直线 PB 的斜率 0() 0 PB b b k cc ， 直线 PA 的斜率 22 22 22 2222 22 0 + 22(+)
20、 + PA b ac b ac ac k a ca ca ac a ac 2222 222 (2(+)()() b acb acb ac aacaca aca ac ，12 分 又因为直线 PA 和 PB 的斜率之积为 1 6 ， 所以 2 222 1 = ()()()6 b acbacacacac b a accac acac acac ， 化简得 22 6136(32 )(23 )0aaccacac， 因为ac，所以23ac， 所以椭圆的离心率 2 3 e 16 分 19 （1）当1a 时， 2 ( )exf xxx，( )e21 x fxx， 则(0)1f，(0)0 f ， 所以曲线(
21、)yf x在点(0, (0)f处的切线方程为1y 2 分 （2）因为( )f x在1,2上单调递增，所以( )0fx在1,2上恒成立， 即( )e20 x fxxa 在1,2上恒成立， 所以e2 x ax在1,2上恒成立，4 分 又因为函数e2 x yx在1,2上单调递增， 所以e2a，当且仅当e2a ，1x 时，(1)0 f ， 所以a的取值范围为(,e26 分 （3）不等式 2 ( )1f xx即e1 x ax， 令( )e1 x g xax，则( )exg xa， 数学 I 试卷 第 10 页(共 12 页) 当1a时，( )e0 x g xa在(0,)上恒成立， 所以( )g x在(0
22、,)上单调增，所以( )(0)0g xg，不符合题意；10 分 当1a 时，由( )0g x得lnxa，列表如下： x (0,ln )a lna (ln ,)a ( )g x 0 ( )g x 极小值 令lnba，在(0,ln )a上，总有( )(0)0g xg，符合题意， 综上所述，a的取值范围为(1,)16 分 20 （1）当1n 时， 1423 aaaa，所以 4 5a ， 当2n 时， 2534 aaaa，所以 5 2a 2 分 （2）因为 312nnnn aaaa ， 当2n时， 121nnnn aaaa ， 两式相加得， 131 2 nnn aaa ，6 分 即 3111nnnn
23、aaaa ， 所以 21 n a 为等差数列，设公差为 1 d， 2 n a为等差数列，设公差为 2 d 所以 2 +2232212 +22232121 ()()()() nnnnnnnn amaamaaam aadmd ， 所以 221 nn ama 成等差数列10 分 （3）设奇数项所成等差数列的公差为 1 d，偶数项所成等差数列的公差为 2 d 当n为奇数时， 1 1 6 2 n n ad ， 12 1 3 2 n n ad ， 则 12 11 63 22 nn dd ，即 1221 ()182()0n dddd， 所以 12 1221 0, 1 ()90, dd dddd ，故 12
24、0dd12 分 当n为偶数时， 2 3(1) 2 n n ad ， 11 6 2 n n ad ， 则 21 3(1)6 22 nn dd ，即 122 ()1820n ddd， 所以 12 122 0, 2 ()1820, dd ddd ，故 12 1 0, 9, dd d 综上可得， 12 9dd 14 分 又 3412121 3233aaaaddd ，所以 1 18d 所以当n为奇数时， 1 6( 18)159 2 n n an ； 当n为偶数时，3(1)( 18)159 2 n n an 故数列 n a的通项公式为159 n an， * nN16 分 数学 I 试卷 第 11 页(共
25、12 页) 徐州市 20192020 学年度高三年级考前模拟检测 数学参考答案与评分标准 21A （1）由条件知， 3134 2124 aa bb ，所以 34, 24, a b 解得 1, 2. a b 5 分 （2）由（1）知， 31 22 A， 矩阵A的特征多项式为 31 ( )(3)(2)2(1)(4) 22 f ， 令( )0f，解得A的特征值为 1 和 410 分 B （1）在OAB中， (4,) 6 A， (2,) 2 B， 由余弦定理，得 22 42242cos()2 3 26 AB 5 分 （2）直线l的普通方程为3240xy， 点A的直角坐标为(2 3,2)， 所以点A到直
26、线l的距离为 22 |32 3224|6 7 7 ( 3)( 2) 10 分 C （1）不等式( )2f x 即|1| 2x，则12x 或12x ，解得1x 或3x ， 所以不等式( )2f x 的解集为(, 3)(1,) 4 分 （2） (1)2, 1, 1 ( ) |1|1|(1) , 1, 1 (1)2, . axx g xxaxa xx a axx a 由1a 可知，函数( )g x在 1 (,) a 上单调减，在 1 (,) a 上单调增， 所以( )g x的最小值为 111 ()1 2 g aa ，解得2a 10 分 22 （1）取AC的中点O，连接FO，BO ， 在正三棱柱 11
27、1 ABCABC中，FO 平面ABC，BOAC， 以,OA OB OF为基底建立空间直角坐标系O xyz 如图所示， 则 (1 0 0)A ， (03 0)B， (1 0 1)E ，(0 0 2)F， 1(0 3 0)B， 1( 1 0 2) C ， 所以( 1 0 1)EF ， 1 ( 13 2)BC ， 所以 1 1 1 3 cos= 4| EF BC EF BC EFBC ， ， z x y O E F BA C1 A1B1 C G 数学 I 试卷 第 12 页(共 12 页) 所以异面直线 1 BC与EF所成角的余弦值为 3 4 ；4 分 （2） 因为G为AB的中点， 所以 13 (0
28、) 22 G， 则( 1 01 )EF ， 13 (1) 22 EG ， 设平面EFG的法向量为 1 111 ()nxyz， ， 平面 1 EGB的法向量为 2 222 ()nxyz， ， 则 1 1 0 0 nEF nEG ，所以 11 11 0 13 0 22 xz xyz ， 令 1 1z ，得 1(1 31)n ， ，同理2( 3 1 0)n ， 所以 12 12 12 15 cos, 5| n n n n nn ， 所以二面角的大小与向量 12n n， 所成的角相等或互补， 由图形知，二面角 1 BEGF的余弦值为 15 5 10 分 23 （1）因为 2 1nnn aaa ，即 1
29、 1 n n n a a a 要证 11 1 2 n n a a ，只需证 1 0 2 n a 2 分 用数学归纳法证明： 当1n 时， 1 1 2 a ，命题成立； 假设当nk(1k ， * kN)时命题成立，即 1 0 2 k a， 则当1nk时，有 2 2 1 11 24 kkkk aaaa ， 由于 1 0 2 k a，所以 1 1 0 4 k a ，显然有 1 1 0 2 k a ， 所以当1nk时，命题也成立 所以对任意 * nN，都有 1 0 2 n a成立，即 11 1 2 n n a a 得证 4 分 （2）因为 1 1 A CC ! k kkn nn kkn k ， 6 分 所以 11 1 C (21)(21) C(21) kkkk nnnnn kaana ， 因此 122 C (21)2C (21)C (21)C (21) kknn nnnnnnnn aakana 1 (21)2 n nn ana 由（1）知， 1 0 2 n a，所以 1 (21)20 n nn ana ，得证10 分
