1、.*.*1二项式定理(ab)nCn0anCn1an1bCn2an2b2CnranrbrCnnbn.(nN)通项公式：Tr1Cnranrbr，(r0,1,2，n)2二项式系数(1)定义：叫做二项式系数Cn0，Cn1，Cn2，Cnk，Cnn.*(2)性质Cn0Cn1Cn2Cnn .Cn0Cn2Cn1Cn3 .对称性：CnkCnnk.二项式系数最值问题2n2n1.*.*.*.*.*.*.*答案(1)15(2)5.*点评与警示利用二项展开式的通项公式求展开式中指定项的系数、常数项等具有某种特殊性的项是二项式定理的基本问题其通常解法是确定通项公式中r的值或取值范围在应用通项公式Tr1Cnranrbr时应
2、注意：(1)Tr1是展开式中的第r1项，而不是第r项；(2)对于(ab)n展开式的通项公式要特别注意符号问题.*.*答案(1)D(2)6.*.*.*.*.*已知(13x)n展开式中末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中系数最大的项解由题意得：Cnn2Cnn1Cnn121，整理得n2n2400，解得n15，或n16(舍去)展开式通项公式Tr1C15r3rxr.*.*(2)(2006浙江卷)若多项式x2x10a0a1(x1)a9(x1)9a10(x1)10，则a9()A9 B10C9 D10.*(3)设(x2x1)na0a1(x1)a2(x1)2a2n(x1)2n，则a0_，a0a1a2a2
3、n_，a0a2a4a2n_，a1a3a5a2n1_；(4)(1x)4(1x)5(1x)6(1x)37的展开式中x3的系数_.解析(1)令x1得2n32，所以n5.由二项式展开式得Tr1C5r(x2)5r(x3)rC5rx105r，令105r0得r2，所以常数项为T3C5210.*(2)解法一：展开式中x10的系数满足1a10C100a101展开式中x9的系数满足0a9C90a10C101，a910.故选D.解法二：x2x10(x1)12(x1)110展开式中a9C101(1)110.故应选D.(3)令x1，得a01；令x2，得a0a1a2a2n5n；.*.*.*.*(1)设(x22x3)10a
4、0a1(x1)a2(x1)2a20(x1)20，则a2_，a1a3a5a19_，a0a2a4a20_.(2)(x1)(x1)2(x1)3(x1)4(x1)5的展开式中x2的系数_.(3)C211C212C213C2110_.*解析(1)(x22x3)10(x1)2410展开式中(x1)2的系数a2C101(4)9，a21049令x2，得a0a1a2a20310令x0，得a0a1a2a3a19a20310a1a3a5a190，a0a2a4a20310.*答案(1)10490310(2)20(3)2201.*(1)已知nN*，求证：12222325n1能被31整除；(2)求0.9986的近似值，使
5、误差小于0.001.分析(1)要先用等比数列的前n项和公式，然后应用二项式定理转化成含31的倍数的关系式；(2)把0.998变成10.002，然后应用二项式定理展开.*.*(2)解0.9986(10.002)61C61(0.002)C62(0.002)2C63(0.002)3第三项T315(0.002)20.000 060.001，以后各项更小，0.998610.0120.988.*点评与警示用二项式定理证明整除问题时，首先要注意(ab)n中，a，b有一个是除数的倍数其次展开式有什么规律，余项是什么，必须清楚近似计算时，可根据精确度要求，展到需要的项即可.*求证：3n(n2)2n1(nN*，n
6、2)证明利用二项式定理3n(21)n展开证明因为nN*，且n2，所以3n(21)n展开后至少有4项，(21)n2nCn12n1Cnn1212nn2n12n12nn2n1(n2)2n1.故3n(n2)2n1.*.*1运用二项展开式的通项公式求特定项、特定项的系数、常数项、有理项、系数最大的项等的常用方法：(1)直接利用二项式定理的通项公式；(2)先分解因式，再利用通项公式；(3)对于某些指数不大的二项式，可以直接展开2涉及展开式的系数和问题，一般常用赋值法，如令x0,1，1等解决3注意二项展开式的二项式系数与项的系数的区别，前者指Cnr，而后者是字母外的部分.*4最大系数及系数最大项的求法：如求(axby)n(a，bR)展开式系数最大的项，一般采用待定系数法，设展开式各项系数分别为t0，t1，t2，tn，设第r1项系数最大，可由解出r来，其中r0,1,2,3，n1.(不含T1与Tn1)5杨辉三角反映了二项式系数的性质，在n不太大时可以直接应用.*.*
