1、第二章Advanced mathematics一元函数微分学及其应用高等数学内容导航第二章第二节 导数的计算法则第三节 微分的概念与应用第四节 微分中值定理及其应用第五节 泰勒中值定理第六节 函数的性态与图形第七节 导数的实际应用第一节 导数的概念及基本求导公式课 前 导 读 我们首先来看几个函数的图像.3x0 xOyx0 xOyx0 xOy图 2-1图 2-2图 2-3 大家会发现,在 处它们都是连续的,但是前两个函数的图0 xx和后一个函数的图像相比,处有“角点”或“尖点”出现(见0 xx图2-1、图2-2),破坏了图形的美感和润滑度,而第三个函数相对来说处比较“光滑”(见图2-3).0
2、xx课 前 导 读4前面两个函数在 处“导数”不存在,即不可导,0 xx而第三个函数在 处是“可导”的.0 xx 那么究竟是什么原因会使图形有这样的差别呢?这就是这一章要研究的内容.一、割线与切线 在中学数学中,圆的切线可以定义为“与圆只有一个交点的直线”(见图2-4).yOyOx图 2-4图 2-5 但对于一般曲线,这样定义是不合适的。例如,直线 与抛物线 只有一个交点(见图2-5),但显然不是实际意义下的切线.1x 2yx2yx1x x2+y2=1x下面我们用极限的思想给出一般曲线的切线的定义.一、割线与切线 设曲线 :,在曲线 上取点 及点 ,连接 ,则 为过点 的割线,割线的倾角为 (
3、见图2-6).C yf xxIC00,M xy,N x yMNMMN0000()()tanyyf xf xxxxxMN则割线 的斜率为yxOCMN yf x0 xxy x图 2-6导数的几何意义一、割线与切线000000()()limlimxxxxyyf xf xkxxxx从上面的例子可以看出,在求切线斜率的过程中,需要用到极限000()()limxxf xf xxx 当 ,即 时,如果割线趋于一极限位置,我们就把此极限位置上的直线 称为曲线在 点处的切线.xx0NMMMT此刻切线的斜率即为yxOCMN yf xT0 xxy x图 2-6二、导数的定义定义 设函数 在 的某个邻域内有定义,当
4、在 处增量为 (在该邻域内)时,相应地,函数有增量 .yf x0 xx0 xx0 xx00yf xxf x 0000000()()limlimlimxxxxf xxf xf xf xyxxxx 存在,则称该极限为 在点 处的导数,记为 yf x0 x0fx,0 x xy0ddx xyx,或0d()dx xf xx如果二、导数的定义这时也称函数 在点 处可导.yf x0 x如果该极限不存在,称函数 在点 处不可导.yf x0 x特别地,如果 时,也称函数 在点 处的导数为无穷大.0limxyx yf x0 x二、导数的定义例如,对于函数 在点 处(见图2-7),2,yx0 x 0limxyx 2
5、000+0=limlim0 xxxxx ,极限存在.yxO图 2-7而对于函数 在点 处(见图2-8),|,yx0 x 0limxyx 00|0+|0|=limlimxxxxxx ,极限不存在.Oxy图 2-8|yx2yx由此可知,函数 在 处不可导,|yx=0 x2yx=0 x0d0dx xyx而在 处导数为零,即 .二、导数的定义 导数是一种特殊的极限,是概括了各种各样的变化率概念而得出的一个更一般性、也更抽象的概念.是函数 在 上的平均变化率,yf xyx00,x xx 它实际反映函数随自变量变化而变化的“快慢程度”.0 x0ddx xyx yf x而导数 则反映函数 在点 处的瞬时变化
6、率,二、导数的定义显然,函数 在 处的导数,就是导函数 在 处的函数值 yf x0 x fx0 x 00 x xfxfx 00limlimxxf xxf xyfxxx 如果 在 内的每一点处均可导,则称 在 内可导.yf x,a b yf x,a b .由函数的定义就可以得到一个新函数,则称这个函数为原来函数的导函数,简称为导数,即有 fxyddyxd()df xx记作 ,或 ,这时 内的每一点都对应一个导数值,,a b二、导数的定义所以例1 求函数 在 处的导数 .3xy 1x)1(f 当 由1 变到 时,函数相应的增量为xx13233)()(331)1(xxxxy,)(332xxxy200
7、(1)limlim(33()3xxyfxxx 解二、导数的定义 (1)例2 设 存在,试求下列各极限:(1)(0)f 0(2)(0)limxfxfx(2),)(lim0 xxfx其中(0)0f020(2)(0)(2)(0)limlim1(20)2xxfxffxfxx20(2)(0)2 lim2(0);20 xfxffx 因为 于是,0)0(f).0(0)0()(lim)(lim00fxfxfxxfxx(2)解三、简单函数的求导例3 求 (为常数)的导数.f xCC解 0lim0 xCCCx 下面根据导数的定义求一些简单函数的导数.三、简单函数的求导例4 求 (为正整数)的导数.nf xxn解0
8、000limnnnx xxxxxxxx一般地,当 ,有定义时,0 x yx0limxxxxxx 0limxxxxx 当 时,有定义时也有上式成立.0 x yx例如,取 ,则有 ;1212xx012100limnnnxxxx xx10nnx即1nnxnx.011limxxxxx 1 211xx 取 ,则有 .1x三、简单函数的求导解例5 求 的导数.sinf xx002cossinsinsin22sinlimlimxxxxxxxxxxx 0sin2lim coscos22xxxxxx 同理cossinxx 三、简单函数的求导解例6 0,1xf xaaa求 的导数.0limxxxxxaaax e=
9、e lneexxx特别地,当a=时,即以 为底的指数函数的导数就是它本身.ee01limxxxaax lnxaa三、简单函数的求导解例7 求 的导数.log0,1af xx aa0loglogloglimaaaxxxxxx 00log11limlimlnlnaxxxxxxxxaxa 特别地,1ln xx四、左、右导数下面我们来看 点 处的导数.|yx0 x 000()(0)|0|limlimlim00 xxxf xfxxxxx我们发现这个极限不存在,00|limlim1xxxxxx 和右极限00|limlim1xxxxxx所以就像左、右连续的概念一样,我们需引入左、右导数的概念.都是存在的.但
10、是它的左极限四、左、右导数若若 0000000limlimlimxxxxf xxf xf xf xyxxxx 存在,则称其为函数 在 处的右导数,记作 ;f x0 x0fx 0000000limlimlimxxxxf xxf xf xf xyxxxx 存在,则称其为函数 在 处的左导数,记作 .f x0 x0fx四、左、右导数因此,如同左、右连续概念中的充要条件一样,我们有下列结论:现在,我们可回答函数 在 处不可导的原因:|yx0 x 00ff 函数 在 处可导的充要条件是 在 处左、右导数存在且相等.f x0 xx f x0 xx四、左、右导数解例8 已知 ,求 及 .sin00 xxf
11、xxx 0,0ff 0f 00()(0)0limlim1,xxf xfxfxx 00()(0)sin0limlim1,xxf xfxfxx故 .01f五、切线与法线方程相应地,切线方程为法线方程为 函数 在点 处的导数在几何上表示曲线 在点处切线的斜率 f x0 x yf x00,M xf x0tankfx000yf xfxxx0001yf xxxfx 00fx法线即为过切点 且与切线垂直的直线.00,M xf x五、切线与法线方程解例9 求曲线 在点 处的切线斜率,并写出切线及法线方程.1yx1,22曲线 在点 处的切线斜率为1yx1,22124xky 211yxx ,五、切线与法线方程因此
12、,切线方程为1242yx,即 ;440 xy法线方程为11242yx,即 .28150 xy例9 求曲线 在点 处的切线斜率,并写出切线及法线方程.1yx1,22六、函数的可导性与连续性的关系定理1 若函数 在 处可导,则函数 在 处必连续.f x0 x f x0 x证明 若函数 在 处可导,由定义得 ,因此,f x0 x00limxyfxx 000limlim00 xxyyxfxx 故函数 在 处必连续.f x0 x六、函数的可导性与连续性的关系 函数连续未必可导,这说明连续是可导的必要条件.注0(0)(0)limxfxfx 例如,函数 在 上连续,但在点 处不可导.这是因为在点 处有3()
13、f xx,0 x 0 x 即导数为无穷大(导数不存在).从图形上看(见图2-9),在该点处有与 轴垂直的切线 .x0 x yxOy x3图 2-9300limxxx 230limxx 六、函数的可导性与连续性的关系再比如,1sin,00,0 xxf xxx由 ,001limlim sin0 xxf xxx得 在 处连续,由 f x0 x 0001sin001limlimlimsin00 xxxxf xfxxxx不存在,得 在 处不可导。由图形可知(见图2-10),曲线在 附近无限次震荡.f x0 x 0 x y1Oxyxsin1x-1/1/图 2-10七、函数的和、差、积、商的求导法则定理2
14、若 、在点 处的导数均存在,则它们的和、差、积、商的导数也都存在,且有 u x v xx(1);u xv xuxvx(2);u xv xux v xu x vx(3)().2u xux v xu x vxv xvx 0v x 七、函数的和、差、积、商的求导法则证明 我们仅证明(2)0limxu xxv xxu xv xu xv xx 0limxu xx v xxu x v xxu x v xxu x v xx 0limxu xxu xv xxv xv xxu xxx 00limlimxxu xxu xv xxv xv xxu xxx .ux v xu x v x u xv xux v xu x
15、 vx七、函数的和、差、积、商的求导法则(3)上述公式可简记为(1),Cu xCux(2)若 ,均存在,则 存在,且 ux vx wx u xv xw x u xv xw xux v x w xu x vx w xu x v x wxuvuv;u vu vu v;2(0)uu vu vvvv .注 u xv xuxvx.由此可得七、函数的和、差、积、商的求导法则利用商的导数公式可以得到另外四个三角函数的计算公式.sintancosxxxcoscotsinxxx1cscsinxx1seccosxx2coscossinsincosxxxxx;2sec x2sinsincoscossinxxxxx;
16、221cscsinxx 20sincosxx;sec tanxx2cossinxx.csc cotxx 七、函数的和、差、积、商的求导法则例10 计算下列函数的导数.(1);3lnsinexyxx(2);34cossin7f xxx(3);2(3)(sin1)xyxax(4);(23)(1)(2)yxx x(5);1lnxyx(6).22tan1xxf xx七、函数的和、差、积、商的求导法则解(3lnsine)xyxx(3)(ln)(sin)(e)xxx13 ln3cosxxx 3cossin7fxxx34cossin7xx2(3)(sin1)xyxax22(3)(sin1)(3)(sin1)
17、xxxaxxax(1)3lnsinexyxx(2)34cossin7f xxx(3)2(3)(sin1)xyxax234sinxx2(23ln)(sin1)(3)cos.xxxaaxxax七、函数的和、差、积、商的求导法则(4)(23)(1)(2)(23)(1)(2)(23)(1)(2)yxx xxxxxx x2(1)(2)(23)(1)(2)(23)(1)x xxxxx26101xx 2(1)ln(1)(ln)(ln)xxxxyx 21ln(1)(ln)xxxx2ln(1).(ln)xxxxx(23)(1)(2)yxx x(5)1lnxyx七、函数的和、差、积、商的求导法则(6)2222ta
18、n1tan121xxxxxxfxx22221tansec1tan2221xxxxxxxxx2222221sec1 3tan1xxxxxxx 22tan1xxf xx八、反函数的求导法则定理3 如果单调函数 在某一区间 内可导,且 ,则它的反函数 在对应的区间 内也可导,且 xyyI 0y yf x,xyIx xyyI 1yf xfxy 由反函数存在定理可知 是单调、连续的,当 x 取得增量 时,yf xx(单调).0yf xxf x f x证明0 x 有 (连续).0y f x当 时,八、反函数的求导法则 因为 可导,且 ,即 ,因此,xy 0y0lim0yxy 000111limlimlim
19、xyyyfxxxxyyy 本定理也可简单叙述为:反函数的导数等于直接函数导数的倒数.如果单调函数 在某一区间 内可导,且 ,则它的反函数 在对应的区间 内也可导,且 xyyI 0y yf x,xyIx xyyI 1yf xfxy定理3八、反函数的求导法则利用反函数的求导法则可以求出四个反三角函数的导数.arcsinyx是sinxy的反函数,因此,在对应的1,1xI 内,有1arcsinsinxy内单调、可导,sin22xyy,2 2yI 在sincos0yyy且,211cos1 sinyy211x八、反函数的求导法则同理可得(由于 在 内大于零,故取正号);cos y,2 21arccosco
20、sxy(由于 在 内大于零,故取正号);cos y0,1sin y 211 cos y 211x 八、反函数的求导法则内单调、可导,且,因此,在对应的内,2tansec0yy,xI 1arctantanxy有1arccotcotxy同理可得是的反函数,在 ,2 2yI arctanyxtanxytan22xyy2211sec1tanyy211x21csc y 211 cot y 211x 九、求导公式与基本求导法则1.基本求导公式 至此,我们已经求出了所有基本初等函数的导数,且推出了函数的和、差、积、商的求导法则.(2);(3);(4);(1);0C1xxsincosxxcossinxx(5)
21、;2tansecxx(6);2cotcscxx(7);secsec tanxxx(8);csccsc cotxxx 九、求导公式与基本求导法则(10);(11);(12);(9);(13);(14);ln0,1xxaaa aaeexx1log(0,1)lnaxaaxa1ln xx21arcsin1xx21arccos1xx(15);21arctan1xx(16).21arccot1xx、求导法则若 u、v 可导,则uvuv;u vu vu v;2(0)uu vu vvvv .、求导法则解求分段函数的导数时,在每一区间段内的导数可按一般求导法则计算,但在分段要用左、右导数的定义求之.例11 求函
22、数 的导数.21,110,2)(2xxxxxf当 时,10 x,2)2()(xxf,2)1()(2xxxf当 时,1x1()(1)(1)lim1xf xffx1()(1)(1)lim1xf xffx211lim1xxx由 知,2)1()1(ff.2)1(f21 x当 时,122lim21xxx2112lim1xxx 1lim(1)2xx.21,210,2)(xxxxf所以内容导航第二章第一节 导数的概念及基本求导公式第三节 微分的概念与应用第四节 微分中值定理及其应用第五节 泰勒中值定理第六节 函数的性态与图形第七节 导数的实际应用第二节 导数的计算法则课 前 导 读48复合函数的正确分解例如
23、,由 和 复合而成,2sinyxsinux2yu()yf g x()ug x()yf u 由内函数 和外函数 复合而成.221ln1xyx2211xuxlnyu 由 和 复合而成.课 前 导 读49函数的表示方式 函数 表示变量 与 之间的对应关系,这种对应关系可以用不同的方式表达。()yf xyxe10yxy 310 xy yx 但也有些函数的表达方式不是这样,如 ,通过一个方程确定变量 与 之间的对应关系,这样的函数称为隐函数.2sin,ln(1)yx yxx 例如,用这种方式表达的函数叫作显函数.课 前 导 读50由参数确定的方程在实际问题中,函数 与自变量 可能不是直接由 表示,而是通
24、过一参变量 来表示,即yx()yf xt()()xtyt一、复合函数的求导法则 如果 在点 处可导,在点 处可导,则复合函数 在点 处可导,且有 yf uu ug xx yfg xx y xfugxddddddyyuxux(即 )证明其中0lim0u 定理(复合函数的求导法则)yf uu 因为 在点 处可导,0limuyfuu 故 yfuu即,当 时,规定=0,一、复合函数的求导法则当 时,用 乘上式两边,0u u0 x x当 时,由()式除以 ,故0u()如果 在点 处可导,在点 处可导,则复合函数 在点 处可导,且有 yf uu ug xx yfg xx y xfugxddddddyyux
25、ux(即 )定理(复合函数的求导法则)yf uuu 得 0yf uuf u 此时由于 ,()式也成立.yuufuxxx得 .一、复合函数的求导法则 如果 在点 处可导,在点 处可导,则复合函数 在点 处可导,且有 yf uu ug xx yfg xx y xfugxddddddyyuxux(即 )定理(复合函数的求导法则)由 在点 处连续(可导连续)知,ug xx0dlimdxyyxx 即ddddddyyuxux00limlim0 xu 故 ,因此,0 x 当 时,0ug xxg x ,0limxuufuxx fu gx一、复合函数的求导法则比如,若 ,和 可导,则 yf u ug v vh
26、x ()yf g h xdddd()()()ddddyyuvfug vh xxuvx复合函数的求导法则也称为链式法则,它可推广到有限个函数复合的情形.且一、复合函数的求导法则例求下列函数的导数:();();();();();();();()2exy 2sinyx102)1(xy21yxln sinyx2cosyxsin2exy 32)sin(xxy ()设 则e,2uyuxddddddyyuxux2eu解e 2e2uux22ex一、复合函数的求导法则ddddddyyuxux22 cosxxddddddyyuxux2910(1)2xx函数 可以看作由 和 复合而成,故21yxyu21ux ddd
27、dddyyuyxux()2sinyx2sin,yu ux设 ,则102,1yuux设 ,则()102)1(xy()21yx2sinuxcos2ux9102ux2920(1)x x21ux122xu 21xx 一、复合函数的求导法则熟悉复合函数的求导公式后,可以省去中间变量.1sinsinyxx 2cos(cos)yxx(5)ln sinyx(6)2cosyx1cossinxxcot x2cos(sin)xx sin2x 一、复合函数的求导法则函数 由 和 及 复合而成,故sin2exy euy sinuv2xv e sin2uxyu)sin(32xxy)sin()sin(3222xxxx)(s
28、insin21)sin(322xxxx223(sin)(1 sin2)xxx(7)sin2exy 1ecos2uvsin21ecos22xx(8)32)sin(xxy一、复合函数的求导法则例求 的导数.11xyx解211111xyxxx 21111121xxxxx2111xx一、复合函数的求导法则解例3求函数 的导数.2ln1yx因为 ,所以21ln(1)2yx2211(1)21yxx211221xx2.1xx一、复合函数的求导法则解例4求幂指函数 的导数.1(0,1)xyxxx由对数的性质可知,因此11lnlneexxxxxyx1()xyx ln(e)xxlnlne()xxxx121 lnx
29、xxx一、复合函数的求导法则解例5已知 可导,求函数 的导数.)(uf(tan)yfx 由 和 复合而成,由复合函数求导法则可知,(tan)yfx()yf utanux(tan)()(tan)yfxf ux,即(tan)(tan)(tan)yfxfxx2(tan)secfxx注求此类含抽象函数的导数时,应特别注意记号表示的真实含义.此例中,表示对 求导,而 表示对 求导.(tan)fxtan x(tan)fx x二、高阶导数 如果函数 的导数 仍是 的可导函数,那么就称的导数为函数 的二阶导数,记作 yf x yfxx yfx yf xy,fx,22ddyx22ddfx或例如,sincosxx
30、,sincossinxxx.、二阶导数的概念yy,()fxfx,22ddddddyyxxx或22ddddddffxxx即、二阶导数的概念解例设 ,求 2lnyxx.y12,yxx 212.yx、二阶导数的概念解例7设 ,求 xyarctan(0)f,112xy211yx,)1(222xx0222(0)|0(1)xxfx、二阶导数的概念证明例8证明 满足关系式e sinxyx 2 20.yyye sinxyxesincosecossinxxyxxxx所以 2 2yyy故e sinxyx 2 20.yyy满足关系式e sine cosxxxx,esincosxxx,2e cosxx2e cos2e
31、sincos2e sinxxxxxxx,02、二阶导数的物理意义 另外,再取定一个时刻为计时的零点.质点于时刻 在直线上的位置的坐标记为,这样,质点的运动完全由某个函数 所确定.ts()ss ts 在最简单的匀速直线运动的情形中,质点经过的路程与所用的时间成正比,即 如果是非匀速直线运动,取从 时刻到 这样一段时间间隔,在上质点所走过的路程 有相应增量 ,这段区间上的平均速度svt0t0tt00()()ss tts t 设质点沿直线运动,在直线上给定原点和单位点(表示实数的点),使直线成为数轴.00s tts tvt(2)2、二阶导数的物理意义 若令 ,即 ,那么 的极限值就精确地反映了质点在
32、时刻这一瞬间运动的快慢程度。0tt0t v 00000limts tts tv ts tt 一般地,变速直线运动的速度 就是位置函数 对时间 的导数,即 v t s tt ddsv ttvs,或 而加速度 是速度函数 对时间 的变化率,即速度函数,对时间 的导数,即t a t v ttddddddvsattt,或 22ddsasst.因此在 时,瞬时速度即为0tt3、阶导数的计算 一般地,设 如果 的 阶导数仍可导,便称为 的 n 阶导数。Z,2nn f x1n f x;y,或 fx33ddyx33ddfx 时,阶导数的记号是 ,或 .4n()nyn()nfxddnnyxddnnfx二阶及二阶
33、以上的导数均称为高阶导数,称 为一阶导数。fx其中,三阶导数的记号为 f xn f xn 如果函数 具有 阶导数,则 的一切低于 阶的导数均存在.函数具有 阶导数时,也称 为 阶可导.yf xn f xn3、阶导数的计算解例9求 的 阶导数yxn,1yx 21yx ,312yx (4)4123yx,121nnnyxnx 当 时(),nZn!nnxn,10nnx.一般地,3、阶导数的计算解例10设 ,求11yx.)(ny21,(1)yx 32!,(1)yx43!,(1)yx,(4)54!,(1)yx()1!(1)(1)nnnnyx(1,0!1).n 3、阶导数的计算解例11求 的 阶导数.cos
34、 xn令 ,cosyxcosyx cos2yx 2cos2yx sin x,cos2xsin2x,2cos2x2sin2x.3cos2x3、阶导数的计算若 ,则11 cos2kkyx 1 cos2kkyx因此,.coscos2nnxx同样可得 的 阶导数 sin xn sinsin2nnxx.例11求 的 阶导数.cos xn1 sin2kx,cos2kx3、阶导数的计算解因此例12求 的 阶导数.n 2156f xxx 2156f xxx 21115623nnxxxx123xx,1123xx.111!1!23nnnnnnxx3、阶导数的计算定理(高阶导数的运算法则)若 ,具有 阶导数,则n
35、f x g x(1)()()()nnnf xg xfxgx,(2)01101nnnkn knknnf xg xfgC fgC fgfg,其中11!knn nnkCk.3、阶导数的计算 公式(2)称为莱布尼茨(Leibniz)公式。这个公式在形式上与二项式展开式相仿,可以这样来记:在二项展开式 中,把函数的幂次改为导数的阶数,即得0nnkn kknkfgC fg 0nnn kkknkf gC fg.3、阶导数的计算解故例13求 的50阶导数.2sinyxx,22xx22x,20 x,sinsin2nnxx,505049482250 49sinsin802sin2sin2xxxxxxx 25049
36、50 4948sin502sin2 sin2222xxxxx 2sin100 cos2450sinxxxxx 203nxn,即22450 sin100 cosxxxx三、隐函数的导数 设变量 和 满足方程 如果在一定条件下,当 取某区间内的任一值时,相应地,总有满足这个方程的唯一的 值存在,那么称方程 在该区间内确定了一个隐函数,记为 .xy,0F x y xy,0F x y()yy x 设方程 确定了一个函数 ,将 “代入”方程,便得到恒等式 在等式 两边关于 求导,且将 看作 的函数,即可解得 .x,0F x y()yy x()yy x,0F x y xyxddyx,0F x y x 比如
37、,将写成 就是指这个过程.310 xy 31yxeesin10 xyxy 但有些函数显化却很困难,甚至不可能,比如 那么如何对隐函数导呢?将一个隐函数转化成显函数,叫作隐函数的显化.三、隐函数的导数解例14设方程 所确定的隐函数为 ,求 .1eyyx()yy x0 xy将 两端对 求导数,1eyyx x故.e1eyyyx 在上式中,令 ,0 x,0(e)eeyyyyxxy得1eyyx 01xy由 知 ,0exy故 .三、隐函数的导数解在题设方程两边同时对自变量 求导,得,x01yyxyy解得.12xyyy在点 处,1111211yxy21)1,1(M于是,在点 处的切线方程为)1,1(M)1(
38、211xy.032yx,即 对隐函数也可以求高阶导数。只要在求导过程中始终将 、等看成 的函数即可.yxyy例15求由方程 所确定的函数 在点 处的切线方程1lnyxy()yy x)1,1(M三、隐函数的导数解方程两边对 求导,得x例16设 求 在点(0,1)处的值.y,144yxyx(3),04433yyxyyx代入 得1,0yx;4110yxy将方程(3)两边再对 求导得x,0 4)(12 2123222yyyyxyyx代入 ,得1,0yx4110yxy.16110 yxy三、隐函数的导数解得例17求由方程 所确定的隐函数 对 的导数 .(,0,1)yxxyx yx yyxddyx先将方程
39、取对数,得 ,然后两边关于 求导,即lnlnyxxyxlnlnyyyxyxxy22lnlnyxxyxyyy 2ln0 xyyy(),其中 是由方程 所确定的隐函数.yy xyxxy3、阶导数的计算注对于幂指函数 ,可将其写成 再求导,也就是复合函数求导,也可两边取对数:v xyu x lnev xu xy lnlnyv xu xyx 将其视为隐函数 对 求导,这种求导的方法称为对数求导法.对数求导法还适用于下列形式的函数.三、隐函数的导数解等式两边取对数得故上式两边对 求导得x例18设 ,求 .32(1)1(4)exxxyxy,)4ln(2)1ln(31)1ln(lnxxxxy,142)1(3
40、111xxxyy32(1)11121.(4)e13(1)4xxxyxxxx四、由参数方程确定的函数的导数 考虑由参数方程 ,(其中 为参数)确定的函数 的导数 .xtytt yy xddyx下面就来讨论这种求导数的方法.xtyt现在我们希望有一种方法,能直接由参数方程 算出它们所确定的函数的导数.xt 1tx 1yx ddyxt2sinecostxtytt如果能从 中解出 ,则由 求得导数 .这个方法实质是消去参数,但这个工作是困难的(有时是不可能的,如 ).四、由参数方程确定的函数的导数 如果 的反函数为 ,且它满足反函数的求导条件,则可将 看作 与 的复合函数.xt 1tx 1yx yt
41、1tx dddd1ddddddtyytyxxtxttt这里 是反函数的求导法则中的条件之一.0t利用反函数的求导法则,得四、由参数方程确定的函数的导数 如果 、二阶可导,则有二阶导数 xt yt类似地,我们可求得更高阶的导数.222ddddddddddddttttytyytxxxxxtt 3ttttt四、由参数方程确定的函数的导数解例19已知圆的参数方程为 ,求 .cossinxatyat(0)a ddyxddddddyytxxt(sin)(cos)atatcossinatatcott 四、由参数方程确定的函数的导数解例20设参数方程为 ,求 .ddyx33cossinxayb(,0)a b
42、ddddddyyxx223 sincos3 cos(sin)batanba 四、由参数方程确定的函数的导数解例21设参数方程为 ,求 .2ln 1arctanxtytt 22ddyxddddddyytxxt22ddddddyyxxx2211121ttt;2tddddddytxxt21221tt.214tt四、由参数方程确定的函数的导数解例22设参数方程为 ,求 .22ddyxsinsinxa ttyat ddddddyytxxt22ddddddyyxxxsin1 cosatat;sin1 costtddddddytxxt2cos1 cossinsin1 cos1 costttttat.211
43、cosat 四、由参数方程确定的函数的导数或直接运用公式求二阶导数:由 ,得1 costxat sintyat sintxatcostyat 232ddttttyxt.223231 coscossin11 cos1 cosat atatatat 例22设参数方程为 ,求 .22ddyxsinsinxa ttyat 五、相关变化率 设 、均可导,且由 ,确定了 与 之间存在着某种关系,这样 与 (变化率)之间也存在一定的关系,这两个相互依赖的变化率称为相关变化率.xt yt xtytxyddxtddyt 我们研究这种关系,就是希望从一个已知的变化率求出另一个未知的变化率.五、相关变化率 例23一
44、长为m的梯子斜靠在墙上.如果梯子下端以0.5m/s的速率滑离墙壁,试求梯子下端离墙3m 时,梯子上端向下滑落的速率.yx5图 2-11txty x 表示梯子下端离墙的距离,y 表示梯子上端到地面的距离,这里 x,y都是时间t 的函数,于是 .两边对 t 求导,得2522 yx即dd220,ddxyxyttdd.ddyxxtyt 注意到 以及 代入得4,3yxd0.5,dxtd3d8yt,即梯子上端向下滑落的速率为 m/s.38 解如图2-11所示,内容导航第二章第一节 导数的概念及基本求导公式第二节 导数的计算法则第四节 微分中值定理及其应用第五节 泰勒中值定理第六节 函数的性态与图形第七节
45、导数的实际应用第三节 微分的概念与应用课 前 导 读96我们先来试着计算这样的两组数:通过计算可以发现什么规律呢?1dsin|,0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.0 00001xyxxx.sin(1)sin1,0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001yxx ,dyy所以,有些时候,我们可以用 来近似替代 ,因为它极容易计算,误差又小.dyyx(2)当 越来越小时,和 越接近.dyy(1)计算 比计算 容易得多;一、微分的定义 在理论研究和实际应用中,常常会遇到这样的问题:当自变量 有微小变化 时,求函数 的微小改变量xx)(xf
46、y)()(xfxxfy微分就是实现这种线性化的一种数学模型.yx 一个想法是:我们设法将 示成 的线性函数,即线性化,从而把复杂问题化为简单问题.)(xf)()(xfxxf 这个问题初看起来似乎只要做减法运算就可以了,然而,对于较复杂的函数 ,差值 却是一个更复杂的表达式,不易求出其值.一、微分的定义 例1一块正方形金属薄片因受温度变化的影响,其边长由 变到 ,问:此薄片的面积改变了多少?0 xx0 x 设此薄片的边长为 ,0 x.2200()Axxx202()xxx 解AA 面积的改变量可以看成是因变量 取得相应的增量 ,即0 xx0 xxx 薄片受温度变化的影响,当自变量 从 变到 取得增
47、量 时,A20Ax面积为 ,则 ,一、微分的定义 第一部分 是 的线性函数,即图2-12中灰色的两个矩形面积之和,而第二部分 在图中是黑色的小正方形面积.02xxx2()xx0 x0A=x020 xx2()xxxxA 由此可见,如果边长改变很微小,即 很小时,面积的改变量 可近似地用第一部分来代替.0 x 2()xx2()()(0)xoxx 当 时,第二部分 是比 高阶的无穷小,即 .图2-12A 从上式可以看出,由两部分组成:一、微分的定义 定义设函数 在某区间 内有定义,如果函数的增量 可表示成 f xI0 x0 xxI 00yf xxf x yA xox x其中 为不依赖于 的常数,A
48、抛开上述例子的实际背景,即得到微分的定义.0d|x xyA x即 .0d|x xy记作 ,而 叫作函数 在点 相应于自变量增量 的微分,A x yf x0 xx yf x0 x 那么称函数 在点 处是可微的,oxx而 是比 高阶的无穷小,一、微分的定义 定理函数 在 处可微的充分必要条件是 在 处可导.f x0 xx f x0 xx 设函数 在 处可微,则有 .f x0 xxyA xox 当 时,因此0 x oxyAxx即 在 处可导.f x0 xx000d|limlimdx xxxoxyyAAxxx ,证明ddyyxx0lim0 x 其中 ,即因此 ,一、微分的定义即 在 处可微.f x0
49、xx 反之,若 在 处可导,则有 存在。f x0 xx0dlimdxyyxx.ddyyxxx 由 ,知 ,即 ,0lim0 xxx xox ddyyxoxx 由上述证明可知,若函数 在 处可微,其微分 f x0 xx00d|x xyA xfxx.定理函数 在 处可微的充分必要条件是 在 处可导.f x0 xx f x0 xx一、微分的定义 例2设 ,求(1);()及 .2yx0d|x xy1dxy0.01dxy(1)002d|x xx xyxx(2)解02|x xxx02xx0.1d0.02xyx.1d2xyx,一、微分的定义 例3求函数 在 时,分别等于0.01和0.0001时的增量与微分.
50、3yx1x x当 ,时 ,1x 0.01x;33331.0111.030301 10.030301yxxx 211,0.01d|33 0.010.03xxxyxx ;当 ,时,1x 0.0001x 33331.000111.000300030001 10.000300030001yxxx 211,0.0001d|33 0.00010.0003xxxyxx 解一、微分的定义当 时,;当 时,0.01x d0.0003yy 0.0001x 这时,用 的值近似替代 的值,误差是非常小的.dyy通过计算可以发现,d0.000000030001yy.二、基本初等函数的微分公式及微分法则 如果函数 在区间