1、 性质（闭区间上连续函数）性质（闭区间上连续函数）函数函数 极限（数列极限、函数极限）极限（数列极限、函数极限）连续（或间断）连续（或间断）内容内容一、函数一、函数：:函数的分类函数的分类函数函数初等函数初等函数非初等函数非初等函数(分段函数分段函数,有无穷多项等有无穷多项等函数函数)代数函数代数函数超越函数超越函数有理函数有理函数无理函数无理函数有理整函数有理整函数(多项式函数多项式函数)有理分函数有理分函数(分式函分式函数数)邻域邻域:.0,且且是两个实数是两个实数与与设设a)(0aU,叫做这邻域的中心叫做这邻域的中心点点a.叫叫做做这这邻邻域域的的半半径径.)(axaxaUxa a a
2、,邻邻域域的的去去心心的的点点 a.0axx,邻域邻域的的称为点称为点数集数集 aaxx ).(0aU 记记作作绝对值绝对值:00aaaaa)0(a运算性质运算性质:;baab ;baba.bababa )0(aax;axa )0(aax;axax 或或绝对值不等式绝对值不等式:函数的特性：M-Myxoy=f(x)X有界有界无界无界M-MyxoX0 x,)(,0,成立成立有有若若MxfXxMDX 1函数的有界性函数的有界性:.)(否否则则称称无无界界上上有有界界在在则则称称函函数数Xxf数列的有界性数列的有界性：补充内容：补充内容：1.单调递增且有上界数列必有极限。单调递增且有上界数列必有极限
3、。2.单调递减且有下界数列必有极限。单调递减且有下界数列必有极限。2函数的单调性函数的单调性:,)(DIDxf 区间区间的定义域为的定义域为设函数设函数,2121时时当当及及上任意两点上任意两点如果对于区间如果对于区间xxxxI;)(上上是是单单调调增增加加的的在在区区间间则则称称函函数数Ixf),()()1(21xfxf 恒有恒有)(xfy)(1xf)(2xfxyoI)(xfy)(1xf)(2xfxyoI;)(上是单调减少的上是单调减少的在区间在区间则称函数则称函数Ixf,)(DIDxf 区间区间的定义域为的定义域为设函数设函数,2121时时当当及及上任意两点上任意两点如果对于区间如果对于区
4、间xxxxI),()()2(21xfxf 恒有恒有3函数的奇偶性函数的奇偶性:偶函数偶函数有有对于对于关于原点对称关于原点对称设设,DxD )()(xfxf yx)(xf )(xfy ox-x)(xf;)(为偶函数为偶函数称称xf有有对于对于关于原点对称关于原点对称设设,DxD )()(xfxf ;)(为奇函数为奇函数称称xf奇函数奇函数)(xf yx)(xfox-x)(xfy 函数函数的周期性的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正（通常说周期函数的周期是指其最小正周期周期）.2l 2l23l 23l,)(Dxf的定义域为的定义域为设函数设函数如果存在一个不为零的如果存在一个不为零的)(
5、)(xflxf 且且为周为周则称则称)(xf.)(,DlxDxl 使得对于任一使得对于任一数数.)(,的周期的周期称为称为期函数期函数xfl.恒成立恒成立 典型例题典型例题例例.)16(log2)1(的定义域的定义域求函数求函数xyx 解解,0162 x,01 x,11 x 214xxx,4221 xx及及).4,2()2,1(即即例例.)3(,212101)(的定义域的定义域求函数求函数设设 xfxxxf解解 23121301)3(xxxf 212101)(xxxf 122231xx1,3:fD故故思考题思考题设设0 x，函函数数值值21)1(xxxf ，求求函函数数)0()(xxfy的的解
6、解析析表表达达式式.思考题解答思考题解答设设ux 1则则 2111uuuf ,112uu 故故)0(.11)(2 xxxxf二、极限函数极限的统一定义函数极限的统一定义;)(limAnfn ;)(limAxfx ;)(limAxfx;)(limAxfx;)(lim0Axfxx;)(lim0Axfxx .)(lim0Axfxx .)(,0)(lim AxfAxf恒有恒有从此时刻以后从此时刻以后时刻时刻(见下表见下表)过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 n xxxNNn Nx Nx Nx )(xf Axf)(0 xx 00 xx 0 xx 0 xx 00 xx00 xx过过 程程时时 刻
7、刻从此时刻以后从此时刻以后 )(xf Axf)(思考题思考题试试问问函函数数 0,50,100,1sin)(2xxxxxxxf在在0 x处处的的左左、右右极极限限是是否否存存在在？当当0 x时时，)(xf的的极极限限是是否否存存在在？思考题解答思考题解答 )(lim0 xfx,5)5(lim20 xx左极限存在左极限存在,)(lim0 xfx,01sinlim0 xxx右极限存在右极限存在,)(lim0 xfx)(lim0 xfx)(lim0 xfx不存在不存在.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx 定理定理lim()0lim()0.fxfx补充结论：补充结论：lim()lim(
8、).(0)fxafxaa小结小结:则有则有设设,)(.1110nnnaxaxaxf nnxxnxxxxaxaxaxf 110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa 10100).(0 xf 则有则有且且设设,0)(,)()()(.20 xQxQxPxf)(lim)(lim)(lim000 xQxPxfxxxxxx)()(00 xQxP).(0 xf.,0)(0则商的法则不能应用则商的法则不能应用若若 xQ解解)32(lim21 xxx,0 商的法则不能用商的法则不能用)14(lim1 xx又又,03 1432lim21 xxxx.030 由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关
9、系,得得例例.3214lim21 xxxx求求.3214lim21 xxxx解解例例.321lim221 xxxx求求.,1分母的极限都是零分母的极限都是零分子分子时时x.1后再求极限后再求极限因子因子先约去不为零的无穷小先约去不为零的无穷小 x)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21)00(型型(消去零因子法消去零因子法)例例.147532lim2323 xxxxx求求解解.,分母的极限都是无穷大分母的极限都是无穷大分子分子时时 x)(型型 .,3再求极限再求极限分出无穷小分出无穷小去除分子分母去除分子分母先用先用x3323231475
10、32lim147532limxxxxxxxxxx .72(无穷小因子分出法无穷小因子分出法)结论结论:为非负整数时有为非负整数时有和和当当nmba,0,000 ,0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx当当当当当当无穷小分出法无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分以分母中自变量的最高次幂除分子子,分母分母,以分出无穷小以分出无穷小,然后再求极限然后再求极限.例例).21(lim222nnnnn 求求解解是无限多个无穷小之和是无限多个无穷小之和时时,n222221lim)21(limnnnnnnnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn .2
11、1 先变形再求极限先变形再求极限.00.00 例例.证明证明11211lim222nnnnnn证证:利用夹逼准则.nnnnn222121122nnn22nn且22limnnnn1lim1nn122limnnn211limnn1nnlimnnnn22212111由)(1lim21nnnnneeen nnnnnnneneeeen11111lim)1(1)1(1lim 解：原式解：原式.1)1ln(lim)1()1ln(lim)1(100 eueuueuuu例：例：10d1xexe1.求极限).21(lim22222nnnnnnnn解：解：原式nn1limnini12)(11xxd1110242.求
12、极限).2212(lim12121nnnnnnnnn提示提示：原式nn1limnini121limnnnnini12n1xxd2102ln111limnnnini12左边左边=右边故极限存在，例：例：设设)(211nnnxaxx),2,1(n,0a,01x,且求.limnnx解：解：设Axnnlim则由递推公式有1()2aAAAaA)(211nnnxaxxnxnxaannxx1)1(212nxa)1(21aa1数列单调递减有下界，,01x故axnnlim利用极限存在准则,0nx思考与练习思考与练习1.如何判断极限不存在?方法1.找一个趋于的子数列;方法2.找两个收敛于不同极限的子数列.2.已知
13、),2,1(21,111nxxxnn,求nnxlim时,下述作法是否正确?说明理由.设,limaxnn由递推式两边取极限得aa211a不对不对!此处nnxlim例例.sinlimxxx 求求解解,1,为无穷小为无穷小时时当当xx.sin 是有界函数是有界函数而而x.0sinlim xxxxxysin.)(lim)(lim)()(lim)()(lim)(00000AufxfxxxfAufaxxaxaxxxuauxxauxx 时时的的极极限限也也存存在在，且且当当则则复复合合函函数数，又又的的某某去去心心邻邻域域内内但但在在点点，即即时时的的极极限限存存在在且且等等于于当当运运算算法法则则）设设函
14、函数数定定理理（复复合合函函数数的的极极限限)(lim0 xfxx)(limufau)(xu 令令)(lim0 xaxx 意义：意义：定理定理:).(lim)()(lim,)(,)(lim000 xfafxfaufaxxxxxxx 则有则有连续连续在点在点函数函数若若意义意义1.极限符号可以与函数符号互换极限符号可以与函数符号互换;.)(.2的的理理论论依依据据变变量量代代换换xu 定理定理:注意注意:.)(,)(,)(,)(00000也也连连续续在在点点则则复复合合函函数数连连续续在在点点而而函函数数且且连连续续在在点点设设函函数数xxxfyuuufyuxxxxu 该该定理是上个定理的特殊情
15、况定理是上个定理的特殊情况.无穷小（量）：无穷小（量）：0sinlim1xxx无穷小的性质;无穷小的比较;常用等价无穷小:两个重要极限：两个重要极限：xsin;xxtan;xxcos1;221xxarctan;xxarcsin;x)1ln(x;x1xe;x1xa;lnax1)1(x;x1lim(1)xxxe2.1.两个重要极限1sinlim)1(0e)11(lim)2(或e1)1(lim0注注:代表相同的表达式思考与练习思考与练习填空题填空题 (14);_sinlim.1xxx;_1sinlim.2xxx;_1sinlim.30 xxx;_)11(lim.4nnn0101e例例.求下列极限：)
16、sin1(sinlim)1(xxxxxxsin112lim)2(xxxxcot110lim)3(提示提示:xxsin1sin)1(21cos21sin2xxxx21cos)1(21sin2xxxx无穷小有界令1lim)2(x1 xt0limt)1(sin)2(ttt0limttttsin)2(0limtttt)2(2xxsin120lim)3(xxxxcot110limxxxxcot)121(e)1(ln12xxxx122e则有)()(1lim0 xvxxxu复习复习:若,0)(lim0 xuxx,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xuxvxxe)()(lim0 xuxvxx)(
17、lim12sincos0 xxxxx1 ;0,0,12sin)(2xaxxexxfax._ a上连续，上连续，在在)(则则-2填空题：填空题：1.20sin21lim1axxxex2.0_.极限的计算方法：极限的计算方法：1、极限的四则运算法则及其推论；、极限的四则运算法则及其推论；2、多项式与分式函数代入法求极限、多项式与分式函数代入法求极限;3、消去零因子法求极限、消去零因子法求极限;4、无穷小因子分出法、无穷小因子分出法(等价无穷小代换等价无穷小代换)求极限求极限;5、利用无穷小运算性质求极限、利用无穷小运算性质求极限;6、利用左右极限求分段函数极限、利用左右极限求分段函数极限;7、复合
18、函数极限运算法则、复合函数极限运算法则;(尤其利用复合函数连续性尤其利用复合函数连续性)8、利用两边夹逼准则求极限、利用两边夹逼准则求极限;9、利用罗比达法则求极限利用罗比达法则求极限;10、利用泰勒公式求极限、利用泰勒公式求极限;11、利用定积分求极限、利用定积分求极限;12、利用无穷级数的性质求极限、利用无穷级数的性质求极限;思考题思考题:在某个过程中，若在某个过程中，若 有极限，有极限，无极限，那么无极限，那么 是否有极限？为是否有极限？为什么？什么？)(xf)(xg)()(xgxf()()f xg x()()f xg x与与是否有极限？是否有极限？思考题解答思考题解答:没有极限没有极限
19、假设假设 有极限，有极限，)()(xgxf)(xf有极限，有极限，由极限运算法则可知：由极限运算法则可知：)()()()(xfxgxfxg 必有极限，必有极限，与已知矛盾，与已知矛盾，故假设错误故假设错误思考题思考题:任何两个无穷小都可以比较吗？任何两个无穷小都可以比较吗？思考题解答思考题解答:不能不能例当例当 时时x,1)(xxf xxxgsin)(都是无穷小量都是无穷小量但但)()(limxfxgxxxsinlim不存在且不为无穷大不存在且不为无穷大故当故当 时时x)(xf和和)(xg不不能能比比较较.例例).(,1)(lim,2)(lim,)(023xpxxpxxxpxpxx求求且且是多
20、项式是多项式设设 解解,2)(lim23 xxxpx),(2)(23为待定系数为待定系数其中其中可设可设babaxxxxp ,1)(lim0 xxpx又又)0(2)(23 xxbaxxxxp.1,0 ab从从而而得得32()2p xxxxxxxxxcossin1cos1lim0 )cos1)(cossin1(cossin1)cossin1)(cos1)(cos1(lim0 xxxxxxxxxxxxx ）（解：原式解：原式.31sin2sin221limsin2sin22limcossin1cos1lim2202200 xxxxxxxxxxxxxxx例：例：xxxnnx2sintan1tan1l
21、im20 xxxnnx2sin1tan11tan1lim20）（）（解：原式解：原式 xxnx2sin1tan1lim0）（xxnx2sin1tan1lim20）（xxnx2sin)tan(1lim0 xxnx2sintan1lim20.21n 例：例：201tan1 sinlimln(1)xxxxxx思考题思考题：（如何做（如何做？）？）)1)(,0)()()(xuxuxuxvbxvaxu)(lim,0)(lim说明说明:对于形如对于形如:的函数，通常称为幂指函数幂指函数如果如果那么有那么有bxvaxu)()(lim31221222lim();lim();211xxxxxxxxxxx思考题思
22、考题:例例.310lim(12)?.(1)xxx.)21(limsin30 xxx解解:原式ex0lim)21ln(sin3xxex0limx36ex2例例.求求310lim(3sin)?xxx()3lim()3v xbu xa例例.)sin1tan1(lim310 xxxx求解解 解法讨论解法讨论则则设设,)(lim,0)(lim xgxf)(1ln)(lim)()(1limxfxgxgexf )()(limxfxge .)()(limxfxge )()(1ln:xfxf 等价无穷小代换等价无穷小代换典型例题典型例题1 310)1sin1tan1(1 limxxxx 原式原式310sin1s
23、intan1 limxxxxx 301sin1sintanlimxxxxx 301cos)sin1()cos1(sinlimxxxxxx xxxxxxxcos)sin1(1cos1sinlim20 21.21e 原式原式xxxx1)321(lim .3)1)32(31(3lim1 xxxx解：原式解：原式.1)321(lim1 xxxx例：例：.,0)21(lim332babaxxxx求求已知已知 0)121(lim33 xbaxxxx解：原式解：原式,10)121(lim33 axbaxxx)21(lim332xxxbx )1121(lim33 xxxx)21(31lim3xxxx .32
24、例：例：三、连续与间断连续与间断1.函数连续的等价形式)()(lim00 xfxfxx)()(,000 xfxxfyxxx0lim0yx)()()(000 xfxfxf,0,0,0时当 xx有)()(0 xfxf2.函数间断点第一类间断点第二类间断点可去间断点跳跃间断点无穷间断点振荡间断点小结：1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;第一类间断点第一类间断点:（左右极限都存在的间断点）左右极限都存在的间断点）.第二类间断点第二类间断点:（左右极限至少有一个不存在的间断点）左右极限至少有
25、一个不存在的间断点）.间断点间断点(见下图见下图)可去型可去型第一类间断点第一类间断点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第二类间断点第二类间断点oyx0 xoyx0 xoyx0 x闭区间连续函数的性质小结：闭区间连续函数的性质小结：则设,)(baCxf在2.()f x上有最大值与最小值;上可取最大值与最小值之间的任何值;3.若()()0,f a f b,),(ba使()0;f至少存在一个上有界;在1.()f x,ba在4.()f x,ba,ba思考题思考题 若若)(xf在在0 x连连续续，则则|)(|xf、)(2xf在在0 x是是否否连连续续？又又若若|)(|xf、)(2xf在在0 x
26、连连续续，)(xf在在0 x是是否否连连续续？思考题解答思考题解答)(xf在在0 x连续，连续，)()(lim00 xfxfxx)()()()(000 xfxfxfxf 且且)()(lim00 xfxfxx )(lim)(lim)(lim0002xfxfxfxxxxxx)(02xf 故故|)(|xf、)(2xf在在0 x都连续都连续.但反之不成立但反之不成立.例例 0,10,1)(xxxf在在00 x不不连连续续但但|)(|xf、)(2xf在在00 x连连续续例例.1,2cos1,1)(的连续性的连续性讨论讨论 xxxxxf 解解改改写写成成将将)(xf 1,111,2cos1,1)(xxxx
27、xxxf.),1(),1,1(),1,()(内内连连续续在在显显然然 xf,1时时当当 x )(lim1xfx2)1(lim1 xx )(lim1xfx 2coslim1xx.0)(lim)(lim11xfxfxx .1)(间断间断在在故故 xxf,1时时当当 x )(lim1xfx 2coslim1xx.0 )(lim1xfx )1(lim1xx.0)1()(lim)(lim11fxfxfxx .1)(连连续续在在故故 xxf.),1()1,()(连连续续在在 xf例例).()21(1,0),1()0(,1,0)(ffffxf 使得使得证明必有一点证明必有一点且且上连续上连续在闭区间在闭区间
28、设设证明证明),()21()(xfxfxF 令令.21,0)(上连续上连续在在则则xF),0()21()0(ffF ),21()1()21(ffF 讨论讨论:,0)0(F若若,0 则则);0()210(ff ,0)21(F若若,21 则则);21()2121(ff 则则若若,0)21(,0)0(FF )21()0(FF2)0()21(ff .0 由零点定理知由零点定理知,.0)(),21,0(F使使.)()21(成立成立即即 ff 综上综上,1,021,0 必有一点必有一点.)()21(成立成立使使 ff 例例 设设f(x)在在(a,b)内连续，内连续，x1,x2,xn是是(a,b)内任意值，
29、内任意值，证明存在证明存在(a,b)使使.)()()()(21nnxfxfxff npxxx,1max 证：设证：设 nqxxx,min1,)(pqxxcxf 则则。、上上能能达达到到最最大大、小小值值在在mMxxxfpq,)(,)()(1MMxfxfnnnn 又又.)()(1mmxfxfnnnn .)()()(),(),1nnpqxfxffbaxx 使使（据推论据推论并并指指出出间间断断点点的的类类型型。的的连连续续性性，讨讨论论 0,)2)(1(lim0,1xxxxxxynnn 2,121211000)(xxxxxxxxxf解：解：为第二类无穷间断点。为第二类无穷间断点。为第一类间断点。为第一类间断点。21 xx例：例：其他例题：其他例题：.a)f()f(,a0,f(2a),f(0),0,2af(x)2.0332211.1 使使得得有有一一点点上上至至少少则则且且上上连连续续在在有有两两个个实实根根试试证证方方程程xxx第一章习题课结束第一章习题课结束 谢谢 谢谢 配配 合！再见！合！再见！
