1、第三章第三章 有限元法应用中的若干问题有限元法应用中的若干问题u有限元模型的建立u单元划分的基本原则u有限元分析过程及位移解的下限性质u应力计算结果的性质和处理第一节 有限元模型的建立v应用有限元法分析实际问题的目的是方便、快捷的应用有限元法分析实际问题的目的是方便、快捷的得到得到可靠性的结果可靠性的结果，其，其分析过程的有效性和计算结分析过程的有效性和计算结果的可靠性果的可靠性成为有限元法的两大核心问题。成为有限元法的两大核心问题。v它涉及到它涉及到合理的有限元模型的建立合理的有限元模型的建立，恰当的分析方恰当的分析方案和计算方法的选择案和计算方法的选择以及以及对计算结果的正确解释和对计算结
2、果的正确解释和处理处理这三个方面。这三个方面。v对一个实际问题进行有限元分析的首要步骤是建立对一个实际问题进行有限元分析的首要步骤是建立合理的有限元模型。其中最主要的是单元类型和形合理的有限元模型。其中最主要的是单元类型和形状的选择以及网格的安排和布置。状的选择以及网格的安排和布置。1.1单元类型和形状的选择1 1、单元的类型、单元的类型v一般来说，单元类型和形状的选择依赖于结构或总体一般来说，单元类型和形状的选择依赖于结构或总体求解域的求解域的几何特点和方程的类型以及求解所希望的精几何特点和方程的类型以及求解所希望的精度度等因素。根据分析对象的物理属性，可选择固体力等因素。根据分析对象的物理
3、属性，可选择固体力学单元、流体力学单元、热传导单元等。学单元、流体力学单元、热传导单元等。v在固体力学单元类型中，还可根据对象的几何特点，在固体力学单元类型中，还可根据对象的几何特点，选择二维、三维实体单元，梁、板、壳结构单元等。选择二维、三维实体单元，梁、板、壳结构单元等。2 2、单元的形状、单元的形状 从单元的几何形状上区别，可以分为一维、二维和从单元的几何形状上区别，可以分为一维、二维和三维单元。三维单元。v一维单元可以是一直线，也可以是一曲线；一维单元可以是一直线，也可以是一曲线；v二维单元可以是三角形单元、矩形单元或四边形单元；二维单元可以是三角形单元、矩形单元或四边形单元；v三维单
4、元可以是四面体、五面体、长方体或一般的六三维单元可以是四面体、五面体、长方体或一般的六面体。面体。v具有轴对称几何形状和轴对称物理性质的三维域能用具有轴对称几何形状和轴对称物理性质的三维域能用二维单元绕对称轴旋转形成的三维环单元进行离散。二维单元绕对称轴旋转形成的三维环单元进行离散。真实的二次曲线真实的二次曲线.节点节点单元单元 二次曲线的线性近似二次曲线的线性近似 (不理想结果不理想结果).节点节点单元单元二次近似二次近似(接近于真实的二次近似拟合接近于真实的二次近似拟合)(最理想结果最理想结果).当选择了某种单元类型时，即确定地选择并接受该种单元类型所假定的单元形函数当选择了某种单元类型时
5、，即确定地选择并接受该种单元类型所假定的单元形函数单元形函数是一种数学函数，提供一种描述单元内部单元形函数是一种数学函数，提供一种描述单元内部结果的结果的“形状形状”，规定了从节点规定了从节点DOFDOF值到单元内所有点值到单元内所有点处处DOFDOF值的计算方法。值的计算方法。v形状的选择与结构构形有关。三角形适合于不规则形状的选择与结构构形有关。三角形适合于不规则的形状，而四边形则比较适合于规则形状。的形状，而四边形则比较适合于规则形状。v单元阶次的选择与求解域内应力变化的特点有关，单元阶次的选择与求解域内应力变化的特点有关，应力梯度大的区域，单元阶次应较高，否则即使网应力梯度大的区域，单
6、元阶次应较高，否则即使网格密度很密也很难达到理想的结果。格密度很密也很难达到理想的结果。1.2网格的划分1.网格疏密的合理布置网格疏密的合理布置v在结构内的应力集中区域或应力梯度高的区域应在结构内的应力集中区域或应力梯度高的区域应布布置较密的网格置较密的网格，在应力变化平稳的区域可布置较稀，在应力变化平稳的区域可布置较稀疏的网格。这样可以同时满足精度和效率的要求。疏的网格。这样可以同时满足精度和效率的要求。一般情况下，为了使结果达到必要的精度，可以采一般情况下，为了使结果达到必要的精度，可以采取以下一些措施：取以下一些措施：v1）对于应力变化激烈的区域局部加密网格进行重对于应力变化激烈的区域局
7、部加密网格进行重分析。分析。这可以在原网格中进行，也可以将高应力区这可以在原网格中进行，也可以将高应力区截取出来进行网格加密，并将前一次全结构分析的截取出来进行网格加密，并将前一次全结构分析的结果作为结果作为边界条件边界条件施加在局部加密的网格边界上进施加在局部加密的网格边界上进行重分析。后一种方法称为总体行重分析。后一种方法称为总体局部分析方法。局部分析方法。v2）采用自适应分析方法。）采用自适应分析方法。即对前一次分析的即对前一次分析的结果作出误差估计，如果误差超过规定，再结果作出误差估计，如果误差超过规定，再由程序自动加密网格，或者提高单元阶次后由程序自动加密网格，或者提高单元阶次后进行
8、重分析，直至满足精度要求为止。进行重分析，直至满足精度要求为止。2 2、疏密网格的过渡、疏密网格的过渡 在一个实际问题的有限元分析中，不同区域采用疏在一个实际问题的有限元分析中，不同区域采用疏密不同的网格经常是必要的。以二维问题的不同疏密密不同的网格经常是必要的。以二维问题的不同疏密划分的四边形网格为例，通常有以下三种方案。划分的四边形网格为例，通常有以下三种方案。v1）采用形状不规则的单元，此方案的不足是可能单元）采用形状不规则的单元，此方案的不足是可能单元形状不好而影响局部的精度；形状不好而影响局部的精度；v2）采用三角形单元过渡，其不足是可能因引入不同形）采用三角形单元过渡，其不足是可能
9、因引入不同形式的单元而带来不便；式的单元而带来不便；v3）采用多节点约束方法过渡。）采用多节点约束方法过渡。第二节 单元划分原则2.12.1梁、杆单元划分的原则梁、杆单元划分的原则 v两个节点之间的杆构成一个单元，节点可按以下原则划两个节点之间的杆构成一个单元，节点可按以下原则划分：分：1 1）杆件的交点一定要选为节点）杆件的交点一定要选为节点(梯子）；梯子）；2 2）阶梯形杆截面变化处一定取为节点（阶梯轴）；）阶梯形杆截面变化处一定取为节点（阶梯轴）；3 3）支撑点与自由端要选为节点（悬臂梁）；）支撑点与自由端要选为节点（悬臂梁）；4 4）集中载荷作用处最好选为节点；）集中载荷作用处最好选为
10、节点；5 5）欲求位移的点要选为节点；）欲求位移的点要选为节点；6 6）单元长度最好基本相同。）单元长度最好基本相同。2.2平面单元划分原则1.1.单元形状：单元形状：常用单元形状有三角形单元、矩形单元和等参数单元。常用单元形状有三角形单元、矩形单元和等参数单元。他们的特点是单元的节点数越多，其计算精度越高，他们的特点是单元的节点数越多，其计算精度越高，三角形三角形单元与等参数单元可适应任意边界。单元与等参数单元可适应任意边界。2.2.划分原则：划分原则：1 1）划分单元的个数，视计算机要求的精度和计算机容量而定，）划分单元的个数，视计算机要求的精度和计算机容量而定，单元分得越多，块越小其精度
11、越高，但需要的计算机容量越单元分得越多，块越小其精度越高，但需要的计算机容量越大，因此，须根据实际情况而定。大，因此，须根据实际情况而定。2 2）划分单元的大小，可根据部位不同有所不同，）划分单元的大小，可根据部位不同有所不同，在位移或应力变化大的部位取得单元要小；在在位移或应力变化大的部位取得单元要小；在位移或应力变化小的部位取得单元要大，在边位移或应力变化小的部位取得单元要大，在边界比较平滑的部位，单元可大。界比较平滑的部位，单元可大。3 3）划分单元的形状，一般均可取成三角形或等）划分单元的形状，一般均可取成三角形或等参元。对于平直边界可取成矩形单元，有时也参元。对于平直边界可取成矩形单
12、元，有时也可以将不同单元混合使用，可以将不同单元混合使用，但要注意，必须节但要注意，必须节点与节点相连，切莫将节点与单元的边相连。点与节点相连，切莫将节点与单元的边相连。4 4）单元各边的长不要相差太大，否则将影响）单元各边的长不要相差太大，否则将影响求解精度。求解精度。5 5）尽量把集中力或集中力偶的作用点选为节）尽量把集中力或集中力偶的作用点选为节点。点。6 6）尽量利用对称性，以减少计算量（有限元）尽量利用对称性，以减少计算量（有限元法的最大优点在于使用了矩阵的方法）。法的最大优点在于使用了矩阵的方法）。第三节 有限元分析过程及位移解的下限性质3.13.1有限元法分析过程有限元法分析过程
13、v有限元法分析过程大体可分为：前处理、分析、后有限元法分析过程大体可分为：前处理、分析、后处理三大步骤。处理三大步骤。v对实际的连续体经过离散化后就建立了有限元分析对实际的连续体经过离散化后就建立了有限元分析模型，这一过程是有限元的模型，这一过程是有限元的前处理过程前处理过程。在这一阶。在这一阶段，主要包括段，主要包括构造计算对象的几何模型、划分有限构造计算对象的几何模型、划分有限元网格、生成有限元分析的输入数据元网格、生成有限元分析的输入数据，这一步是有，这一步是有限元分析的关键。限元分析的关键。v分析过程分析过程主要包括：单元分析、整体分析、载主要包括：单元分析、整体分析、载荷移置、引入约
14、束、求解约束方程等过程。这荷移置、引入约束、求解约束方程等过程。这一过程是有限元分析的核心部分，有限元理论一过程是有限元分析的核心部分，有限元理论主要体现在这一过程中。主要体现在这一过程中。v有限元法包括三类：有限元法包括三类：有限元位移法、有限元位移法、有限元力有限元力法、有限元混合法。在有限元位移法中，选节法、有限元混合法。在有限元位移法中，选节点位移作为基本未知量；在有限元力法中，选点位移作为基本未知量；在有限元力法中，选节点力作为未知量；在有限元混合法中，选一节点力作为未知量；在有限元混合法中，选一部分基本未知量为节点位移，另一部分基本未部分基本未知量为节点位移，另一部分基本未知量为节
15、点力。知量为节点力。v有限元位移法计算过程的系统性、规律性强，特有限元位移法计算过程的系统性、规律性强，特别适宜于编程求解。一般除板壳问题的有限元应别适宜于编程求解。一般除板壳问题的有限元应用一定量的混合法外，用一定量的混合法外，其余全部采用有限元位移其余全部采用有限元位移法。法。因此，一般不做特别声明，有限元法指的是因此，一般不做特别声明，有限元法指的是有限元位移法。有限元位移法。v有限元分析的后处理有限元分析的后处理主要包括对主要包括对计算结果的加工计算结果的加工处理、编辑组织和图形表示处理、编辑组织和图形表示三个方面。它可以把三个方面。它可以把有限元分析得到的数据，进一步转换为设计人员有
16、限元分析得到的数据，进一步转换为设计人员直接需要的信息，如应力分布状态、结构变形状直接需要的信息，如应力分布状态、结构变形状态等，并且绘成直观的图形，从而帮助设计人员态等，并且绘成直观的图形，从而帮助设计人员迅速的评价和校核设计方案。迅速的评价和校核设计方案。3.2选择位移函数的一般原则v有限元的分析过程都依赖于假定的单元位移函数或有限元的分析过程都依赖于假定的单元位移函数或位移模式。因此，为了得到满意的解答，必须是假位移模式。因此，为了得到满意的解答，必须是假定的位移场尽可能逼近弹性体的真实位移形态。定的位移场尽可能逼近弹性体的真实位移形态。v如果假定的单元位移场与弹性体的真实位移场完全如果
17、假定的单元位移场与弹性体的真实位移场完全一致，有限元解便是精确解。如桁架和刚架的单元一致，有限元解便是精确解。如桁架和刚架的单元位移场与弹性杆件的变形是一样的，因而位移场与弹性杆件的变形是一样的，因而桁架和刚桁架和刚架的有限元解是精确的。而在连续体弹性力学有限架的有限元解是精确的。而在连续体弹性力学有限元法中，一般找不到真实位移场，所以只能得到近元法中，一般找不到真实位移场，所以只能得到近似似解。v单元的位移函数一般采用以包含若干待定参数单元的位移函数一般采用以包含若干待定参数的多项式作为近似函数，称为位移多项式。有的多项式作为近似函数，称为位移多项式。有限项多项式选取的原则应考虑以下几点：限
18、项多项式选取的原则应考虑以下几点：v1 1）待定参数是由节点场变量确定的，因此待）待定参数是由节点场变量确定的，因此待定参数的个数应与单元的自由度数相同。定参数的个数应与单元的自由度数相同。v2 2）对于应变由位移的一阶导数确定问题，选取多项式时，对于应变由位移的一阶导数确定问题，选取多项式时，常数项和坐标的一次项必须完备。常数项和坐标的一次项必须完备。位移函数中常数项和坐标位移函数中常数项和坐标的一次项分别反映了单元刚体位移和常应变的特性，但划分的一次项分别反映了单元刚体位移和常应变的特性，但划分的单元趋近于无穷时，单元趋于无穷小，此时单元应变趋于的单元趋近于无穷时，单元趋于无穷小，此时单元
19、应变趋于常应变。而当节点位移是常应变。而当节点位移是由某个刚体位移由某个刚体位移引起时，弹性体内引起时，弹性体内不应该有应变，这些特性必须在选择的位移多项式中予以体不应该有应变，这些特性必须在选择的位移多项式中予以体现。同理，现。同理，对于应变由位移的二阶导数定义的场问题，常数对于应变由位移的二阶导数定义的场问题，常数项、一次项和二次项必须完备。项、一次项和二次项必须完备。v3 3）多项式的选取应由低阶到高阶，尽量）多项式的选取应由低阶到高阶，尽量选取完整性阶数高的多项式以提高单元选取完整性阶数高的多项式以提高单元精度（称为单元的完备性）。精度（称为单元的完备性）。v不同节点、不同形状的单元的
20、表达式不不同节点、不同形状的单元的表达式不同，后续将介绍。同，后续将介绍。3.3 收敛性v有限元法是一种数值分析方法，因此应考虑收敛性问题。v有限元法的收敛性是指：当网格逐渐加密时，有限元解答的序列收敛到精确解；或者当单元尺寸固定时，每个单元的自由度数越多，有限元的解答就越趋近于精确解。v有限元的收敛条件有限元的收敛条件包括如下四个方面：包括如下四个方面：1 1）单元内，）单元内，位移函数必须连续位移函数必须连续。多项式是单值。多项式是单值连续函数，因此选择多项式作为位移函数，在连续函数，因此选择多项式作为位移函数，在单元内的连续性能够保证。单元内的连续性能够保证。（等效积分的弱形（等效积分的
21、弱形式的体现）式的体现）v2 2）在单元内，）在单元内，位移函数必须包括常应变项位移函数必须包括常应变项。每个。每个单元的应变状态总可以分解为不依赖于单元内各点单元的应变状态总可以分解为不依赖于单元内各点位置的位置的常应变常应变和由各点位置决定的和由各点位置决定的变量应变变量应变。当单。当单元的尺寸足够小时，单元中各点的应变趋于相等，元的尺寸足够小时，单元中各点的应变趋于相等，单元的变形比较均匀，因而常应变就成为应变的主单元的变形比较均匀，因而常应变就成为应变的主要部分。为反映单元的应变状态，单元位移函数必要部分。为反映单元的应变状态，单元位移函数必须包括常应变项。须包括常应变项。v3 3）在
22、单元内，位移函数必须包括刚体位移项。在单元内，位移函数必须包括刚体位移项。一般情况下，一般情况下，单元内任一点的位移包括形变位移和刚体位移两部分。形变单元内任一点的位移包括形变位移和刚体位移两部分。形变位移与物体形状及体积的改变相联系，因而产生应变；刚体位移与物体形状及体积的改变相联系，因而产生应变；刚体位移只改变物体的位置，不改变物体的形状和体积，即刚体位移只改变物体的位置，不改变物体的形状和体积，即刚体位移是不产生变形的位移。空间一个物体包括三个平动位移位移是不产生变形的位移。空间一个物体包括三个平动位移和三个转动位移，共有六个刚体位移分量。和三个转动位移，共有六个刚体位移分量。v由于一个
23、单元牵连在另一些单元上，其他单元发生变形时必将带动单元做刚体位移，由此可见，为模拟一个单元的真实位移，假定的单元位移函数必须包括刚体位移项。v4 4）位移函数在相邻的公共边界上必须协调。位移函数在相邻的公共边界上必须协调。对一般单元而对一般单元而言，协调性是指相邻单元在公共节点处也有相同的位移，也言，协调性是指相邻单元在公共节点处也有相同的位移，也就是说，要就是说，要保证不发生单元的相互脱离开裂和相互侵入重叠。保证不发生单元的相互脱离开裂和相互侵入重叠。要做到这一点，就要求函数在公共边界上能由公共节点的函要做到这一点，就要求函数在公共边界上能由公共节点的函数值唯一确定。对一般单元，协调性保证了
24、相邻单元边界位数值唯一确定。对一般单元，协调性保证了相邻单元边界位移的连续性。移的连续性。v但是，在板壳的相邻单元之间，还要求位移的一阶导数连续，但是，在板壳的相邻单元之间，还要求位移的一阶导数连续，只有这样，才能保证结构的应变能是有界量。只有这样，才能保证结构的应变能是有界量。v总的说来，协调性是指在相邻单元的公共边界上满足连续性总的说来，协调性是指在相邻单元的公共边界上满足连续性条件。条件。v前三条又叫完备性条件，满足完备条件的单元叫完备单元；前三条又叫完备性条件，满足完备条件的单元叫完备单元；第四条是协调性要求，满足协调性的单元叫协调单元；否则第四条是协调性要求，满足协调性的单元叫协调单
25、元；否则称为非协调单元。完备性要求是收敛的必要条件，四条全部称为非协调单元。完备性要求是收敛的必要条件，四条全部满足，构成收敛的充分必要条件。满足，构成收敛的充分必要条件。3.4有限元位移解的下限性质v在用有限元位移法求解弹性力学问题时在用有限元位移法求解弹性力学问题时,要应用最要应用最小位能原理。根据最小位能原理求得的位移近似解，小位能原理。根据最小位能原理求得的位移近似解，其值将小于精确解。这种位移近似解称为下限解。其值将小于精确解。这种位移近似解称为下限解。v位移解的下限性质可以解释为：单元原是连续体的一部分，位移解的下限性质可以解释为：单元原是连续体的一部分，具有无限多个自由度。在假定
26、了单元的位移函数后，自由度具有无限多个自由度。在假定了单元的位移函数后，自由度限制为只有以节点位移表示的有限自由度，即位移函数对单限制为只有以节点位移表示的有限自由度，即位移函数对单元的变形进行了元的变形进行了约束的限制约束的限制，使单元的刚度较实际连续体加，使单元的刚度较实际连续体加大了，因此连续体的整体刚度随之增加，离散后的刚度比实大了，因此连续体的整体刚度随之增加，离散后的刚度比实际刚度大，求得的位移近似解总体上（而不是每一点）将小际刚度大，求得的位移近似解总体上（而不是每一点）将小于精确解。于精确解。第四节 应力计算结果的性质和处理v应用位移元进行有限元分析时，未知的场函数是位移。利用
27、应用位移元进行有限元分析时，未知的场函数是位移。利用系统的总位能系统的总位能pp（表示各单元（表示各单元e e之和）的变分得到的求解之和）的变分得到的求解方程是系统的平衡方程。虽然它满足各个节点的平衡条件以方程是系统的平衡方程。虽然它满足各个节点的平衡条件以及各个单元和整个结构的总体平衡条件，但是从求解方程解及各个单元和整个结构的总体平衡条件，但是从求解方程解得的则是各个节点的位移值。而得的则是各个节点的位移值。而实际工程问题所需要的往往实际工程问题所需要的往往是应力的分布，特别是最大应力的位置和数值。是应力的分布，特别是最大应力的位置和数值。为此需要利为此需要利用以下公式由已解得的节点位移算
28、出单元内的应力。用以下公式由已解得的节点位移算出单元内的应力。v =Ba=Bae e =D=D Ba =D=D Bae e va ae e为节点位移矩阵为节点位移矩阵v应变矩阵应变矩阵B B是插值函数是插值函数N N对坐标进行求导后得到的矩阵。求导对坐标进行求导后得到的矩阵。求导一次，插值多项式的次数就降低一次。所以通过导数运算得一次，插值多项式的次数就降低一次。所以通过导数运算得到的应变到的应变和应力和应力精度较位移精度较位移u u降低了，即利用以上两式降低了，即利用以上两式得到的得到的和和的解答可能具有较大的误差。的解答可能具有较大的误差。应力解的近似性表现在：应力解的近似性表现在：v1
29、1）单元内部一般不满足平衡方程；）单元内部一般不满足平衡方程；v2 2）单元与单元的交界面上应力一般不连续；）单元与单元的交界面上应力一般不连续；v3 3）在力的边界上一般也不满足力的边界条件。）在力的边界上一般也不满足力的边界条件。v这是因为平衡方程式和力的边界条件以及单元交界面上内力的连续条件是泛函p的欧拉方程，只有在位移变分完全任意的情况下，欧拉方程才能精确的满足。v在有限元方法中，只有当单元尺寸趋于零时，即自由度数趋于无穷大时，才能精确的满足平衡方程和力的边界条件以及单元交界面上力的连续条件。v当单元尺寸限制时，即自由度数为有限时，这些方程只能是近似的满足。除非实际应力变化的阶次等于或
30、低于所采用单元的应力阶次，得到的只能是近似的解答。因此，如何从有限元的位移解得到较好的应力解，就成为需要研究和解决的问题。4.1应力近似解的性质v我们已知最小位能原理求得的位移解具有下限性质。由于我们已知最小位能原理求得的位移解具有下限性质。由于近近似解的总位能一般总是大于精确解的总位能，而近似解的应似解的总位能一般总是大于精确解的总位能，而近似解的应变能一般地总是小于精确解的应变能。变能一般地总是小于精确解的应变能。因此，得到的位移解因此，得到的位移解总体上偏小。总体上偏小。v分析得出，应变解或应力解的重要特点是：应变近似解和应分析得出，应变解或应力解的重要特点是：应变近似解和应力近似解必然
31、在精确解上下振荡，并在某些点上，近似解正力近似解必然在精确解上下振荡，并在某些点上，近似解正好是精确解，亦即在单元内存在最佳应力点。应力解的这个好是精确解，亦即在单元内存在最佳应力点。应力解的这个特点将有助于处理应力计算的结果，改善应力解的精度。特点将有助于处理应力计算的结果，改善应力解的精度。4.2单元平均或节点平均v最简单的处理应力结果的方法是取相邻单元或围绕节点各单最简单的处理应力结果的方法是取相邻单元或围绕节点各单元应力的平均值。元应力的平均值。v1.1.取相邻单元应力的平均值取相邻单元应力的平均值v这种方法最常用于这种方法最常用于3 3节点三角形单元中。这种最简单而又相节点三角形单元
32、中。这种最简单而又相当实用的单元得到的应力解在单元内是常数。可以将其看作当实用的单元得到的应力解在单元内是常数。可以将其看作是单元内应力的平均值，或是单元形心处的应力。由于应力是单元内应力的平均值，或是单元形心处的应力。由于应力近似解总是在精确解上下振荡，可以取相邻单元应力的平均近似解总是在精确解上下振荡，可以取相邻单元应力的平均值作为此两个单元合成的较大四边形单元形心处的应力。值作为此两个单元合成的较大四边形单元形心处的应力。v如如2 2单元的情况下，取平均应力可以采用算术平均，单元的情况下，取平均应力可以采用算术平均，v即平均应力即平均应力=（单元（单元1 1的应力的应力+单元单元2 2的
33、应力）的应力）/2/2。v也可以采用精确一些的面积加权平均，也可以采用精确一些的面积加权平均，v即平均应力即平均应力=单元单元1 1应力应力 单元单元1 1的面积的面积+单元单元2 2应力应力 单元单元2 2面积面积/（单元（单元1 1面积面积+单元单元2 2面积）面积）v当相邻两单元面积相差不大时，两者的结果基本相同。在单当相邻两单元面积相差不大时，两者的结果基本相同。在单元划分时应避免相邻两单元的面积相差太多，从而使求解的元划分时应避免相邻两单元的面积相差太多，从而使求解的误差相近。误差相近。v一般而言，一般而言，3 3节点三角形单元的最佳应力点是单元的中心节点三角形单元的最佳应力点是单元的中心点，此点的应力具有点，此点的应力具有1 1阶的精度。阶的精度。2.2.取围绕节点各单元应力的平均值取围绕节点各单元应力的平均值v首先计算围绕该节点（首先计算围绕该节点（i i）周围的相关单元在该节点处的）周围的相关单元在该节点处的应力值应力值 ，然后以它们的平均值作为该节点的最后应，然后以它们的平均值作为该节点的最后应力值力值 ，即，即v其中，其中，1-m1-m是围绕在是围绕在i i节点周围的全部单元。取平均值时也节点周围的全部单元。取平均值时也可进行面积加权。可进行面积加权。meeiim11eii
