1、最新初中数学锐角三角函数的经典测试题附答案一、选择题1如图，ABC的外接圆是O，半径AO=5，sinB=，则线段AC的长为（ ）A1B2C4D5【答案】C【解析】【分析】首先连接CO并延长交O于点D，连接AD，由CD是O的直径，可得CAD=90，又由O的半径是5，sinB=，即可求得答案【详解】解：连接CO并延长交O于点D，连接AD，由CD是O的直径，可得CAD=90，B和D所对的弧都为弧AC，B=D，即sinB=sinD=，半径AO=5，CD=10，AC=4，故选：C.【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，以及三角函数的内容，注意到直径所对的圆周角是直角是解题的关键.2如图，是的弦，直径交
2、于点，若，则的长为( )AB4C6D【答案】D【解析】【分析】连接证明是等边三角形即可解决问题【详解】如图，连接，是等边三角形，故选D【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型3如图，某地修建高速公路，要从地向地修一条隧道（点，在同一水平面上）为了测量，两地之间的距离，一架直升飞机从地起飞，垂直上升1000米到达处，在处观察地的俯角为，则两地之间的距离约为（ ）A米B米C米D米【答案】C【解析】【分析】在RtABC中，CAB=90，B=，AC=1000米，根据，即可解决问题【详解】解：在中，米，米故选：C【点睛】本题考查解
3、直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型4如图，在中，垂足为，的平分线交于点，则的长为（ ）ABCD【答案】C【解析】【分析】在RtADC中，利用等腰直角三角形的性质可求出AD的长度，在RtADB中，由AD的长度及ABD的度数可求出BD的长度，在RtEBD中，由BD的长度及EBD的度数可求出DE的长度，再利用AE=ADDE即可求出AE的长度【详解】ADBCADC=ADB=在RtADC中，AC=4，C=AD=CD=在RtADB中，AD=，ABD=BD=AD=BE平分ABC，EBD=在RtEBD中，BD=，EBD=DE=BD=AE=ADDE=-=故选：C【点睛
4、】本题考查了等腰直角三角形的性质，以及利用特殊角三角函数解直角三角形5一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆，根据图中所示数据，可求这个物体的表面积为（）ABCD【答案】C【解析】【分析】由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为的正三角形可计算边长为2，据此即可得出表面积【详解】解：由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为的正三角形正三角形的边长圆锥的底面圆半径是1，母线长是2，底面周长为侧面积为，底面积为，全面积是故选：C【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是
5、扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长6如图，矩形纸片，点在边上，将沿折叠，点落在点处，、分别交于点、，且，则的值为（ ）ABCD【答案】C【解析】【分析】根据折叠的性质可得出DC=DE、CP=EP，由EOF=BOP、B=E、OP=OF可得出OEFAOBP(AAS)根据全等三角形的性质可得出0E=OB、EF=BP，设EF=x，则BP=x、DF=4-x、BF=PC=3-x，进而可得出AF=1+x，在RtDAF中，利用勾股定理可求出x的值，再利用余弦的定义即可求出cosADF的值【详解】解：矩形纸片，点在边上，将沿折叠，点落在点处，根据折叠性质，可得：DCPDEP，.DC=DE=4，CP=EP，
6、在OEF和OBP中OEFOBP(AAS)E=OB，EF=.设EF=x,则BP=x，DF=DE-EF=4-X，又BF=OB+OF=OE+OP=PE=PC,=C-BP=3-x,AF=AB-BF=1+x.在RtDAF中，AF2+AD2=DF2，即(1+x)2+32=(4-x)2解得:x=DF=4-x=cosADF=故选:C.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理结合AF=1+x，求出AF的长度是解题的关键7为了方便行人推车过某天桥,市政府在10m高的天桥一侧修建了40m长的斜道(如图所示),我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数,具体按键顺序是( )A
7、BCD【答案】A【解析】【分析】先利用正弦的定义得到sinA=0.25，然后利用计算器求锐角A【详解】解：因为AC40，BC10，sinA，所以sinA0.25.所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为故选：A点睛：本题考查了计算器-三角函数：正确使用计算器，一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键8如图，在矩形中是的中点，平分交于点，连接，以下四个结论：平分；其中结论正确的个数是（ ）A4个B3个C2个D1个【答案】A【解析】【分析】根据矩形的性质结合全等三角形的判定与性质得出ADEBCE（SAS），进而求出ABE是等边三角形，再求出AEPABP（S
8、SS），进而得出EAPPAB30，再分别得出AD与AB，PB与PC的数量关系即可【详解】解：在矩形ABCD中，点E是CD的中点，DECE，又ADBC，DC，ADEBCE（SAS），AEBE，DEACEB，EA平分BED，AEDAEB，AEDAEBCEB60，故：EB平分AEC，正确；ABE是等边三角形，DAEEBC30，AEAB，PEAE，DEACEP90，则CEP30，故PEBEBP30，则EPBP，又AEAB，APAP，AEPABP（SSS），EAPPAB30，APBE，故正确；DAE30，tanDAEtan30，ADDE，即，ABCD，正确；CEP30，CPEP，EPBP，CPBP，PB
9、2PC正确综上所述：正确的共有4个故选：A【点睛】此题主要考查了四边形综合，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形性质以及三角函数等知识，证明ABE是等边三角形是解题关键9如图，4个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，己知菱形的一个内角为60，、都是格点，则（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】直接利用菱形的对角线平分每组对角，结合锐角三角函数关系得出EF,的长，进而利用 得出答案【详解】解:连接DC，交AB于点E由题意可得:AFC=30, DCAF,设EC=x,则EF=, ,故选:A【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及解直角三角形，正确得出
10、EF的长是解题关键10如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，PCA=35，则小河宽PA等于（）A100sin35米B100sin55米C100tan35米D100tan55米【答案】C【解析】【分析】根据正切函数可求小河宽PA的长度【详解】PAPB，PC=100米，PCA=35，小河宽PA=PCtanPCA=100tan35米故选：C【点睛】此题考查解直角三角形的应用，解题关键在于掌握解直角三角形的一般过程是：将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边
11、角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案11如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是，堤高BC=10m，则坡面AB的长度是（ ）A15mBC20mD【答案】C【解析】【分析】【详解】解:RtABC中，BC=10m，tanA=，AC=mAB=m故选C【点睛】本题考查解直角三角形的应用（坡度坡角问题）,锐角三角函数,特殊角的三角函数值及勾股定理,熟练掌握相关知识点正确计算是本题的解题关键12如图所示，中， ，顶点分别在反比例函数与的图象器上，则的值为（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】过A作ACx轴，过B作BDx轴于D，于是得到BDO=ACO=90，根据反比例函数的性质得到
12、SBDO=，SAOC=，根据相似三角形的性质得到=，根据三角函数的定义即可得到结论【详解】解：过A作ACx轴，过B作BDx轴于D，则BDO=ACO=90，顶点A，B分别在反比例函数与的图象上，SBDO=，SAOC=，AOB=90，BOD+DBO=BOD+AOC=90，DBO=AOC，BDOOCA，tanBAO=.故选B.【点睛】本题考查了反比例函数的性质以及直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质解题时注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法13如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图：分别以点C和点D为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点M，N；作直线MN，且恰好经过点A，与CD交于点E，
13、连接BE，则下列说法错误的是（ ）ABC若AB=4，则D【答案】C【解析】【分析】由作法得AE垂直平分CD，则AED=90，CE=DE，于是可判断DAE=30，D=60，从而得到ABC=60；利用AB=2DE得到SABE=2SADE；作EHBC于H，如图，若AB=4，则可计算出CH=CE=1，EH=CH=，利用勾股定理可计算出BE=2 ；利用正弦的定义得sinCBE=【详解】解：由作法得AE垂直平分CD，AED=90，CE=DE，四边形ABCD为菱形，AD=2DE，DAE=30，D=60，ABC=60，所以A选项的说法正确；AB=2DE，SABE=2SADE，所以B选项的说法正确；作EHBC于
14、H，如图，若AB=4，在RtECH中，ECH=60，CH=CE=1，EH=CH=，在RtBEH中，BE=，所以C选项的说法错误；sinCBE=，所以D选项的说法正确故选C【点睛】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）也考查了菱形的性质和解直角三角形14将一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长上，ABCF，FACB90，E30，A45，AC12，则CD的长为（）A4B124C126D6【答案】B【解析】【分析】过点B作BMFD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在EFD中可求出ED
15、F60，进而可得出答案【详解】解：过点B作BMFD于点M，在ACB中，ACB90，A45，AC12，BCAC12ABCF，BMBCsin45CMBM12，在EFD中，F90，E30，EDF60，MDBMtan60，CDCMMD12故选B【点睛】本题考查了解直角三角形，难度较大，解答此类题目的关键根据题意建立直角三角形利用所学的三角函数的关系进行解答15如图，有一个边长为的正六边形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大圆形纸片，则这个圆形纸片的半径是（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】根据题意画出图形，再根据正多边形圆心角的求法求出AOB的度数，最后根据等腰三角形及直角三角形的性质解答即可【详解
16、】解：如图所示，正六边形的边长为2cm，OGBC，六边形ABCDEF是正六边形，BOC=3606=60，OB=OC，OGBC，BOG=COG=BOC =30，OGBC，OB=OC，BC=2cm，BG=BC=2=1cm，OB=2cm，OG=，圆形纸片的半径为cm，故选：A【点睛】本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，利用直角三角形的性质及正六边形的性质解答是解答此题的关键16如图，已知A1B1C1的顶点C1与平面直角坐标系的原点O重合，顶点A1、B1分别位于x轴与y轴上，且C1A11，C1A1B160，将A1B1C1沿着x轴做翻转运动，依次可得到A2B2C2，A3B3C3等等，则C2019
17、的坐标为（）A（2018+672，0）B（2019+673，0）C（+672，）D（2020+674，0）【答案】B【解析】【分析】根据题意可知三角形在轴上的位置每三次为一个循环，又因为，那么相当于第一个循环体的即可算出.【详解】由题意知，则，结合图形可知，三角形在轴上的位置每三次为一个循环， ，故选.【点睛】考查解直角三角形，平面直角坐标系中点的特征，结合找规律.理解题目中每三次是一个循环是解题关键.17如图 ，矩形 ABCD 中，ABAD，AB=a，AN 平分DAB，DMAN 于点 M，CNAN于点 N.则 DM+CN 的值为（用含 a 的代数式表示）( )AaB aCD【答案】C【解析】
18、【分析】根据“AN平分DAB，DMAN于点M，CNAN于点N”得MDC=NCD=45，cos45= ，所以DM+CN=CDcos45；再根据矩形ABCD，AB=CD=a，DM+CN的值即可求出【详解】AN平分DAB，DMAN于点M，CNAN于点N，ADM=MDC=NCD=45，=CD，在矩形ABCD中，AB=CD=a，DM+CN=acos45=a.故选C.【点睛】此题考查矩形的性质，解直角三角形，解题关键在于得到cos45=18如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在AB、BC上，且AE=BF=1，CE、DF交于点O，下列结论：DOC=90，OC=OE，CE=DF，tanOCD=，SDO
19、C=S四边形EOFB中，正确的有（）A1个B2个C3个D4个【答案】D【解析】分析：由正方形ABCD的边长为4，AE=BF=1，利用SAS易证得EBCFCD，然后全等三角形的对应角相等，易证得DOC=90正确，CE=DF正确；由线段垂直平分线的性质与正方形的性质，可得错误；易证得OCD=DFC，即可求得正确；由易证得正确详解：正方形ABCD的边长为4，BC=CD=4，B=DCF=90 AE=BF=1，BE=CF=41=3在EBC和FCD中，EBCFCD（SAS），CFD=BEC，CE=DF，故正确，BCE+BEC=BCE+CFD=90，DOC=90；故正确； 连接DE，如图所示，若OC=OE
20、DFEC，CD=DE CD=ADDE（矛盾），故错误； OCD+CDF=90，CDF+DFC=90，OCD=DFC，tanOCD=tanDFC=，故正确； EBCFCD，SEBC=SFCD，SEBCSFOC=SFCDSFOC，即SODC=S四边形BEOF故正确； 故正确的有： 故选D 点睛：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识此题综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用19如图，在RtABC内有边长分别为a，b，c的三个正方形则a、b、c满足的关系式是（ ）Ab=a+cBb=acCb2=a2+c2Db=2a=2c【答案】A【解析】
21、【分析】利用解直角三角形知识.在边长为a和b两正方形上方的两直角三角形中由正切可得，化简得bac，故选A.【详解】请在此输入详解！20如图，在矩形ABCD中，AB2，BC10，E、F分别在边BC，AD上，BEDF将ABE，CDF分别沿着AE，CF翻折后得到AGE，CHF若AG、CH分别平分EAD、FCB，则GH长为（ ）A3B4C5D7【答案】B【解析】【分析】如图作GMAD于M交BC于N，作HTBC于T通过解直角三角形求出AM、GM的长，同理可得HT、CT的长，再通过证四边形ABNM为矩形得MNAB2，BNAM3，最后证四边形GHTN为平行四边形可得GHTN即可解决问题【详解】解：如图作GMAD于M交BC于N，作HTBC于TABE沿着AE翻折后得到AGE，GAMBAE，ABAG2，AG分别平分EAD，BAEEAG，BAD90，GAMBAEEAG30，GMAD，AMG90，在RtAGM中，sinGAM，cosGAM，GMAGsin30，AMAGcos303，同理可得HT，CT3，AMGBBAD90，四边形ABNM为矩形，MNAB2，BNAM3，GNMNGM，GNHT，又GNHT，四边形GHTN是平行四边形，GHTNBCBNCT10334，故选：B【点睛】本题考查翻折变换，解直角三角形，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型
