1、小题专题练(四)立体几何一、选择题1设，是两个不同的平面，l是直线且l，则“”是“l”的()A充分而不必要条件B充要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件2在ABC中，AB2，BC1.5，ABC120(如图)，若将ABC绕直线BC旋转一周，则形成的旋转体的体积是()A.B.C.D.3如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB，AF1，点M在EF上且AM平面BDE，则M点的坐标为()A(1，1，1)B.C.D.4(2019贵阳模拟)设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下面四个命题：若，则；若，m，n，则mn；若m，n，则mn；若，m，n，则mn.其中正确命题的
2、序号是()ABCD5已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AB，AD1，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为()A.B.C.D.6三棱锥ABCD中，AB，BC，CD两两垂直，被称为“三节棍”由该棱锥所有相邻的两个面组成的二面角中，直二面角共有()A2个B3个C4个D5个7(2019郑州市第一次质量预测)已知直三棱柱ABCA1B1C1的底面为等腰直角三角形，ABAC，点M，N分别是边AB1，A1C上的动点，若直线MN平面BCC1B1，点Q为线段MN的中点，则点Q的轨迹为()A双曲线的一支(一部分) B圆弧(一部分)C线段(去掉一个端点) D抛物线的一部分8九章算术商功：“今有堑堵，下广
3、二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尽”，所谓“堑堵”，就是两底面为直角三角形的棱柱，如图所示的几何体是一个“堑堵”，AA1平面ABC，ABBC4，AA15，M是A1C1的中点，过点B，C，M的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，则该三棱台的表面积为()A40 B50C25153 D30209如图，已知三棱锥PABC的外接球的球心O在AB上，且PO平面ABC，AB2AC，若三棱锥PABC的体积为，则球O的表面积为()A9B.C16D.10(2019郑州市第二次质量预测)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADDD11，AB，E，F，G分别是棱AB，BC，CC1的中点，P是底面ABCD内
4、一动点，若直线D1P与平面EFG没有公共点，则PBB1面积的最小值为()A.B1C.D.11(多选)已知m，n是不重合的直线，是不重合的平面，则下列命题错误的是()A若m，n，则mnB若m，m，则C若n，mn，则m且mD若m，m，则12(多选)如图，AC2R为圆O的直径，PCA45，PA垂直于圆O所在的平面，B为圆周上不与点A，C重合的点，ASPC于S，ANPB于N，则下列选项正确的是()A平面ANS平面PBCB平面ANS平面PABC平面PAB平面PBCD平面ABC平面PAC13(多选)如图，正三棱柱ABCA1B1C1各棱的长度均相等，D为AA1的中点，M，N分别是线段BB1和线段CC1上的动
5、点(含端点)，且满足BMC1N，当M，N运动时，下列结论中正确的是()A在DMN内总存在与平面ABC平行的线段B平面DMN平面BCC1B1C三棱锥A1DMN的体积为定值DDMN可能为直角三角形二、填空题14(2019湖南省湘东六校联考)一个正四面体的侧面展开图如图所示，点G为BF的中点，则在该正四面体中，直线EG与直线BC所成角的余弦值为_15已知半径为1的球O中内接一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的体积与圆柱的体积的比值为_16一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长为2，如果任意转动该正方体容器，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围为_17(2019贵州
6、遵义第一次联考改编)已知三棱锥SABC中，SA平面ABC，且SA6，AB4，BC2，ABC30，则该三棱锥的体积为_，其外接球的表面积为_ 小题专题练(四)立体几何1解析：选A.由两平面平行的性质定理可知充分性满足，但必要性不满足2.解析：选D.依题意可知，旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，所以OA，OB1，所以旋转体的体积为()2(OCOB).3解析：选C.因为点M在EF上，设MEx，所以M，因为A(，0)，D(，0，0)，E(0，0，1)，B(0，0)，所以(，0，1)，(0，1)，.设平面BDE的法向量n(a，b，c)，由得abc.故可取平面BDE的一个法向量n(1，1，)因为n0，所以
7、x1，所以M.4解析：选D.对于，同垂直于一个平面的两个平面可能相交，命题错误；对于，在两个互相垂直的平面内的两条直线可能互相平行，可能相交，也可能异面，命题错误；对于，直线m与n可能异面，命题错误；对于，由面面平行的性质定理知命题正确故正确命题的序号是，选D.5解析：选A.如图，连接A1D，A1C1，由题易知B1CA1D，所以C1DA1是异面直线B1C与C1D所成的角，又AA1AB，AD1，所以A1D2，DC1，A1C12，由余弦定理，得cosC1DA1，故选A.6解析：选B.由AB平面BCD，且AB平面ABD，AB平面ABC，得平面ABD平面BCD，平面ABC平面BCD.又CD平面ABC，
8、CD平面ACD，故平面ACD平面ABC，所以ABDC，ABCD，DACB都是直二面角. 故选B.7.解析：选C.如图，分别取AA1，B1C的中点E，F，任意作一个与平面BCC1B1平行的平面与AB1，A1C分别交于M，N，则MN平面BCC1B1.由题意知ABC为等腰直角三角形，ABAC，则侧面AA1B1B与侧面AA1C1C是两个全等的矩形，且这两个侧面关于过棱AA1与平面BCC1B1垂直的平面是对称的，因此EF必过MN的中点Q，故点Q的轨迹为线段EF，但需去掉端点F，故选C.8解析：选C.如图所示，记A1B1的中点为N，连接MN，则MNBC，所以过点B，C，M的平面为平面BNMC，三棱台为A1
9、MNACB，所以其表面积S4422(42)5(42)5(42)25153.9解析：选A.由于三棱锥PABC的外接球的球心O在AB上，故AB为其外接球的一条直径，因此ACB90.设球O的半径为r，在RtABC中，AB2AC2r，ACr，BCr，所以SABCrrr2.由于P为球O上一点，故POr，又PO平面ABC，所以VPABCPOSABCrr2r3，解得r，所以球O的表面积为4r249，故选A.10解析：选C.记PBB1的面积为S.因为P在底面ABCD上，所以PBBB1，即PBB1为直角三角形，又BB1DD11，所以SBB1PBPB，当线段PB的长最小时，S取得最小值因为D1P与平面EFG无公共
10、点，所以D1P平面EFG.如图，连接AD1，D1C，AC，易证GFAD1，EFAC，又GFEFF，AD1ACA，所以平面AD1C平面EFG，所以D1P平面AD1C，所以点P一定在线段AC上运动如图，当PBAC时，线段PB的长最小，此时PB，故(SPBB1)min，选C.11解析：选ABC.若m，n，则m与n可能平行或异面，故A错误；若m，m，则与可能相交或平行，故B错误；若n，mn，则m可能在平面或内，故C错误；若m，m，根据垂直于同一直线的两个平面平行，故，故D正确12解析：选ACD.因为PA平面ABC，PA平面PAC，所以平面ABC平面PAC，故D正确；因为B为圆周上不与A，C重合的点，A
11、C为直径，所以BCAB，因为PA平面ABC，BC平面ABC，所以BCPA，又ABPAA，所以BC平面PAB，又BC平面PBC，所以平面PAB平面PBC，故C正确；因为ABBC，BCPA，又PAABA，所以BC平面PAB，所以BCAN，又因为ANPB，PBBCB，所以AN平面PBC，又AN平面ANS，所以平面ANS平面PBC，故A正确故选ACD.13解析：选ABC.用平行于平面ABC的平面截平面DMN，则交线平行于平面ABC，故A正确；当M，N分别在BB1，CC1上运动时，若满足BMC1N，则线段MN必过正方形BCC1B1的中心O，由DO平面BCC1B1可得平面DMN平面BCC1B1，故B正确；
12、当M，N分别在BB1，CC1上运动时，A1DM的面积不变，点N到平面A1DM的距离不变，所以三棱锥NA1DM的体积不变，即三棱锥A1DMN的体积为定值，故C正确；若DMN为直角三角形，则必是以MDN为直角的直角三角形，易证DMDN，所以DMN为等腰直角三角形，所以DOOMON，即MN2DO.设正三棱柱的棱长为2，则DO，MN2.因为MN的最大值为BC1，BC12，所以MN不可能为2，所以DMN不可能为直角三角形，故D错误故选ABC.14.解析：该正四面体如图所示，取AD的中点H，连接GH，EH，则GHAB，所以HGE为直线EG与直线BC所成的角设该正四面体的棱长为2，则HEEG，GH1.在HE
13、G中，由余弦定理，得cosHGE.答案：15.解析：如图所示，设圆柱的底面半径为r，则圆柱的侧面积为S2r24r42(当且仅当r21r2，即r时取等号)所以当r时，.答案：16解析：当液面的形状为三角形时，最大三角形即与正方体的一个顶点相邻的三个顶点构成的三角形，这四个顶点构成的三棱锥的体积为222，所以当液体体积小于或等于时不满足题意由对称性，当液体体积大于或等于23时亦不满足题意综上所述，液体体积的取值范围是.答案：17解析：三棱锥的体积V24sin 3064.取SB的中点O，连接OA，OC.因为SA平面ABC，AB平面ABC，所以SAAB，可得RtASB中，中线OASB.由AB4，BC2，ABC30，可知ACBC.又因为SABC，SA，AC是平面SAC内的相交直线，所以BC平面SAC，所以BCSC，所以RtBSC中，中线OCSB，所以O是三棱锥SABC的外接球的球心在RtSBA中，AB4，SA6，所以SB2，则外接球半径RSB.因此其外接球的表面积S4R241352.答案：452
