1、 第三十章第三十章 二次函数二次函数 一、选择题一、选择题 1.将 y=x 2向上平移 2 个单位后所得到的抛物线的解析式为（ ） A. y=x 22 B. y=x 2+2 C. y=（x2） 2 D. y=（x+2） 2 2.将二次函数 y=x 2的图象向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位后，所得图象的函数表 达式是（ ） A. y=（x-1） 2+2 B. y=（x+1） 2+2 C. y=（x-1） 2-2 D. y=（x+1） 2-2 3.如图，抛物线 y=ax 2+bx+c 与 x 轴交于点（-1，0） ，对称轴为 x=1，则下列结论中正确的是 （ ） A. a0 B. 当
2、x1 时，y 随 x 的增大而增大 C. c0 D. x=3 是一元二次方程 ax 2+bx+c=0 的一个根 4.将抛物线 y=x 24x3 向左平移 3 个单位，再向上平移 5 个单位，得到抛物线的表达式为 （ ） A. y=（x+1） 22 B. y=（x5） 22 C. y=（x5） 212 D. y=（x+1） 212 5.二次函数 y=ax 2+bx+c 与一次函数 y=ax+c，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6.若抛物线 y=ax 2+bx+c 与 x 轴的两个交点坐标是（1，0）和（3，0） ，则抛物线的对称轴 是（ ） A. x=1 B.
3、x= C. x= D. x=1 7.如图， 已知二次函数 y=ax2+bx+c （a0） 的图象如图所示， 给出以下四个结论： abc=0， a+b+c0，ab，4acb20； 其中正确的结论有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 8.如图，抛物线 yax 2bxc 交 x 轴于(-1，0)、(3，0)两点，则下列判断中，错误的是 （ ） A. 图象的对称轴是直线x 1 B. 当 x1 时，y 随 x 的增大而减小 C. 一元二次方程 ax 2bxc0 的两个根是1 和 3 D. 当1x3 时，y0 9.如图，已知抛物线 y=mx 26mx+5m 与 x 轴交于 A、
4、B 两点，以 AB 为直径的P 经过该抛物 线的顶点 C，直线 lx 轴，交该抛物线于 M、N 两点，交P 与 E、F 两点，若 EF=2， 则 MN 的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 10.抛物线 ya（x1） （x3） （a0）的对称轴是直线（ ） A. x1 B. x 1 C. x 3 D. x3 11.已知二次函数 y=a（x1） 2+b 有最小值1，则 a，b 的大小关系为（ ） A. ab B. a=b C. ab D. 大小不能确定 12.某商店经营皮鞋，所获利润 y(元)与销售单价 x(元)之间的关系为 y=x 2+24x+2956，则 获利最多为( ) A
5、. 3144 B. 3100 C. 144 D. 2956 13.如图是抛物线 y1=ax 2+bx+c（a0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标 A（1，3） ，与 x 轴的一个交点 B（4，0） ，直线 y2=mx+n（m0）与抛物线交于 A，B 两点，下列结论： 2a+b=0； abc0； 方程 ax 2+bx+c=3 有两个相等的实数根； 抛物线与 x 轴的另一个交点是（1，0） ； 当 1x4 时，有 y2y1 ， 其中正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题二、填空题 14.抛物线 y=（x2） 2+1 的顶点坐标是_ 15.二次函数 y=x 2+4x3 中，当 x=1 时，
6、y 的值是_ 16.将抛物线 y=x 2 先向下平移 2 个单位，再向右平移 3 个单位后所得抛物线的解析式为 _ 17.如图，正方形的边长为 4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数 y= x 2 与 y= x 2的图象，则阴影部分的面积是_ 18.某工厂计划为一批长方体形状的产品涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多 0.5m， 若长方体的长和宽用 x（m）表示，长方体需涂油漆的表面积 S（m 2）表示为_ 19.若 A（x1 ， y1） 、B（x2 ， y2）是一次函数 y=（x+1） 22 图象上不同的两点，且 x1x21，记 m=（x1x2） （ y1y2） ，则 m_0
7、（填“”或“” ） 20.如图所示， 二次函数 y=ax 2+bx+c （a0） 的图象， 有下列 4 个结论： abc0； ba+c； 4a+2b+c0；b 24ac0；其中正确的是_ 21.二次函数 y=ax 2+bx+c（a0）的图象如图所示，对称轴为 x=1，给出下列结论：abc 0；b 2=4ac；4a+2b+c0；3a+c0，其中正确的结论是_ （写出正确命题的 序号） 三、解答题三、解答题 22.已知二次函数 y=x 2+2x+m 的图象过点 A（3，0） （1）求 m 的值； （2）当 x 取何值时，函数值 y 随 x 的增大而增大 23. 如图，已知正方形 OABC 的边长为
8、 2，顶点 A，C 分别在 x 轴，y 轴的正半轴上，E 点是 BC 的中点，F 是 AB 延长线上一点且 FB=1 （1）求经过点 O、A、E 三点的抛物线解析式； （2） 点 P 在抛物线上运动， 当点 P 运动到什么位置时OAP 的面积为 2， 请求出点 P 的坐标； （3） 在抛物线上是否存在一点Q， 使AFQ是等腰直角三角形？若存在直接写出点Q的坐标； 若不存在，请说明理由 24.如图，抛物线 y= x 2x+a 与 x 轴交于点 A，B，与 y 轴交于点 C，其顶点在直线 y=2x 上 （1）求 a 的值； （2）求 A，B 的坐标； （3）以 AC，CB 为一组邻边作ACBD，则
9、点 D 关于 x 轴的对称点 D是否在该抛物线上？请 说明理由 25.如图，若二次函数 y= x 2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A（2，0） ，B（3，0）两点， 点 A 关于正比例函数 y= x 的图象的对称点为 C （1）求 b、c 的值； （2）证明：点 C 在所求的二次函数的图象上； （3）如图，过点 B 作 DBx 轴交正比例函数 y= x 的图象于点 D，连结 AC，交正比例 函数 y= x 的图象于点 E，连结 AD、CD如果动点 P 从点 A 沿线段 AD 方向以每秒 2 个单 位的速度向点D运动， 同时动点Q从点D沿线段DC方向以每秒1个单位的速度向点C运动 当 其中一
10、个点到达终点时，另一个点随之停止运动，连结 PQ、QE、PE设运动时间为 t 秒， 是否存在某一时刻， 使 PE 平分APQ， 同时 QE 平分PQC？若存在， 求出 t 的值； 若不存在， 请说明理由 参考答案：参考答案： 一、选择题 B A D A A D C D A A C B C 二、填空题 14. （2，1） 15. 6 16. y=x 2+6x11 17. 8 18. S=6x 2+2x 19. 20. 21. 三、解答题 22. 解： （1）二次函数 y=x 2+2x+m 的图象过点 A（3，0） 9+6+m=0， m=15； （2）y=x 2+2x15=（x+1）216， 二次
11、函数的图象的对称轴为 x=1， a=10， 当 x1 时，函数值 y 随 x 的增大而增大 23. 解： （1）A 的坐标是（2，0） ，E 的坐标是（1，2） 设抛物线的解析式是 y=ax 2+bx+c， 根据题意得：， 解得： 则抛物线的解析式是 y=2x 2+4x； （2）当OAP 的面积是 2 时，P 的纵坐标是 2 或2 当2x 2+4x=2 时，解得：x=1，则 P 的坐标是（1，2） ； 当2x 2+4x=2 时，解得：x=1 ， 此时 P 的坐标是（1+，2）或（1，2） ； （3）AF=AB+BF=2+1=3 OA=2，则 A 是直角顶点时，Q 不可能在抛物线上； 当 F 是
12、直角顶点时，Q 不可能在抛物线上； 当 Q 是直角顶点时，Q 到 AF 的距离是AF=，若 Q 存在，则 Q 的坐标是（2，） ，即 （，） ，不在抛物线上，总之 Q 不存在 24. （1）解：抛物线 y= x 2x+a 其顶点在直线 y=2x 上 抛物线 y= x 2x+a， = （x 22x）+a， = （x1） 2 +a， 顶点坐标为： （1， +a） ， y=2x， +a=21， a= （2）解：二次函数解析式为：y= x 2x ， 抛物线 y= x 2x 与 x 轴交于点 A，B， 0= x 2x ， 整理得：x 22x3=0， 解得：x=1 或 3， A（1，0） ，B（3，0）
13、（3）解：作出平行四边形 ACBD，作 DEAB， 在AOC 和BDE 中 AOCBED（AAS） ， AO=1， BE=1， 二次函数解析式为：y= x 2x ， 图象与 y 轴交点坐标为： （0， ） ， CO= ，DE= ， D 点的坐标为： （2， ） ， 点 D 关于 x 轴的对称点 D坐标为： （2， ） ， 代入解析式 y= x 2x ， 左边= ，右边= 42 = ， D点在函数图象上 25. （1）解：点 A（2，0） ，B（3，0）在抛物线 y= x 2+bx+c 上， ， 解得：b= ，c= （2）解：设点 F 在直线 y= x 上，且 F（2， ） 如答图 1 所示，过
14、点 F 作 FHx 轴于点 H，则 FH= ，OH=2， tanFOB= = ，FOB=60 AOE=FOB=60 连接 OC，过点 C 作 CKx 轴于点 K 点 A、C 关于 y= x 对称，OC=OA=2，COE=AOE=60 COK=180AOECOE=60 在 RtCOK 中，CK=OCsin60=2 = ，OK=OCcos60=2 =1 C（1， ） 抛物线的解析式为：y= x 2 x ，当 x=1 时，y= ， 点 C 在所求二次函数的图象上 （3）解：假设存在 如答图 1 所示，在 RtACK 中，由勾股定理得：AC= = = 如答图 2 所示，OB=3，BD=3 ，AB=OA
15、+OB=5 在 RtABD 中，由勾股定理得：AD= = =2 点 A、C 关于 y= x 对称， CD=AD=2 ，DAC=DCA，AE=CE= AC= 连接 PQ、PE，QE，则APE=QPE，PQE=CQE 在四边形 APQC 中，DAC+APQ+PQC+DCA=360（四边形内角和等于 360） ， 即 2DAC+2APE+2CQE=360， DAC+APE+CQE=180 又DAC+APE+AEP=180（三角形内角和定理） ， AEP=CQE 在APE 与CEQ 中，DAC=DCA，AEP=CQE， APECEQ， ，即： ， 整理得：2t 2 t+3=0， 解得：t= 或 t= （t ，所以舍去） 存在某一时刻，使 PE 平分APQ，同时 QE 平分PQC，此时 t=
