1、73三角函数的性质与图像73.1正弦函数的性质与图像填一填1正弦函数的性质与图像2.周期函数(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x，都满足f(xT)f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，非零常数T称为这个函数的周期对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就称为f(x)的最小正周期(2)正弦函数是周期函数，2k(kZ，且k0)是它的周期，最小正周期是2.3“五点法”作图在函数ysinx，x0,2的图像上起关键作用的点主要有五个：(0,0)，(，0)，(2，0)描出这五个点后，函数ysinx，x0,2的图像的形状就基本
2、确定了因此，在精确度要求不太高时，我们常常找出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们连接起来，就得到函数的简图这种作图方法，就叫五点(画图)法利用周期性可画出完整的正弦曲线答一答1如何理解周期和周期函数？提示：(1)“f(xT)f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个x值而言都能使它成立，T是函数f(x)的周期，周期T是使函数值重复出现的自变量x的增加值，如sincossin，但sinsin，因此不是sinx的周期(2)从等式f(xT)f(x)来看，应注意的是自变量x本身加的常数才是周期，如f(2xT)f(2x)，但T不是周期，而应写成f(2xT)ff(2x)，是f(2x)的周期(3)周
3、期函数的周期不只一个，若T是周期，则kT(kZ且k0)一定也是该函数的周期，则xkT也一定在定义域内，因此周期函数的定义域 一定是无限集，也就是说定义域一定无上界或无下界(4)若无特别说明，我们所说的周期一般指最小正周期(5)并不是所有的周期函数都存在最小正周期，如常数函数f(x)c(c为常数)，xR，当x为定义域内的任何值时，函数值都是c，即对于函数f(x)的定义域内的每一个x值，都有f(xT)f(x)c，因此f(x)是周期函数，由于T可以是任意不为零的常数，而正数集合没有最小的，所以f(x)没有最小正周期(6)要证明非零数T为函数的一个周期，只需在定义域找到这样一个常数T，使对定义域内的任
4、意的x值都有f(xT)f(x)即可2怎样作正弦函数的图像？步骤是怎样的？提示：(1)我们用单位圆中的正弦线作出正弦函数ysinx，x0,2的图像，具体分为如下五个步骤：建立直角坐标系，在直角坐标系的x轴上任取一点O1，以O1为圆心作单位圆把单位圆分成12等份(等份越多，画出的图像越精确)过单位圆上的各分点作x轴的垂线，可以得到弧度为0，2的角的正弦线找横坐标：把x轴上从0到2(26.28)这一段分成12等份找纵坐标：把正弦线对应平移，即可得出相应的12个点连线：用光滑的曲线将12个点依次从左到右连接起来，就得到正弦函数ysinx，x0,2的图像，如图所示我们通过图像的平移作正弦曲线ysinx，
5、xR的图像因为终边相同的角的三角函数值相等，所以函数ysinx，x2k，2(k1)，kZ且k0的图像与函数ysinx，x0,2的图像的形状完全一样，只是位置不同，于是我们只要将函数ysinx，x0,2的图像沿x轴向左、右平移(每次2个单位长度)，就可以得到正弦函数ysinx，xR的图像，如图所示正弦函数ysinx，xR的图像叫做正弦曲线(2)五点法作图：作出正弦曲线上五个关键点：(0,0)，(，0)，(2，0)，用平滑曲线连接起来，再利用周期性得到完整的正弦曲线类型一正弦函数的定义域和值域命题视角1：利用正弦函数的性质判断复合函数的定义域例1求函数y的定义域分析只需有sinx即可在此可以利用前
6、面所学的三角函数线，也可以利用ysinx的图像解决解要使函数有意义，需有2sinx10，即sinx，解得2kx2k(kZ)，此函数的定义域是(kZ)求三角函数的定义域，一般是通过解三角不等式，借助于三角函数的图像或单位圆中的三角函数线来确定.变式训练1求函数ylg sin的定义域解：要使函数ylg sin有意义，需解得所以函数的定义域为(2，)(0，)(2，8命题视角2：利用正弦函数性质判断复合函数的值域与最值例2(1)求使函数y2sinx1取得最大值和最小值的自变量x的集合，并写出其值域；(2)求使函数ysin2xsinx取得最大值和最小值的自变量x的集合，并求出函数的最值解(1)当x2k(
7、kZ)时，ymax2(1)13，当x2k(kZ)时，ymin2111，函数y2sinx1取最大值时自变量x的集合为x|x2k(kZ)，取最小值时自变量x的集合为x|x2k(kZ)，其值域为1,3(2)令tsinx，则1t1.yt2t22.当t时，ymax2.此时sinx，即x2k或x2k(kZ)当t1时，ymin.此时sinx1，即x2k(kZ)综上，使函数ysin2xsinx取得最大值时自变量x的集合为x|x2k或x2k，kZ，且最大值为2.使函数ysin2xsinx取得最小值时自变量x的集合为x|x2k，kZ，且最小值为.求含正弦函数的复合函数的值域一般有以下两种方法：(1)将所给三角函数
8、转化为二次函数，通过配方法求值域，例如转化为ya(sinxb)2c型的值域问题.(2)利用sinx的有界性求值域，如yasinxb，|a|by|a|b.变式训练2求f(x)2sin2x2sinx，x的值域解：令tsinx，x，sinx1，即t1，f(x)g(t)221，t且该函数在上是单调递增的f(x)ming1，f(x)maxg(1).f(x)2sin2x2sinx，x的值域为.类型二三角函数的奇偶性例3判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)cos(2x)x3sinx；(2)f(x).分析本题主要考查三角函数的奇偶性，先求出或判断函数的定义域，然后利用函数奇偶性的定义予以判断解(1)函数f(x
9、)的定义域为R，关于原点对称，又f(x)cosxx3sinx，f(x)cos(x)(x)3sin(x)cosxx3sinxf(x)，f(x)为偶函数(2)1sinx0，函数定义域为x|xR且x2k，kZ，函数的定义域不关于原点对称，函数既不是奇函数也不是偶函数(1)正确判断函数奇偶性的前提是先看定义域是否关于原点对称.(2)注意奇偶性判定法的变通式和定义域的用法.变式训练3判断函数f(x)sin的奇偶性解：xR，f(x)sincosx.f(x)cos(x)cosxf(x)函数f(x)sin为偶函数类型三正弦函数的单调性和最值例4已知函数f(x)sinx1.(1)写出f(x)的单调区间；(2)求
10、f(x)的最大值和最小值及取得最值时x的集合；(3)比较f与f的大小分析结合正弦函数的单调性及单调区间求解即可解(1)函数f(x)sinx1与f(x)sinx的单调区间相同，f(x)sinx1的增区间为(kZ)，减区间为(kZ)(2)函数g(x)sinx，当x2k(kZ)时，取最大值1，当x2k(kZ)时，取最小值1.函数f(x)sinx1取最大值x的集合为x|x2k(kZ)，最大值为0，取最小值x的集合为x|x2k(kZ)，最小值为2.(3)ffsinsin，且ysinx在上是增函数，sin0.ff.1.求正弦函数的单调区间和最值时要联系正弦函数的图像，同时注意三角函数的周期性.2.比较三角函数值的大小时，需要把角化为同一单调区间上的同名三角函数，然后用三角函数的单调性即可，如果角不在同一单调区间上，一般用诱导公式进行转化.变式训练4(1)比较sin与sin三角函数值的大小；(2)求函数y2sinx1的增区间解：(1)sinsin.sinsinsin，由于sin，sinsin，即sin0，即sinx.结合正弦曲线或单位圆，如图(1)(2)所示，可知函数ylog2(2sinx1)的定义域为.
