1、 数学试卷 第1页（共4页）一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。1 已知集合|ln0Axx，|22xBx，则AB 2 已知函数2log0()sin0 x xf xx x，则()6ff 3 若3iizz，复数z与z在复平面内对应的点分别为 A，B，则AB 4 现有茶壶九只，容积从小到大成等差数列，最小的三只茶壶容积之和为0.5升，最大的 三只茶壶容积之和为2.5升，则从小到大第 5 只茶壶的容积为 5 古希腊人从一对对顶圆锥的截痕中发现了圆锥曲线，并研究了它的一些几何性质比 如，双曲线有如下性质：A B，分别为双曲线2
2、222:1(00)yxCabab，的左、右顶点，从C上一点P（异于A B，）向实轴引垂线，垂足为Q，则2PQAQQB为常数若C的 离心率为2，则该常数为 6 在平行四边形ABCD中，42ABAD，1324AMAD ANAB ，9CM CN ，则DM DN A(1)，B(0 1)，C1()2，D1(0)2，A2 B1 C1 D2 A2 B2 2 C3 D4 A0.25升 B0.5升 C1升 D1.5 升 A33 B3 C13 D3 A1 B1 C158 D3 数学试卷 第2页（共4页）7 正四棱柱1111ABCDA B C D中，2AB，13AA，M是11AD的中点，点N在棱1CC上，12CNN
3、C，则平面AMN与侧面11BBC C的交线长为 8 已知2()ln(1)f xxx，若211(ln)()(tan)332afbfcf，则 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9 某学校高三年级有男生 640 人，女生 360 人为获取该校高三学生的身高信息，采用抽样调查的方法统计样本的指标值（单位：cm），并计算得到男生样本的平均值 175，方差为 36，女生样本的平均值为 165，方差为 36，则下列说法正确的是 A若男、女样本量分别为 64，36，则总样本的平
4、均值为 171.4 B若男、女样本量分别为 64，36，则总样本的方差为 36 C若男、女的样本量都是 50，则总样本的平均值为 170 D若男、女的样本量都是 50，则总样本的方差为 61 10已知 O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)C ypx p的焦点(2 0)F，作斜率为3的弦 AB，其中点A在第一象限，则 AAOFBOF B90AOB C163AB D3AFFB 11明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理如图，一个半径 为 4 m 的筒车按逆时针方向每分钟转 2 圈，筒车的轴心 O 距离水面的高度为 2 m设 筒车上的某个盛水桶 P 到水面的距离为 d（单位：m）（在
5、水面下记 d 为负数），若从 盛水筒 P 刚浮出水面时开始计算时间，则 A当筒车转动 5 秒时，盛水桶距离水面 4 m B盛水桶出水后至少经过 10 秒就可到达最高点 C盛水桶第二次距离水面 4m 时用时 15 秒 D盛水桶入水后至少需要 20 秒才可浮出水面 A3 B132 C2 103 D2 133 Aabc Bbac Ccab Dbca d水面OP 数学试卷 第3页（共4页）12在边长为 2 的菱形 ABCD 中，3BAD，将菱形 ABCD 沿对角线 BD 折成空间四边形 ABCD，使得2A BC设 E，F 分别为棱 BC，AD 的中点，则 A3EF B直线 AC 与 EF 所成角的余弦
6、值为33 C直线A C与EF的距离为12 D四面体 ABCD 的外接球的表面积为 4 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。1342(32)xxx的展开式中含3x项的系数为 14已知圆221:()(1)1Cxay与圆222:3Cxy交于A B，两点，若直线AB的 倾斜角为60，则AB 15已知sincossin，sincossin2，02，则cos 16已知函数()f x，()g x的定义域均为 R，()f x是偶函数，(1)1g x 是奇函数，且(2)()4g xf x，(4)3f，则(1)g ；20231()kg k 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应
7、写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10 分）记ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，点D在线段AC上，2BDCDAD（1）若2ac，求b；（2）若3B，求角 A 18（12 分）已知数列 na是公差为 3 的等差数列，数列 nb是公比为 2 的等比数列，且满足 13123aabbb，2424aabb将数列 na与 nb的公共项按照由小到大的顺序 排列，构成新数列 nc（1）证明：2nncb；（2）求数列nna c的前n项和nS 数学试卷 第4页（共4页）19（12 分）某微型电子集成系统可安装3个或5个元件，每个元件正常工作的概率均为(01)pp，且各元件是否正常工作相互独
8、立若有超过一半的元件正常工作，则该系统能稳定工作（1）若该系统安装了 3 个元件，且23p，求它稳定工作的概率；（2）试比较安装了 5 个元件的系统与安装了 3 个元件的系统哪个更稳定 20（12 分）如图，在三棱台111ABCA B C中，112ACAC，四棱锥11ABCC B的体积为32（1）求三棱锥111AA B C的体积；（2）若ABC是边长为 2 的正三角形，平面11A ACC 平面ABC，平面11A ABB 平面ABC，求二面角11AB CB的正弦值 21（12 分）已知椭圆221:12xCy的左、右顶点是双曲线22222:1(00)yxCabab，的顶点，1C的焦点到2C的渐近线
9、的距离为33直线:l ykxt与2C相交于A B，两点，3OA OB （1）求证：2281kt；（2）若直线l与1C相交于P Q，两点，求PQ的取值范围 22（12 分）已知函数22()f xxaxa，1()2exg xax（1）若1a，证明：曲线()yf x与曲线()yg x有且仅有一条公切线；（2）当1x时，()()2f xg xax，求a的取值范围 数学试卷及参考答案 第1页（共12页）一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。1 已知集合|ln0Axx，|22xBx，则AB 【答案】D 2 已知函数2log0()s
10、in0 x xf xx x，则()6ff 【答案】C 3 若3iizz，复数z与z在复平面内对应的点分别为 A，B，则AB 【答案】A 4 现有茶壶九只，容积从小到大成等差数列，最小的三只茶壶容积之和为0.5升，最大的 三只茶壶容积之和为2.5升，则从小到大第 5 只茶壶的容积为【答案】B 5 古希腊人从一对对顶圆锥的截痕中发现了圆锥曲线，并研究了它的一些几何性质比 如，双曲线有如下性质：A B，分别为双曲线2222:1(00)yxCabab，的左、右顶点，从C上一点P（异于A B，）向实轴引垂线，垂足为Q，则2PQAQQB为常数若C的 离心率为2，则该常数为 A(1)，B(0 1)，C1()
11、2，D1(0)2，A2 B1 C1 D2 A2 B2 2 C3 D4 A0.25升 B0.5升 C1升 D1.5 升 数学试卷及参考答案 第2页（共12页）【答案】D 6 在平行四边形ABCD中，42ABAD，1324AMAD ANAB ，9CM CN ，则DM DN 【答案】B 7 正四棱柱1111ABCDA B C D中，2AB，13AA，M是11AD的中点，点N在棱1CC上，12CNNC，则平面AMN与侧面11BBC C的交线长为【答案】C 8 已知2()ln(1)f xxx，若211(ln)()(tan)332afbfcf，则【答案】B 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共
12、 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9 某学校高三年级有男生 640 人，女生 360 人为获取该校高三学生的身高信息，采用抽样调查的方法统计样本的指标值（单位：cm），并计算得到男生样本的平均值 175，方差为 36，女生样本的平均值为 165，方差为 36，则下列说法正确的是 A若男、女样本量分别为 64，36，则总样本的平均值为 171.4 B若男、女样本量分别为 64，36，则总样本的方差为 36 C若男、女的样本量都是 50，则总样本的平均值为 170 D若男、女的样本量都是 50，则总样本的方差为
13、61【答案】ACD A33 B3 C13 D3 A1 B1 C158 D3 A3 B132 C2 103 D2 133 Aabc Bbac Ccab Dbca 数学试卷及参考答案 第3页（共12页）10已知 O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)C ypx p的焦点(2 0)F，作斜率为3的弦 AB，其中点A在第一象限，则 AAOFBOF B90AOB C163AB D3AFFB【答案】BD 11明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理如图，一个半径 为 4 m 的筒车按逆时针方向每分钟转 2 圈，筒车的轴心 O 距离水面的高度为 2 m设 筒车上的某个盛水桶 P 到水面的距离为
14、d（单位：m）（在水面下记 d 为负数），若从 盛水筒 P 刚浮出水面时开始计算时间，则 A当筒车转动 5 秒时，盛水桶距离水面 4 m B盛水桶出水后至少经过 10 秒就可到达最高点 C盛水桶第二次距离水面 4m 时用时 15 秒 D盛水桶入水后至少需要 20 秒才可浮出水面 【答案】ABC 12在边长为 2 的菱形 ABCD 中，3BAD，将菱形 ABCD 沿对角线 BD 折成空间四边形 ABCD，使得2A BC设 E，F 分别为棱 BC，AD 的中点，则 A3EF B直线 AC 与 EF 所成角的余弦值为33 C直线A C与EF的距离为12 D四面体 ABCD 的外接球的表面积为 4【答
15、案】AC 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。1342(32)xxx的展开式中含3x项的系数为 【答案】3 14已知圆221:()(1)1Cxay与圆222:3Cxy交于A B，两点，若直线AB的 倾斜角为60，则AB d水面OP 数学试卷及参考答案 第4页（共12页）【答案】3 15已知sincossin，sincossin2，02，则cos 【答案】4 1717 16已知函数()f x，()g x的定义域均为 R，()f x是偶函数，(1)1g x 是奇函数，且(2)()4g xf x，(4)3f，则(1)g ；20231()kg k 【答案】1；2021 四、解答
16、题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10 分）记ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，点D在线段AC上，2BDCDAD（1）若2ac，求b；（2）若3B，求角 A【解】（1）因为2BDCDAD，ADCDb，所以2133BDCDb ADb，在ABD中，由余弦定理，得 22222542coscos99ABADBDAD BDADBbbADB，在BCD中，由余弦定理，得 22222882coscos99BCCDBDCD BDBDCbbADC 2 分 因为ADBBDC，所以coscos0ADBBDC，由 2+，得22222ABBCb，即2222
17、2acb 又因为2ac，所以6b 5 分（2）设CBD，则3ABD，因为BDCD，所以2ADB，所以23BAD 在ABD中，由正弦定理，得sinsinADBDABDBAD，数学试卷及参考答案 第5页（共12页）即122sinsin33，所以2sin2sin33，7 分 即22sincoscossin2 sincoscossin3333，即31cos+sin3cossin22，所以3tan3 因为03，所以6，所以232A 10 分 18（12 分）已知数列 na是公差为 3 的等差数列，数列 nb是公比为 2 的等比数列，且满足 13123aabbb，2424aabb将数列 na与 nb的公共
18、项按照由小到大的顺序 排列，构成新数列 nc（1）证明：2nncb；（2）求数列nna c的前n项和nS【解】（1）由13123aabbb，得11267ab，由2424aabb，得1121210ab，解得，14a，12b 因为数列 na的公差为 3，数列 nb的公比为 2，所以31nan，2nnb 2 分 12b 不是数列 na的项，24b 是数列 na的第 1 项 设231kkbm，则 112222(31)3 22kkkbmm，所以1kb不是数列 na的项 4 分 数学试卷及参考答案 第6页（共12页）因为222424(31)3(21)1kkkbmm，所以2kb是数列 na的项 所以2nnc
19、b 6 分（2）由（1）可知，24nnncb，(31)4nnna cn 234474104(31)4nnSn，234144474104(31)4nnSn，8 分 所以23413163 4444(31)4nnnSn 234143 44444(31)4nnn 14(14)43(31)414nnn 1114(31)43 4nnnnn，所以14nnSn 12分 19（12 分）某微型电子集成系统可安装3个或5个元件，每个元件正常工作的概率均为(01)pp，且各元件是否正常工作相互独立若有超过一半的元件正常工作，则该系统能稳定工作（1）若该系统安装了 3 个元件，且23p，求它稳定工作的概率；（2）试比
20、较安装了 5 个元件的系统与安装了 3 个元件的系统哪个更稳定【解】（1）设安装 3 个元件的系统稳定工作的概率为P，则 3 个元件中至少 2 个元件正常工作 又因为各元件是否正常工作相互独立，所以 2322333321220(1)333327PC ppC p 答：安装 3 个元件的系统稳定工作的概率为2027 4 分（2）由（1）知，安装 3 个元件的系统稳定工作的概率 22333233(1)23PC ppC ppp 6 分 数学试卷及参考答案 第7页（共12页）设安装 5 个元件的系统稳定工作的概率为P，则 3324455543555(1)(1)61510PC ppC ppC pppp 8
21、 分 所以5433261510(23)PPppppp 223(1)(21)ppp 10 分 当12p 时，0PP，PP，两个系统工作的稳定性相同；当102p时，0PP，PP，3 个元件的系统比 5 个元件的系统更稳定；当112p时，0PP，PP，5 个元件的系统比 3 个元件的系统更稳定 12 分 20（12 分）如图，在三棱台111ABCA B C中，112ACAC，四棱锥11ABCC B的体积为32（1）求三棱锥111AA B C的体积；（2）若ABC是边长为 2 的正三角形，平面11A ACC 平面ABC，平面11A ABB 平面ABC，求二面角11AB CB的正弦值 【解】（1）连结
22、BC1 因为三棱台1 11ABCABC中，1 11ABCABC，112ACAC，所以112BCBC，所以1112BCCBB CSS，所以11 12A BCCA BB CVV 因为三棱台1 11ABCABC中，1 11ABCABC，112ACAC，所以1 1 14ABCA B CSS，所以11 1 14CABCA A B CVV 又因为11CABCA BCCVV，数学试卷及参考答案 第8页（共12页）所以1 1 1111:1:2:4A A B CA BB CA BCCVVV 2 分 又因为1 11 11A BCC BA BB CA BCCVVV，所以1 1 11 1331166212A A B
23、CA BCC BVV 4 分（2）取 AB 中点 D，AC 中点 E，连结 CD、BE，交于点 F，因为ABC 是正三角形，E 是 AC 中点，所以 BEAC 又因为平面 A1ACC1平面 ABC，平面 A1ACC1平面 ABC=AC，BE平面 ABC，所以 BE平面 A1ACC1 又因为 A1A平面 A1ACC1，所以 BEA1A 同理，CDA1A 又因为 CDBE=F，CD，BE平面 ABC，所以 A1A平面 ABC 6 分 在平面 ABC 内，过点 A 作 AHAC，以 A 为原点，AH 为 x 轴，AC 为 y 轴，AA1为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz 因为 AC=2
24、A1C1，AC=2，所以 A1C1=1，1 1134A B CS.由（1）可知1 1 1312A A B CV，故11A A 所以(0 0 0)(3 1 0)(0 2 0)ABC，1131(1)(0 1 1)22BC，131(1)22AB ，1(0 1 1)AC ，(31 0)CB ，1(01 1)CC ，8 分 设平面11ABC的一个法向量为111()xyz，m，由1100ABAC ，mm得11111310220 xyzyz，不妨取3(11)3，m 设平面11BBC的一个法向量为222()xyz，n，数学试卷及参考答案 第9页（共12页）由100CBCC ，nn得2222300 xyyz，不
25、妨取3(1 1)3，n 10 分 设二面角11ABCB的平面角为，0，则113cos77733m nmn 因为22sincos1，且sin0 1，所以4 3sin7，即二面角11ABCB的正弦值为4 37 12 分 21（12 分）已知椭圆221:12xCy的左、右顶点是双曲线22222:1(00)yxCabab，的顶点，1C的焦点到2C的渐近线的距离为33直线:l ykxt与2C相交于A B，两点，3OA OB （1）求证：2281kt；（2）若直线l与1C相交于P Q，两点，求PQ的取值范围【解】（1）由题意得椭圆焦点坐标为(1 0)，双曲线渐近线方程为0bxay，所以22233abba，
26、解得21ab，所以2C的方程为2212xy 2 分 由2222ykxtxy，消y，得222(12)4220kxktxt，所以22 222120164(12)(22)0kk tkt，得22210tk 数学试卷及参考答案 第10页（共12页）设11()A xy，22()B xy，则12221 224122212ktxxktx xk，4 分 所以1 2121 212()()OA OBx xy yx xkxt kxt 221 212(1)()kx xkt xxt 22 22222224(1)31212tk tktkk，化简得2281kt，得证 6 分（2）由2222ykxtxy，消 x，得222(12
27、)4220kxktxt，所以2 222164(12)(22)0k tkt，即2221tk 结合22210tk，2281kt，及0k，20t，可得2108k 设33()P xy，44()Q xy，则34223 424122212ktxxktx xk，8 分 所以22222234222 22 28(21)42280()()41212(12)(12)tkkttkxxkkkk，所以22222342 280(1)(1)()(12)kkPQkxxk，2108k 10 分 设212k，则514，所以2116125，数学试卷及参考答案 第11页（共12页）所以22211801362220(1)05PQ，所以6
28、 505PQ，12 分 22（12 分）已知函数22()f xxaxa，1()2exg xax（1）若1a，证明：曲线()yf x与曲线()yg x有且仅有一条公切线；（2）当1x时，()()2f xg xax，求a的取值范围【解】（1）当1a 时，2()1f xxx，1()2exg xx，所以()21fxx，1()2e1xg x，所以曲线()yf x在点2111(1)xxx，处的切线方程为 21111(1)(21)()yxxxxx，即211(21)1yxxx，曲线()yg x在点2122(2e)xxx，处的切线方程为 221122(2e)(2e1)()xxyxxx，即22112(2e1)2e
29、(1)xxyxx 2 分 令22111212212e112e(1)xxxxx ，得22111212e12e(1)xxxxx ，消去2x，整理得21112ln10 xxx，所以11112ln0 xxx 4 分 设1()2ln(0)h xxxxx，则22(1)()0 xh xx，所以()h x在(0)，上单调递增，又(1)0h，所以()h x在(0 ，）上有唯一的零点1x，所以方程12ln0 xxx有唯一的解1x，所以曲线()yf x与曲线()yg x有且仅有一条公切线yx 6 分 （2）因为对1x，()()2f xg xax恒成立，数学试卷及参考答案 第12页（共12页）所以122e()xxa在
30、1x，上恒成立，所以21()2exxa在1x，上恒成立，令21()()(1)exxaG xx，211()2()()(2)()eexxxaxaxa xaG x ，则当xa时()0G x，()G x单调递减，当2axa时，()0G x，()G x单调递增，当2xa时，()0G x，()G x单调递减，所以在xa处()G x有极小值，在2xa处()G x有极大值 8 分 当21a，即1a时，由2max()(1)(1)2G xGa，解得1212a，舍去 10 分 当21a，即1a 时，则max()max(2)(1)G xG aG，所以，由1214(2)2e(1)(1)2aaG aGa，解得11ln21212.aaa ，因为28e，所以232e，所以2ln23，所以211ln2112133 ，所以1ln212a 综上，a 的取值范围为1ln212a 12 分
