1、第63课直线与圆锥曲线的综合问题【自主学习】第63课 直线与圆锥曲线的综合问题(本课时对应学生用书第162166页)自主学习回归教材1. (选修2-1P27习题4改编)曲线-x=0上一点P到直线y=x+3的最短距离为.【答案】【解析】设P(x，y)，由点到直线的距离公式得d=，所以dmin=.2. (选修2-1P44习题6改编)若椭圆+=1中过点 P(1，1)的弦恰好被点P平分，则此弦所在直线的方程是.【答案】x+2y-3=0【解析】 设弦的两个端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，代入椭圆方程并作差得(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0.又x1+x2=2，y
2、1+y2=2，代入得=-.故所求直线的方程为y-1=-(x-1)，即x+2y-3=0.3. (选修2-1P63习题4改编)已知抛物线y2=2px(p0)有一个内接直角三角形，直角顶点在坐标原点，斜边长是5，一条直角边所在的直线方程是y=2x，那么抛物线的方程为.【答案】y2=x【解析】由于一条直角边所在直线方程是y=2x，那么另一条直角边所在直线方程是y=-x，它们与抛物线的交点(非原点)坐标为，(8p，-4p)，由题意知=5，解得p=，所以抛物线方程为y2=x.4. (选修2-1P66复习题15改编)若斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A，B两点，则AB的最大值为.【答案】【解析】设直线
3、l的方程为y=x+t，代入+y2=1，消去y，得x2+2tx+t2-1=0，由题意得=(2t)2-5(t2-1)0，即t2b0)右焦点的直线x+y-=0交椭圆M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为，求椭圆M的方程.【解答】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则+=1，+=1，=-1，由此可得=-=1.因为x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，=，所以a2=2b2.又由题意知，M的右焦点为(，0)，故a2-b2=3，因此a2=6，b2=3，所以椭圆M的方程为+=1.定值问题例2(2015陕西卷改编)如图，椭圆E：+=1(ab0)经过点A(0，-1)，且离心率为.(1
4、)求椭圆E的方程；(2)经过点(1，1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P，Q(均异于点A)，求证：直线AP与AQ的斜率之和为2.(例2)【思维引导】对于问题(1)，构造关于a，b 的方程组求解即可；对于问题(2)，构造关于x的方程，结合两直线的斜率式子与方程的韦达关系进行代换化简.【解答】(1)由题意知=，b=1，又a2=b2+c2，解得a=，所以椭圆的方程为+y2=1.(2)由题设知，直线PQ的方程为y=k(x-1)+1(k2)，代入+y2=1，得(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0，由已知0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x20，则x1+x2=，x1
5、x2=，从而直线AP与AQ的斜率之和kAP+kAQ=+=+=2k+(2-k)=2k+(2-k)=2k+(2-k)=2k-(2k-2)=2.【精要点评】定值问题常见于直线、圆及圆锥曲线的相关问题中.解决此类问题主要利用换元与化归的思想方法，有时还需要结合繁杂的运算进行必要的化简.变式(2015全国卷)已知椭圆C：+=1(ab0)的离心率为，点(2，)在椭圆C上.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l不经过原点O，且不平行于坐标轴，直线l与椭圆C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，求证：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.【解答】(1)由题意有=+=1，解得a2=8，b2=4，所以椭圆C
6、的方程为+=1.(2)设直线l：y=kx+b(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)，把y=kx+b代入+=1，得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0，故xM=，yM=kxM+b=，于是直线OM的斜率kOM=-，即kOMk=-，所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.定点问题例3已知椭圆 +y2=1的左顶点为A，过点A作两条互相垂直的弦AM，AN交椭圆于M，N两点.(1)当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标.(2)当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点?若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由.【思维引导】直线过定点问题
7、，可以求出直线方程，运用直线方程求解；也可以用三点共线来转化.【解答】(1)直线AM的斜率为1时，直线AM：y=x+2，代入椭圆方程并化简得5x2+16x+12=0，解得x1=-2，x2=-，所以M.(2)设直线AM的斜率为k，则AM：y=k(x+2)，则化简得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0.因为此方程有一根为-2，所以xM=.同理可得xN=.由(1)知若存在定点，则此点必为P.因为kMP=，同理可得kPN=，所以直线MN过x轴上的一定点P.【精要点评】本题在论证直线过定点时，利用了第(1)问的特征，从而得到了定点的坐标，再利用k1=k2进行论证.本题也可以根据两点坐标求出直
8、线的方程，再根据所得直线的方程求出定点的坐标.变式(2015泰州期末)如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为的椭圆C：+=1(ab0)的左顶点为A，过原点O的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点.若直线PQ的斜率为时，PQ=2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)试问：以MN为直径的圆是否经过定点(与直线PQ的斜率无关)?请证明你的结论.(变式)【解答】(1)设P.因为直线PQ的斜率为时，PQ=2，所以+=3，即=2，所以+=1.因为e=，所以a2=4，b2=2，所以椭圆C的标准方程为+=1.(2)方法一：以MN为直径的圆过定点(，0).理由如下：
9、设P(x0，y0)，则Q(-x0，-y0)，且+=1，即+2=4.因为A(-2，0)，所以直线PA的方程为y=(x+2)，所以M，直线QA的方程为y=(x+2)，所以N.以MN为直径的圆的方程为(x-0)(x-0)+=0，即x2+y2-y+=0.因为-4=-2，所以x2+y2+y-2=0.令y=0，解得x=，所以以MN为直径的圆过定点(，0).方法二：设P(x，y)，Q(-x，-y)，A(-2，0)，则kAPkAQ=-.设直线AP的斜率为k，则直线AQ的斜率为-，则直线AP的方程为y=k(x+2).令x=0，则y=2k，所以M(0，2k).同理可得N.则以MN为直径的圆的方程为x2+(y-2k
10、)=0，即x2+y2+y-2=0.令y=0，解得x=，所以以MN为直径的圆过定点(，0).圆锥曲线的综合问题例4(2015江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1(ab0)的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程.(例4)【思维引导】(1)求椭圆的标准方程，只需知两个独立条件即可，一是离心率为，二是右焦点F到左准线l的距离为3，解方程组即得.(2)因为直线AB过点F，所以求直线AB的方程就是确定其斜率，本题关键就是根据PC=2AB列出
11、关于斜率的等量关系.【解答】(1)由题意得=且c+=3，解得a=，c=1，则b=1，所以椭圆的标准方程为+y2=1.(2)当ABx轴时，AB=，又CP=3，不合题意.当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=k(x-1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将AB的方程代入椭圆方程，得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0，则x1，2=，点C的坐标为，且AB=.若k=0，则线段AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意.从而k0，故直线PC的方程为y+=-，则点P的坐标为，从而PC=.因为PC=2AB，所以=，解得k=1.此时直线AB的方程为y=x-1或y=-x+1.【精要点评
12、】这是一道看似简单，实则充分体现出解析几何运算量较大的特点的题目.第(1)小题实属简单，第(2)小题中由参数k贯穿整个解答过程.在解题过程中，需要时刻注意斜率的存在性与参数k是否为0的细节，否则问题的解答可能不全面.变式(2015常州期末)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1(ab0)的离心率e=，直线l：x-my-1=0(mR)过椭圆C的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点.(1)求椭圆C的标准方程.(2)已知点D，连接BD，过点A作垂直于y轴的直线l1，设直线l1与直线BD交于点P，试探索当m变化时，是否存在一条定直线l2，使得点P恒在直线l2上?若存在，请求出直线l2的方程；若不存在
13、，请说明理由.【解答】(1)在x-my-1=0中，令y=0，得x=1，所以F(1，0).由题设得解得从而b2=a2-c2=3，所以椭圆C的标准方程为+=1.(2)令m=0，则A，B或A，B.当A，B时，P；当A，B时，P.所以若满足题意的直线存在，则定直线l2只能是x=4.下面证明点P恒在直线x=4上.设A(x1，y1)，B(x2，y2).由于PA垂直于y轴，所以点P的纵坐标为y1，从而只要证明P(4，y1)在直线BD上即可.由消去x，得(4+3m2)y2+6my-9=0.因为=144(1+m2)0，所以y1+y2=，y1y2=.因为kDB-kDP=-=-=.将式代入上式，得kDB-kDP=0
14、，所以 kDB=kDP，所以点P(4，y1)恒在直线BD上，从而直线l1，直线BD与直线l2：x=4三线恒过同一点P，所以存在一条定直线l2：x=4，使得点P恒在直线l2上.1. (2015南京、盐城一模)若双曲线x2-y2=a2(a0)的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则实数a=.【答案】【解析】已知抛物线y2=4x，所以2p=4，则焦点为(1，0)，其为双曲线右焦点，所以c2=a2+a2=1，所以a2=，即a=.2.若双曲线-=1与椭圆+=1有公共焦点，且过点(3，2)，则双曲线的离心率为.【答案】【解析】方法一：设双曲线的半焦距为c，则c2=20，所以b2=c2-a2=20-a2，又
15、点(3，2)在双曲线上，故-=1，即18b2-4a2=a2b2.联立解得a2=12，b2=8，故a=2，c=2，离心率e=.方法二：同方法一易得c2=20.又点(3，2)在双曲线上得且双曲线的焦点为(-2，0)，(2，0)，由双曲线定义得2a=|-|=-，则4a2=(-)2=48，化简得a2=12，所以a=2，c=2，离心率e=.3.(2015苏州、无锡、常州、镇江二模)已知A为椭圆+=1上的动点，MN为圆C：(x-1)2+y2=1的一条直径，则的最大值为.【答案】15【解析】因为=(-)(-)=+|2=-1，设A(x，y)，所以=(x-1)2+y2-1=x2-2x+y2.又+=1，即=x2-
16、2x+5(-3x3).又该二次函数为开口向上，其图象的对称轴为直线x=，故x=-3时，有最大值为15.4. (2015北京卷)已知椭圆C：x2+3y2=3，过点D(1，0)且不过点E(2，1)的直线与椭圆C交于，两点，直线与直线x=3交于点.(1)求椭圆C的离心率；(2)若垂直于x轴，求直线的斜率；(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由.【解答】(1)椭圆C的标准方程为+y2=1，所以a=，b=1，c=，所以椭圆C的离心率e=.(2)因为AB过点D(1，0)且垂直于x轴，所以可设A(1，y1)，B(1，-y1).直线AE的方程为y-1=(1-y1)(x-2).令x=3，得M(3，
17、2-y1)，所以直线BM的斜率kBM=1.(3)直线BM与直线DE平行.证明如下：当直线AB的斜率不存在时，由(2)可知kBM=1.又因为直线DE的斜率kDE=1，所以BMDE.当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=k(x-1)(k1).设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线AE的方程为y-1=(x-2).令x=3，得点M.由得(1+3k2)x2-6k2x+3k2-3=0，所以x1+x2=，x1x2=，直线BM的斜率kBM=.因为kBM-1=0，所以kBM=1=kDE，所以BMDE.综上可知，直线BM与直线DE平行.【融会贯通】融会贯通能力提升(2015南京、盐城、徐州二模)如图，在平面
18、直角坐标系xOy中，椭圆E：+=1(ab0)的离心率为，直线l：y=x与椭圆E相交于A，B两点，AB=2，C，D是椭圆E上异于A，B的任意两点，且直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N，连接MN.(1)求a，b的值；(2)求证：直线MN的斜率为定值.【思维引导】(1)(2)方法一：方法二：【规范解答】(1)因为e=，所以c2=a2，即a2-b2=a2，所以a2=2b2，.2分所以椭圆的方程为+=1.由题意，不妨设点A在第一象限，点B在第三象限.由解得A.又AB=2，所以OA=，即b2+b2=5，解得b2=3，故a=，b=. .5分(2)方法一：由(1)知椭圆E的方程为 +=1，从而
19、A(2，1)，B(-2，-1).当AC，BC，AD，BD斜率都存在时，设直线AC，AD的斜率分别为k1，k2，C(x0，y0)，显然k1k2.从而k1kBC=-，所以kBC=-.同理kBD=-. .8分于是直线AD的方程为y-1=k2(x-2)，直线BC的方程为y+1=-(x+2).由解得从而点N的坐标为. .10分同理，得点M的坐标为， .12分所以kMN=-1，即直线MN的斜率为定值-1.14分当AC，BC，AD，BD中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线的斜率不存在.故不妨设直线AC的斜率不存在，从而C(2，-1).仍然设AD的斜率为k2，由知kBD=-.此时AC：x=2
20、，BD：y+1=-(x+2)，它们的交点M.BC：y=-1，AD：y-1=k2(x-2)，它们的交点N，从而kMN=-1也成立.综上，由可知直线MN的斜率为定值-1.16分方法二：由(1)知A(2，1)，B(-2，-1)，椭圆E：+=1，即x2+2y2=6.当直线AC，BD，AD，BC的斜率均存在时，设C(x1，y1)，则+2=6，变形得-4=-2(-1)，即=-，即kACkBC=-，从而kMAkNB=-.8分设M(xM，yM)，N(xN，yN)，则=-，即yMyN+yM-yN-1=-xMxN-xM+xN+2. .10分同理，由kMBkNA=-，得yMyN-yM+yN-1=-xMxN+xM-x
21、N+2.两式相减，得2(yM-yN)=-2(xM-xN)，所以kMN=-1.14分当直线AC，BD，AD，BC中有斜率不存在时，不妨设D(-2，1)，C(x1，y1)，x12.设M(-2，yM)，N(xN，1)，仍然有kMAkNB=-，得=-，即kMN=-1.综上所述，直线MN的斜率为定值-1.16分【精要点评】(1)处理圆锥曲线的问题有两种常见的方法：其一，直接法，即直接求解相关量，一般运算量较大；其二，努力探求解决问题的技巧，比如题中的设而不求等，这在一定程度上降低了运算量.(2)本题的本质是下面圆中的问题在圆锥曲线中的推广.如图，已知AB是圆O的直径，C，D是圆上异于A，B的两点，且AC
22、，BD相交于点M，BC，AD相交于点N，所以ABMN.由三角形的三条高交于一点立即可得.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习第125126页.【检测与评估】第63课直线与圆锥曲线的综合问题一、 填空题1(2015苏州调查)已知双曲线-=1(m0)的右焦点与抛物线y2=12x的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为.2(2015南通、扬州、泰州、淮安三调)在平面直角坐标系xOy中，点F为抛物线x2=8y的焦点，则点F到双曲线x2-=1的渐近线的距离为.3(2015盐城三模)若抛物线y2=8x的焦点F与双曲线-=1的一个焦点重合，则实数n的值为.4(2015全国卷)若一个圆经
23、过椭圆+=1的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为.5(2015湖南卷)设F是双曲线C：-=1(a0，b0)的一个焦点，若双曲线C上存在一点P，使线段PF的中点恰好为双曲线C的虚轴的一个端点，则双曲线C的离心率为.6(2015福建卷改编)已知椭圆E：+=1(ab0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x-4y=0交椭圆E于A，B两点.若AF+BF=4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是.7在平面直角坐标系xOy中，向量a=(mx，y+1)，向量b=(x，y-1)，且ab.若m0，则动点M(x，y)的轨迹为.8(2015山东卷)在平面直角坐标系xOy中，双曲线
24、C1：-=1(a0，b0)的渐近线与抛物线C2：x2=2py(p0)交于点O，A，B.若OAB的垂心为C2的焦点，则双曲线C1的离心率为.二、 解答题 9(2015安徽卷)设椭圆E的方程为+=1(ab0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a，0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，且满足BM=2MA，直线OM的斜率为.(1)求椭圆E的离心率e；(2)设点C的坐标为(0，-b)，N为线段AC的中点，求证：MNAB.10(2015泰州二模)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：+=1(ab0)的左顶点为A，与x轴平行的直线交椭圆E于B，C两点，连接AB，AC，过点B作AB的垂线，过点C作A
25、C的垂线，两条垂线相交于点D.已知椭圆E的离心率为，右焦点到右准线的距离为.(1)求椭圆E的标准方程；(2)求证：点D在一条定直线上运动，并求出该直线的方程.(3)求BCD面积的最大值.(第10题)11(2015南京三模)如图，在平面直角坐标系xOy中，设中心在坐标原点的椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，右准线l：x=m+1与x轴的交点为B，BF2=m.(1)已知点在椭圆C上，求实数m的值.(2)已知点A(-2，0).若椭圆C上存在点T，使得=，求椭圆C的离心率的取值范围；当m=1时，M为椭圆C上的动点，直线AM，BM分别与椭圆C交于另一点P，Q，若=，=，求证：+为定值.(第11题)三、
26、选做题12已知双曲线-=1(a0，b0)的离心率为2，F(2，0)是右焦点.若A，B为双曲线上关于原点对称的两点，且=0，则直线AB的斜率是.13已知椭圆+=1(ab0)的离心率是，过椭圆上一点M作直线MA，MB分别交椭圆于点A，B，且斜率分别为k1，k2若点A，B关于原点对称，则k1k2=.【检测与评估答案】第63课直线与圆锥曲线的综合问题1y=x【解析】由题意得=3，所以m=4，所以双曲线的渐近线方程为y=x.2【解析】由题可知点F(0，2)，双曲线的渐近线方程为y=3x，所以点F到双曲线的渐近线的距离d=.31【解析】因为抛物线y2=8x的焦点为F(2，0)，又在-=1中，c=，所以得=
27、2，解得n=14+y2=【解析】设圆心坐标为(a，0)，则半径为4-|a|，则(4-|a|)2=a2+22，解得a=，故圆的方程为+y2=.5【解析】根据对称性不妨设F(c，0)，虚轴端点为(0，b)，从而可知点(-c，2b)在双曲线上，所以-=1e=.6【解析】设左焦点为F1，连接AF1，BF1，则四边形BF1AF是平行四边形，故AF1=BF，所以AF+AF1=4=2a，所以a=2设M(0，b)，则，故b1，从而a2-c21，所以0c23，即00且m1时，方程表示的是椭圆；当m=1时，方程表示的是圆x2+y2=18【解析】双曲线C1：-=1的渐近线方程为y=x，则A，B.抛物线C2：x2=2
28、py的焦点F，则kAF=，即=，所以=e=.9(1)因为BM=2MA且A(a，0)，B(0，b)，所以M.又因为OM的斜率为，所以=，所以=，所以e=.(2)由题意可知点N的坐标为，所以kMN=，kAB=，所以kMNkAB=-=-1，所以MNAB.10 (1)由题意得=，-c=，解得a=3，c=，所以b=2，所以椭圆E的标准方程为+=1(2)设B(x0，y0)，C(-x0，y0).显然直线AB，AC，BD，CD的斜率都存在，设为k1，k2，k3，k4，则k1=，k2=，k3=-，k4=，所以直线BD，CD的方程分别为y=-(x-x0)+y0，y=(x+x0)+y0，消去y得-(x-x0)+y0
29、=(x+x0)+y0，化简得x=3，所以点D在定直线x=3上运动.(3)由(2)得点D的纵坐标yD=(3+x0)+y0=+y0.又+=1，所以-9=-，则yD=+y0=-y0，所以点D到直线BC的距离h=|yD-y0|=|y0|.将y=y0代入+=1，得x=3，所以SBCD=BCh=6 |y0|=|y0|=，当且仅当1-=，即y0=时等号成立，故当y0=时，BCD的面积取得最大值，为.11 (1)设椭圆C的方程为 +=1(ab0).由题意得解得所以椭圆C的方程为+=1因为椭圆C过点，所以+=1，解得m=2或m=-(舍去)，所以m=2(2)设点T(x，y).由=，得(x+2)2+y2=2(x+1
30、)2+y2，即x2+y2=2由得y2=m2-m.因此0m2-mm，解得1m2，所以椭圆C的离心率e=.方法一：设M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则=(x0+2，y0)，=(x1+2，y1).由=，得从而因为+=1，所以+(y1)2=1，即2+2(-1)x1+2(-1)2-1=0.因为+=1，代入得2(-1)x1+32-4+1=0.由题意知1，故x1=-，所以x0=.同理可得x0=.因此=，所以+=6方法二：设M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则直线AM的方程为y=(x+2).将y=(x+2)代入+y2=1，得x2+4x+4-(x0+2)2 =0.(*)因为+=1，所以(*)可化为(2x0+3)x2+4x-3-4x0=0.因为x0x1=-，所以x1=-.同理x2=.因为=，=，所以+=+=+=+=6，即+为定值612【解析】由题意知c=2，e=2，所以a=1，b2=3，所以双曲线的方程为x2-=1由A，B关于原点对称知OA=OB.由=0，知AFBF，所以OA=OB=OF=2，得+=4又-=1，所以=，所以=，即kAB=.13 -【解析】设M(x0，y0)，A(x1，y1)，则B(-x1，-y1)，从而k1k2=.又两式相减得=，故k1k2=-.又e=，所以=，故k1k2=-.
