1、立体几何的动态问题立体几何的动态问题，主要有五种：动点问题、翻折问题、旋转问题、投影与截面问题以及轨迹问题。基本类型：点动问题；线动问题；面动问题；体动问题；多动问题等。解题时一般可以通过改变视角、平面化或者寻找变化过程中的不变因素而把问题回归到最本质的定义、定理或现有的结论中，若能再配以沉着冷静的心态去计算，那么相信绝大多数问题可以迎刃而解。动点轨迹问题空间中动点轨迹问题变化并不多，一般此类问题可以从三个角度进行分析处理，一是从曲线定义或函数关系出发给出合理解释；二是平面与平面交线得直线或线段；三是平面和曲面（圆锥，圆柱侧面，球面）交线得圆，圆锥曲线。很少有题目会脱离这三个方向。（注意：阿波
2、罗尼斯圆，圆锥曲线第二定义）1（2015浙江卷8）如图1110，斜线段AB与平面所成的角为60，B为斜足，平面上的动点P满足PAB30，则点P的轨迹是()A直线 B抛物线C椭圆 D双曲线的一支式题 如图，平面的斜线AB交于B点，且与所成的角为，平面内有一动点C满足BAC，若动点C的轨迹为椭圆，则的取值范围为_3（2015春龙泉驿区校级期中）在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是A1D1的中点，点P在侧面BCC1B1上运动现有下列命题：若点P总保持PABD1，则动点P的轨迹所在的曲线是直线；若点P到点A的距离为，则动点P的轨迹所在的曲线是圆；若P满足MAPMAC1，则动点P的轨迹所在
3、的曲线是椭圆；若P到直线BC与直线C1D1的距离比为2：1，则动点P的轨迹所在的曲线是双曲线；若P到直线AD与直线CC1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是抛物线其中真命题的个数为（）A4B3C2D14（2018温州模拟）已知线段AB垂直于定圆所在的平面，B，C是圆上的两点，H是点B在AC上的射影，当C运动，点H运动的轨迹（）A是圆 B是椭圆C是抛物线 D不是平面图形5（2013铁岭模拟）如图所示，PAB所在的平面和四边形ABCD所在的平面互相垂直，且AD，BC，AD4，BC8，AB6若tanADP2tanBCP1，则动点P在平面内的轨迹是（）A椭圆的一部分 B线段C双曲线的一部分 D以上都
4、不是6（2013嘉兴二模）设m是平面内的一条定直线，P是平面外的一个定点，动直线n经过点P且与m成30角，则直线n与平面的交点Q的轨迹是（）A圆B椭圆C双曲线D抛物线7（2008浙江）如图，AB是平面a的斜线段，A为斜足，若点P在平面a内运动，使得ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（）A圆 B椭圆C一条直线 D两条平行直线8（2015春台州校级月考）AB是平面的斜线段，长度为2，点A是斜足，若点P在平面内运动，当ABP的面积等于3 时，点P的轨迹是（）A圆B椭圆C双曲线D抛物线9（2016浙江二模）在正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）ABCA1B1C1中，ABAA12若点M在ABC所在平面上
5、运动，且使得AC1M的面积为1，则动点M的轨迹为（）A圆B椭圆C双曲线D抛物线10（2016武汉校级模拟）如图，AB是平面外的固定斜线段，B为斜足，若点C在平面内运动，且CAB等于直线AB与平面所成的角，则动点C的轨迹为（）A圆B椭圆C双曲线D抛物线11（2008年浙江理10）如图，AB是平面的斜线段，A为斜足，若点P在平面内运动使得ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是 （ ）（A）圆 （B）椭圆 （C）一条直线 （D）两条平行直线12.（2014年金华高二十校联考文10）圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，M为正方形ABCD对角线的交点，动点P在圆柱下底面内（包括圆周），若直线BM与直线
6、MP所成角为45，则点P形成的轨迹为 ( ) BACDMPA椭圆的一部分B抛物线的一部分C双曲线的一部分 D. 圆的一部分 13（2014杭州二模）在等腰梯形ABCD中，E，F分别是底边AB，BC的中点，把四边形AEFD沿直线EF折起后所在的平面记为，p，设PB，PC与所成的角分别为1，2（1，2均不为零）若12，则满足条件的P所形成的轨迹是 14（2018秋诸暨市校级期中）如图，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，E，F分别是棱AD，BP上的动点，且满足AE2BF，则线段EF中点的轨迹是（）A一条线段 B一段圆弧C抛物线的一部分 D一个平行四边形15（2015秋太原期末）如图，在棱长为1
7、的正方体ABCDA1B1C1D1中，P为棱A1B1的中点，点Q在侧面DCC1D1内运动，给出下列结论：若BQA1C，则动点Q的轨迹是线段；若|BQ|，则动点Q的轨迹是圆的一部分；若QBD1PBD1，则动点Q的轨迹是椭圆的一部分；若点Q到AB与DD1的距离相等，则动点Q的轨迹是抛物线的一部分其中结论正确的是 （写出所有正确结论的序号）16如图，长方体ABCDABCD中，ABBC，AA，上底面ABCD的中心为O，当点E在线段CC上从C移动到C时，点O在平面BDE上的射影G的轨迹长度为（）ABCD17（2016秋温州期末）点P为棱长是2的正方体ABCDA1B1C1D1的内切球O球面上的动点，点M为B
8、1C1的中点，若满足DPBM，则动点P的轨迹的长度为（）ABCD18（2018宁波二模）已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为侧面BB1C1C中心，F在棱AD上运动，正方体表面上有一点P满足x（x0，y0），则所有满足条件的P点构成图形的面积为 19（2017定海区校级模拟）已知异面直线a，b所成角为60，直线AB与a，b均垂直，且垂足分别是点A，B若动点Pa，Qb，|PA|+|QB|m，则线段PQ中点M的轨迹围成的区域的面积是 20（2017秋赣州期末）如图，在等腰梯形ABCD中，CD2AB2EF2a，E，F分别是底边AB，CD的中点，把四边形BEFC沿直线EF折起，使得平面B
9、EFC平面ADFE若动点P平面ADFE，设PB，PC与平面ADFE所成的角分别为1，2（1，2均不为0）若12，则动点P的轨迹围成的图形的面积为（）ABCD 翻折问题面（动问题）翻折问题的一线五结论五结论：1）折线同侧的几何量和位置关系保持不变；折线两侧的几何量和位置关系发生改变； 1、（2016年联考试题）平面四边形ABCD中，AD=AB=，CD=CB= ,且，现将ABD沿对角线BD翻折成，则在折起至转到平面BCD的过程中，直线与平面BCD所成最大角的正切值为_ 2.（2015年10月浙江省学业水平考试18）如图，在菱形ABCD中，BAD=60，线段AD，BD的中点分别为E，F。现将ABD沿
10、对角线BD翻折，则异面直线BE与CF所成角的取值范围是A. B. C. D. 3.（2015年浙江理8）如图，已知，是的中点，沿直线将折成，所成二面角的平面角为，则 （ ）A. B. C. D. 4（14年1月浙江省学业学考试题）如图在RtABC中，AC1，BCx，D是斜边AB的中点，将BCD沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CBAD，则x的取值范围是()A(0， B. C(，2 D(2，45（2016年文）如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，ADC=90沿直线AC将ACD翻折成ACD，直线AC与BD所成角的余弦的最大值是 6（2016年理）如图，在中
11、，。若平面外的点和线段上的点，满足，则四面体的体积的最大值是 .7在直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，M，E分别为AD，CD的中点，N为B上的点，MNBC，且BC3，AD2，CD1，现将四边形ABNM沿直线MN翻折，则在翻折过程中，（）A直线AB与直线NE所成的角不可能为25 B直线AB与直线NE所成的角不可能为50C直线AB与平面MNCD所成的角不可能为25D直线AB与平面MNCD所成的角不可能为508（2016届温州一模8）如图，在矩形中，点在线段上且，现分别沿将翻折，使得点落在线段上，则此时二面角的余弦值为 ( ) ABC D（第8题）9如图1，在矩形中，分别为边上的点，且现将四
12、边形沿折起（如图2），使面面，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 10（2016届丽水一模13）已知正方形，E是边AB的中点，将沿折起至，如图所示，若为正三角形，则与平面所成角的余弦值是 . 三、课后练习1、（2012年浙江10）已知矩形ABCD，AB=1，BC=。将沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中（ ）A.存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直. B.存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直.C.存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直.D.对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直2（2009年浙江17）如图，在长
13、方形ABCD中，AB=2,BC=1,E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点，现将AFD沿AF折起，使平面ABD平面ABC,在平面ABD内过点D作DKAB,K为垂足，设AK=t,则t的取值范围是. 3（16年浙江六校联考）如图，在边长为的正方形中，为正方形边上的动点，现将所在平面沿折起，使点在平面上的射影在直线上，当从点运动到，再从运动到，则点所形成轨迹的长度为 .4如图，在ABC中，ACB90，CAB，M为AB的中点将ACM沿着CM翻折至ACM，使得AMMB，则的取值不可能为（）ABCD5.（2010年浙江19改编）如图，在矩形中，点E，F分别在线段，上，沿直线将翻折成，使平面平面点
14、分别在线段上，若沿直线将四边形向上翻折，使与重合，则线段的长为_ AMFEDCBN6如图，在矩形ABCD中，AB2，AD1，M为AB的中点，将ADM沿DM翻折在翻折过程中，当二面角ABCD的平面角最大时，其正切值为（）ABCD7（2018绍兴一模）如图，在ABC中，ACB90，CAB，M为AB的中点将ACM沿着CM翻折至ACM，使得AMMB，则的取值不可能为（）ABCD8（2019梅州一模）在等腰直角ABC中，ABAC，BC2，M为BC中点，N为AC中点，D为BC边上一个动点，ABD沿AD翻折使BDDC，点A在平面BCD上的投影为点O，当点D在BC上运动时，以下说法错误的是（）A线段NO为定长
15、BAMO+ADB180C线段CO的长|CO|1，）D点O的轨迹是圆弧9（2018台州一模）如图，在直角梯形ABCD中，ABCD，ABC90，AB1，ACCDDA2，动点M在边DC上（不同于D点），P为边AB上任意一点，沿AM将ADM翻折成ADM，当平面ADM垂直于平面ABC时，线段PD长度的最小值为 10.如图，已知矩形ABCD中,AB=3，AD=1,AF平面ABC，且AF=3. E为线段DC上一点，沿直线AE将DAE翻折成DAE, M为BD的中点，则三棱锥M-BCF体积的最小值是 .以静制动（旋转问题、投影与截面问题）1.（2006年浙江理14）正四面体ABCD的棱长为1，棱AB平面，则正四
16、面体上的所有点在平面内的射影构成的图形面积的取值范围是 . 2.（16届高考模拟卷理）正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，底面ABCD的对角线BD在平面内，则正方体在平面内的投影构成的图形面积的取值范围是 3.（16届嘉兴一模文15）边长为1的正方体将其对角线与平面垂直，则正方体在平面上的投影面积为 4.如图，直线平面，垂足为，正四面体的棱长为4，在平面内，是直线上的动点，则当到的距离为最大时，正四面体在平面上的射影面积为 （ ）A B C D5.棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1在空间直角坐标系中移动，但保持点A、B分别在X轴、y轴上移动，则点C1到原点O的最远距离为（ ）A B
17、 C5 D 46.（16届宁波一模理14）在中， ，将直线绕旋转得到，直线绕旋转得到，则在所有旋转过程中，直线与直线所成角的取值范围为_ 7.（2012浙江校级模拟）如图，在正方形ABCD中，E，F分别为线段AD，BC上的点，ABE20，CDF30将ABE绕直线BE、CDF绕直线CD各自独立旋转一周，则在所有旋转过程中，直线AB与直线DF所成角的最大值为 8.（2018秋浙江期中）如图，正方形ABCD与矩形BCEF所成的二面角的平面角的大小是，现将ABD绕AB旋转一周，则在旋转过程中，直线BD与平面BCEF所成角的取值范围是 动态最值问题1（16届高考模拟卷理）将一个棱长为的正方体嵌入到四个半
18、径为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内，使得正方体能够任意自由地转动，则的最大值为（ ）A B C D 2如图所示，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P，Q分别为BD1，BB1上的动点，则C1PQ周长的最小值为（）ABCD3（2014秋西城区期末）如图，在边长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，P、Q分别为棱AB、A1D1的中点，M、N分别为面BCC1B1和DCC1D1上的点，一质点从点P射向点M，遇正方体的面反射（反射服从光的反射原理），反射到点N，再经平面反射，恰好反射至点Q，则三条线段PM、MN、NQ的长度之和为（）ABC2D34(2014年7月浙江学考第25题)在
19、棱长为1的正方体中，E、F分别是棱的中点，为线段的中点，若、M分别为的动点，则PM+PN的最小值为 （第10题）5.如图，在四棱柱中，底面ABCD是边长为1的正形，底面ABCD，E为棱的中点，点M是四棱柱表面上的一个动点，且，则最小值为( ) A. B. C. D.36如图，在平面四边形ABCD中，ABBC1，ADCD，DABDCB90，点P为AD中点，M，N分别在线段BD，BC上，则PM的最小值为 7如图，在棱长为2的正四面体SABC中，动点P在侧面SAB内，PQ底面ABC，垂足为Q，若，则PC长度的最小值为 8（2018金华模拟）如图，若三棱锥ABCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距
20、离与到点A的距离之比为正常数，且动点P的轨迹是抛物线，则二面角ABCD平面角的余弦值为（）ABCD9（15年上海高考题改编）在四面体中，已知， ，则最大值的取值范围是A. B. C. D. 10（2016秋越城区校级期末）如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P，Q分别是线段CC1，BD上的点，R是直线AD上的点，满足PQ平面ABC1D1，PQRQ，且P、Q不是正方体的顶点，则|PR|的最小值是（）ABCD11（16届金华十校一模理14）在四面体ABCD中，已知ADBC，AD=6，BC=2，且，则V四面体ABCD的最大值为A. 6 B. C. D.812.在正四面体ABCD中，M
21、是AB的中点，N是棱CD上的一个动点，若直线MN与BD所成的角为，则cos 的取值范围是_13如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，若BC2，AD4，且ABDACD60，则四面体ABCD的体积的最大值是 OABCDA1B1C1D115.（15届高考模拟卷文）如图，已知球是棱长为1 的正方体的内切球，则平面截球的截面面积为 15.（2014浙江卷理科17）某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角的大小若AB15 m，AC25 m，BCM30，则tan 的最大值
22、是_(仰角为直线AP与平面ABC所成角)16.（16届金华十校一模17）如图，在矩形ABCD中，已知AB=2，AD=4，点E、F分别在AD、BC上，且AE=1，BF=3，将四边形AEFB沿EF折起，使点B在平面CDEF上的射影H在直线DE上.()求证: CDBE; ()求线段BH的长度；()求直线AF与平面EFCD所成角的正弦值.FCABDEHAEFCDB17（2018诸暨市二模）如图，矩形中ABCD，AB1，BC，E是线段BC（不含点C）上一动点，把ABE沿AE折起得到ABE，使得平面BAC平面ADC，分别记BA，BE与平面ADC所成角为，平面BAE与平面ADC所成锐角为，则（）AB2C2D
23、tan2tan18（2017秋嘉兴期末）如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱AA1，CC1的中点，过EF的平面与棱BB1，DD1分别交于点G，H设BGx，x0，1四边形EGFH一定是菱形；AC平面EGFH；四棱锥AEGFH的体积为定值四边形EGFH的面积Sf（x）在区间0，1上具有单调性；以上结论正确的个数是（）A4B3C2D119（2018秋小店区校级期中）在三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC90，D，E分别是BC，AB的中点，ABAC，且ACAD设PC与DE所成角为，PD与平面ABC所成角为，二面角PBCA为，则（）ABCD20（2017秋嵊州市期末）如图，
24、正四面体ABCD，P是棱CD上的动点，设CPtCD （t（0，1），分别记AP与BC，BD所成角为，则（）A B C当t（0，时， D当t（0，时，22. 已知正方体ABCD -A1B1C1D1，空间一动点P满足A1P丄AB1，且APB1=ADB1，则点P的轨迹为A.直线B.圆C.椭圆D.抛物线方法总结解决立体几何动态问题的方法：立体几何中的“动态问题”是指空间中的某些点、线、面的位置是不确定的或可变的一类开放性问题应该动静结合、化动为静,找到相应的几何关系,具体可以有以下几种解决方法:(1)函数法:某些点、线、面的运动,必然导致某些位置关系或一些变量的变化.变量变化时会引发其他变量的变化,从而建立函数关系,将立体几何问题转化为函数问题来解(2)解析法:我们常利用空间直角坐标系解决立体几何问题,即实现几何问题代数化.因此利用空间坐标系将空间图形中的若干元素坐标化后,借助向量进行运算和分析,是解决这类问题的常用方法.(3)等价转换法:动和静是相对的,在运动变化过程中,要善于寻找或构造与之相关的一些不变因素,将一些变化的点、线、面进行合理转换,实现变量与不变量的结合.
