1、第三章空间向量与立体几何单元小结核心速填1空间向量的有关定理和推论(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数，使得ab.(2)共线向量定理的推论：若，不共线，则P，A，B三点共线的充要条件是，且1.(3)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使得pxayb.(4)共面向量定理的推论：已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，则P，A，B，C四点共面的充要条件是xyz(其中xyz1)(5)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得
2、pxaybzc，其中a，b，c叫做空间的一个基底2空间向量运算的坐标表示设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)(1)ab(a1b1，a2b2，a3b3)，ab(a1b1，a2b2，a3b3)，a(a1，a2，a3)，aba1b1a2b2a3b3.(2)重要结论：ababa1b1，a2b2，a3b3(R)；abab0a1b1a2b2a3b30.3模、夹角和距离公式(1)设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则|a|；cosa，b.(2)设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则dAB|.4空间向量的结论与线面位置关系的对应关系(1)设直线l的方向向量是u(a1，b
3、1，c1)，平面的法向量v(a2，b2，c2)，则luvuv0a1a2b1b2c1c20，luvukv(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)a1ka2，b1kb2，c1kc2(kR)(2)设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面，的法向量分别为u，v，则lmabakb，kR；lmabab0；lauau0；lauaku，kR；uvukv，kR；uvuv0.5空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2的夹角满足cos |cosm1，m2|.(2)设直线l的方向向量和平面的法向量分别为m，n，则直线l与平面的夹角满足sin |cosm，n|.(3)求
4、二面角的大小：()如图31，AB，CD是二面角l的两个半平面，内与棱l垂直的直线，则二面角的大小，图31()如图31，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足cos cosn1，n2或cosn1，n2体系构建题型探究类型一、空间向量的基本概念及运算例1、如图32，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A、B、C、D的距离都等于2.给出以下结论：图320；0；0；0.其中正确结论的序号是_规律方法1.空间向量的线性运算包括加、减及数乘运算，选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的基本要求，解题时可结合
5、已知和所求，根据图形，利用向量运算法则表示所需向量2空间向量的数量积(1)空间向量的数量积的定义表达式ab|a|b|cosa，b及其变式cosa，b是两个重要公式(2)空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公式，如a2|a|2，a在b上的投影|a|cos 等跟踪训练1.如图33，已知ABCDABCD是平行六面体设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCCB对角线BC上的分点，设，则_.图33类型二、空间向量的坐标运算例2、(1)已知a(2,3，4)，b(4，3，2)，bx2a，则x()A(0,3，6)B(0,6，20)C(0,6，6)D(6,6，6)(2)已知向量a(x,1,2)，b(
6、1，y，2)，c(3,1，z)，ab，bC求向量a，b，c；求ac与bc所成角的余弦值. 规律方法熟记空间向量的坐标运算公式设a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，(1)加减运算：ab(x1x2，y1y2，z1z2).(2)数量积运算：abx1x2y1y2z1z2.(3)向量夹角：cosa，b.(4)向量长度：设M1(x1，y1，z1)，M2(x2，y2，z2)，则|.提醒：在利用坐标运算公式时注意先对向量式子进行化简再运算.跟踪训练2在空间直角坐标系中，已知点A(1，2,11)，B(4,2,3)，C(6，1,4)，则ABC一定是()A等腰三角形B等边三角形C直角三角形D等腰直角三角
7、形类型三、利用空间向量证明平行、垂直问题例3、在四棱锥PABCD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PAADCD2AB2，M为PC的中点(1)求证：BM平面PAD；(2)平面PAD内是否存在一点N，使MN平面PBD？若存在，确定N的位置；若不存在，说明理由思路探究(1)证明向量垂直于平面PAD的一个法向量即可；(2)假设存在点N，设出其坐标，利用，列方程求其坐标即可 规律方法利用空间向量证明空间中的位置关系(1)线线平行：证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量(2)线线垂直：证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直(3)线面平行：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直
8、；证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可用平面内两不共线向量线性表示(4)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量平行；利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题(5)面面平行：证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；转化为线面平行、线线平行问题(6)面面垂直：证明两个平面的法向量互相垂直；转化为线面垂直、线线垂直问题跟踪训练3如图34，长方体ABCDA1B1C1D1中，点M，N分别在BB1，DD1上，且AMA1B，ANA1D图34(1)求证：A1C平面AMN.(2)当AB2，AD2，A1A3时，问在线段AA1上是否存在一点P使得C1P
9、平面AMN，若存在，试确定P的位置. 类型四、利用空间向量求空间角例4、如图35，在等腰直角三角形ABC中，A90，BC6，D，E分别是AC，AB上的点，CDBE，O为BC的中点将ADE沿DE折起，得到如图(2)所示的四棱锥ABCDE，其中AO.(1)(2)图35(1)证明：AO平面BCDE；(2)求二面角ACDB的平面角的余弦值思路探究(1)利用勾股定理可证AOOD，AOOE，从而证得AO平面BCDE；(2)用“三垂线”法作二面角的平面角后求解或用向量法求两个平面的法向量的夹角规律方法 用向量法求空间角的注意点(1)异面直线所成角：两异面直线所成角的范围为090，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解(2)直线与平面所成的角：要求直线a与平面所成的角，先求这个平面的法向量n与直线a的方向向量a夹角的余弦cosn，a，易知n，a或者n，a(3)二面角：如图36，有两个平面与，分别作这两个平面的法向量n1与n2，则平面与所成的角跟法向量n1与n2所成的角相等或互补，所以首先应判断二面角是锐角还是钝角图36跟踪训练4在如图37所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的一条母线图37(1)已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH平面ABC(2)已知EFFBAC2，ABBC，求二面角FBCA的余弦值.
