1、知识点一知识点一 判定三角形全等的条件判定三角形全等的条件边边边边边边 内容应用格式图形表示边边边(SSS)三边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”)在ABC和ABC中,ABCABC(SSS)注意用“”表示时,对应顶点写在对应的位置上ABAB,ACAC,BCBC,例1如图4-3-1,AB=DC,AF=DE,BE=CF,B,E,F,C在同一直线上,试说明:ABF DCE.图4-3-1分析分析要说明ABF DCE,需要得出这两个三角形的三对对应边相等,题目提供的条件中“AB=DC,AF=DE”恰好是对应边相等,我们只需再得到BF=CE即可,这个可由“BE=CF”运用等式性质,
2、两边同时加上EF获得.解析解析BE=CF,BE+EF=CF+EF,即BF=CE.在ABF和DCE中,ABF DCE(SSS).,ABDCAFDEBFCE知识点二知识点二 判定三角形全等的条件判定三角形全等的条件角边角、角角边角边角、角角边 内容应用格式图形表示角边角(ASA)两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”)在ABC和ABC中,ABCABC(ASA)角角边(AAS)两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”)在ABC和ABC中,ABCABC(AAS)BB,BCBC,CC,AA,BB,BCBC,知识详解(1)用
3、“ASA”判定两个三角形全等的条件是两角及这两个角的夹边对应相等.因此列举两个三角形全等的条件时,一定要把夹边写在中间,以突出边角的位置及对应关系,避免出错.(2)用“AAS”来判定两个三角形全等时,要注意边是其中一角的对边,三个条件一定要对应,按“角角边”的顺序列出全等的三个条件.(3)“AAS”与“ASA”的联系结合三角形的内角和定理可知,“AAS”可由“ASA”推导得出,将两者结合起来可得出:两个三角形,如果具备两个角和一边对应相等,就可判定其全等.其中“对应”必不可少.如图,ABC与DEF不全等例2 (2017四川宜宾中考)如图4-3-2,已知点B、E、C、F在同一条直线上,AB=DE
4、,A=D,ACDF.试说明:BE=CF.图4-3-2分析分析由ACDF可得ACB=F,又A=D,AB=DE,可以利用AAS得到ABC DEF,根据全等三角形的对应边相等可得BC=EF,都减去EC即可得BE=CF.解析解析ACDF,ACB=F,在ABC和DEF中,ABC DEF(AAS),BC=EF,BC-CE=EF-CE,即BE=CF.,ADACBFABDE 知识点三知识点三 判定三角形全等的条件判定三角形全等的条件边角边边角边 内容应用格式图形表示边角边(SAS)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”)在ABC和ABC中,ABCABC(SAS)知识详解(1
5、)用“SAS”判定两个三角形全等时,对应相等的三对元素中的角必须是两条边的夹角,而不是其中一边的对角.书写时,要按照边角边的顺序来写.(2)当角是一组相等边的对角,即两边和其中一边的对角分别相等时,两个三角形不一定全等.如图所示,在ABC和ABD中,AB=AB,AC=AD,B=B(B分别是AC,AD边的对角),显然ABC和ABD不全等ABAB,BB,BCBC,例3 (2017四川南充中考)如图4-3-3,DEAB,CFAB,垂足分别是点E、F,DE=CF,AE=BF,试说明:ACBD.图4-3-3分析分析欲得出ACBD,只要得出A=B,从而只要得出DEBCFA即可.解析解析DEAB,CFAB,
6、DEB=AFC=90,AE=BF,AF=BE.在DEB和CFA中,DEB CFA(SAS),B=A,ACDB.,DECFDEBAFCBEAF 知识点四知识点四 全等三角形判定方法的灵活运用全等三角形判定方法的灵活运用判定两个三角形全等时,如果给出的条件不全面,则需要根据已知的条件结合相应的判定方法进行分析,先找出所缺的条件再说明全等.具体思路如下:(1)已知两边思路一(找第三边)思路二(找角)AB=DE,BC=EF首先找出AC=DF,然后应用“SSS”判定全等找夹角:首先找出B=E,然后应用“SAS”判定全等;找直角用“HL”判定全等(后面会学到)(2)已知两角思路一(找夹边)思路二(找角的对
7、边)A=D,B=E首先找出AB=DE,然后应用“ASA”判定全等首先找出AC=DF或BC=EF,然后应用“AAS”判定全等(3)已知一边一角思路一(找夹角的另一边)思路二(找夹边的另一角)思路三(找边的对角)边为角的邻边:AB=DE,B=E首先找出BC=EF,然后应用“SAS”判定全等首先找出A=D,然后应用“ASA”判定全等首先找出C=F,然后应用“AAS”判定全等边为角的对边:AC=DF,B=E找边的邻角对应相等,先找出A=D或C=F,然后应用“AAS”判定全等例4如图4-3-4,在ABC中,点D是BC的中点,作射线AD,在线段AD及其延长线上分别取点E,F,连接CE,BF.添加一个条件,
8、使得BDF CDE,并说明理由.你添加的条件是 (不添加辅助线).图4-3-4分析分析由中点知BD=CD,又由对顶角相等知BDF=CDE,故可添加一个条件用“SAS”或“AAS”或“ASA”判定两三角形全等.解析解析可添加的条件是DE=DF(或CEBF或ECD=DBF或DEC=DFB).理由:(以DE=DF为例)D是BC的中点,BD=CD.在BDF和CDE中,BDF CDE(SAS).,BDCDBDFCDEDFDE 知识点五知识点五 三角形的稳定性三角形的稳定性只要三角形三条边的长确定了,这个三角形的大小和形状就确定了,这就是三角形的稳定性.三角形的稳定性在实际生活中应用很广,无论什么构件,只
9、要做成三角形形状,放于任何地方都不变形.例5木匠师傅用4根木条钉成一个四边形木架,如图4-3-5,要使这个木架不变形,他至少要再钉上 根木条.()图4-3-5A.0 B.1 C.2 D.3解析解析连接AC或BD,构成三角形,三角形具有稳定性.答案答案 B题型一题型一 利用三角形全等说明两直线的位置关系利用三角形全等说明两直线的位置关系例1如图4-3-6,ABC是等边三角形,D是AB上一点,以CD为边作等边三角形CDE,使点E,A在直线CD的同侧,连接AE.试说明:AEBC.图4-3-6分析分析根据等边三角形的三边相等,三个角相等,推出AC=BC,CE=CD,B=BCA=ECD=60,进而得出A
10、CE=BCD,从而根据“SAS”得出ACE BCD,可得EAC=B=60=BCA,进而得出AEBC.解析解析因为ABC和DEC是等边三角形,所以AC=BC,CE=CD,B=BCA=ECD=60.所以ACE=BCD.在ACE和BCD中,所以ACE BCD(SAS),所以EAC=B=60=BCA.所以AEBC.,ACBCACEBCDCECD 点拨点拨要得出两直线平行,一般将问题转化为两角(同位角、内错角或同旁内角)的关系,可利用三角形全等来完成.题型二题型二 利用三角形全等解决线段的和利用三角形全等解决线段的和(差差)问题问题例2如图4-3-7,在ABC中,AB=AC,BAC=90,分别过点B,C
11、向过点A的直线作垂线,垂足分别为点E,F.图4-3-7(1)如图4-3-7,过点A的直线与斜边BC不相交时,试说明:EF=BE+CF;(2)如图4-3-7,过点A的直线与斜边BC相交时,其他条件不变.若BE=10,CF=3,求EF的长.分析分析(1)首先根据已知条件得出ABE CAF,然后利用对应边相等就可以得出EF=BE+CF.(2)与(1)同理可知ABE CAF仍成立,再根据对应边相等求出EF的长.解析解析(1)因为BEEF,CFEF,所以BEA=AFC=90.因为BAC=BEA=90,所以EAB+FAC=90,EBA+EAB=90.所以EBA=FAC.在ABE和CAF中,所以ABE CA
12、F(AAS).所以AE=CF,BE=AF.所以EF=BE+CF.,BEAAFCEBAFACABCA (2)与(1)同理可得到ABE CAF.所以AE=CF=3,AF=BE=10.所以EF=AF-AE=10-3=7.点拨点拨解决线段的和(差)问题,通常把各线段转化到同一条直线上,可用全等三角形进行转化.易错点易错点 错用错用“SAS”例如图4-3-8,DAC=CBD,CAB=DBA,AD=BC,试说明:ABD BAC.图4-3-8错解错解在ABD和BAC中,因为所以ABD BAC(SAS).,ADBCCABDBAABAB 错因分析错因分析CAB和DBA并不是AD与AB和BC与AB的夹角.正解正解
13、因为DAC=CBD,CAB=DBA,所以DAC+CAB=CBD+DBA,即DAB=ABC.在ABD和BAC中,因为所以ABD BAC(SAS).,ADBCDABCBAABAB 知识点一知识点一 判定三角形全等的条件判定三角形全等的条件边边边边边边1.如图4-3-1,在ABC和FED中,AC=FD,BC=ED,要利用“SSS”来判定ABC和FED全等,下面的4个条件中:AE=FB;AB=FE;AE=BE;BF=BE,可利用的是()图4-3-1A.或 B.或 C.或 D.或答案答案 A由题意可得,要用“SSS”进行ABC和FED全等的判定,只需AB=FE,若添加AE=FB,则可得AE+BE=FB+
14、BE,即AB=FE,故可以;显然可以;若添加AE=BE或BF=BE,均不能得出AB=FE,故不可以,故选A.2.如图4-3-2,已知AD=CB,若利用“SSS”来判定ABC CDA,则添加的条件是 .图4-3-2答案答案 AB=CD3.如图4-3-3,AB=AE,AC=AD,BD=CE,试说明:ABC AED.图4-3-3解析解析因为BD=CE,所以BD-CD=CE-CD,即BC=ED.在ABC和AED中,所以ABC AED.,ABAEACADBCED知识点二知识点二 判定三角形全等的条件判定三角形全等的条件角边角、角角边角边角、角角边4.如图4-3-4,小红同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块
15、,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是()A.带去 B.带去C.带去 D.带和去图4-3-4答案答案 C中有完整的B,C和BC边,由“ASA”可配出完全一样的玻璃.5.已知在ABC和A1B1C1中,AB=A1B1,A=A1,要使ABC A1B1C1,还需添加一个条件,这个条件可以是 .答案答案C=C1或B=B1 6.如图4-3-5,在ABC中,D是BC边上的点(不与B,C重合),F,E分别是AD及其延长线上的点,CFBE.请你添加一个条件,使BDE CDF.(不再添加其他线段,不再标注或使用其他字母)图4-3-5(1)你添加的条件是 ;(2)试说明:BDE CDF.解析解析
16、(1)BD=DC(或点D是线段BC的中点或ED=FD或CF=BE).(2)以BD=DC为例进行说明:因为CFBE,所以EBD=FCD.又因为BD=DC,EDB=FDC,所以BDE CDF.知识点三知识点三 判定三角形全等的条件判定三角形全等的条件边角边边角边7.如图4-3-6,ABCD,AB=CD,BE=DF,则图中的全等三角形有()图4-3-6A.3对 B.4对 C.5对 D.6对答案答案 AABCD,ABD=CDB.由“SAS”可判定ABD CDB,ABE CDF,进而可证得AED CFB.8.(2018广东中山期末)如图4-3-7,点E、F在BC上,BE=FC,AB=DC,B=C.试说明
17、:A=D.图4-3-7解析解析 BE=FC,BE+EF=FC+EF,即BF=EC,在ABF和DCE中,ABF DCE(SAS),A=D.,ABDCBCBFEC 知识点四知识点四 全等三角形判定方法的灵活运用全等三角形判定方法的灵活运用9.已知ABC的六个元素,则图4-3-8中的甲、乙、丙三个三角形和图4-3-8中的ABC全等的是()图4-3-8A.甲、乙 B.丙 C.乙、丙 D.乙答案答案 C由SAS可判定乙三角形与ABC全等,由AAS可判定丙三角形与ABC全等.10.(2016江苏连云港灌云西片月考)如图4-3-9,已知:点B、F、C、E在一条直线上,FB=CE,AC=DF.能否由上面的已知
18、条件得出ABED?如果能,请说明理由;如果不能,请从下列四个条件中选择一个合适的条件,添加到已知条件中,使ABED成立,并说明理由.供选择的四个条件:AB=DE;A=D=90;ACB=DFE;A=D.图4-3-9解析解析不能;选择条件AB=DE(还可选择条件或,但不能选择条件).理由:FB=CE,FB+FC=CE+FC,即BC=EF,在ABC和DEF中,ABC DEF(SSS),B=E,ABED.,ACDFBCEFABDE知识点五知识点五 三角形的稳定性三角形的稳定性11.下面图形中具有稳定性的是()答案答案 A三角形具有稳定性.故选A.12.如图4-3-10是一个由四根木条钉成的框架,拉动其
19、中两根木条后,它的形状将会改变,若想固定其形状,下列有四种加固木条的方法,不能固定形状的是钉在 两点上的木条.()图4-3-10A.A,F B.B,E C.C,A D.E,F答案答案 D1.如图,已知AB=AC,BD=DC,那么下列结论中不正确的是 ()A.ABD ACD B.ADB=90C.BAD是B的一半 D.AD平分BAC答案答案 C由“SSS”可判定ABD ACD,ADB=ADC=90,BAD=CAD.A、B、D选项均正确.2.如图,在ABC和ADE中,AB=AD;AC=AE;BC=DE;C=E;B=ADE.下列四个选项分别以其中三个为条件,剩下两个为结论,则错误的是()A.若成立,则
20、成立B.若成立,则成立C.若成立,则成立D.若成立,则成立答案答案 D SSA不能判定三角形全等.3.教室的门松动了,老师用一根木条斜着钉上去,门就不松动了,这是什么道理?解析解析因为教室的门是四边形,四边形具有不稳定性,易松动.斜钉一根木条就变成了三角形,而三角形具有稳定性,所以门就不再松动了.4.如图,AB=CD,ABCD,CE=AF.试说明:E=F.解析解析CE=AF,AE=CF.ABCD,DCA=CAB.在ABE与CDF中,ABE CDF(SAS),E=F.,ABCDBAEDCFAECF 1.(2015湖北宜昌中考)两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”,如图4-3-11,四边形ABCD
21、是一个筝形,其中AD=CD,AB=CB,詹姆斯在探究筝形的性质时,得到如下结论:ACBD;AO=CO=AC;ABD CBD.其中正确的结论有()图4-3-11A.0个 B.1个 C.2个 D.3个12答案答案 D在ABD与CBD中,ABD CBD(SSS),ADB=CDB,在AOD与COD中,AOD COD(SAS),AOD=COD=90,AO=OC,ACDB,AO=CO=AC.综上,正确,故选D.,ADCDABBCDBDB,ADCDADOCDOODOD 122.(2015四川宜宾中考)如图4-3-12,AC=DC,BC=EC,ACD=BCE.试说明:A=D.图4-3-12解析解析 ACD=B
22、CE,ACD+ACE=BCE+ACE,即DCE=ACB.在ACB和DCE中,ACB DCE,A=D.,ACDCACBDCEBCEC 3.如图4-3-13,已知A,D,E三点共线,C,B,F三点共线,AB=CD,AD=CB,DE=BF,那么BE与DF之间有什么数量关系?请说明理由.图4-3-13解析解析 BE=DF.理由如下:如图,连接BD.在ABD和CDB中,所以ABD CDB(SSS).所以A=C.因为AD=CB,DE=BF,所以AD+DE=CB+BF,即AE=CF,ABCDADCBBDDB在ABE和CDF中,所以ABE CDF(SAS),所以BE=DF.,AECFACABCD 1.(201
23、6河北唐山乐亭期中)如图,在长方形ABCD中,AB=4,AD=6.延长BC到点E,使CE=2,连接DE,动点P从点B出发,以每秒2个单位的速度沿BCCDDA向终点A运动,设点P的运动时间为t秒,当t的值为 时,ABP和DCE全等.()A.1 B.1或3 C.1或7 D.3或7答案答案 C AB=CD,DCE=90,若ABP=DCE=90,BP=CE=2,则根据SAS可证得ABP DCE,此时BP=2t=2,所以t=1;若BAP=DCE=90,AP=CE=2,则根据SAS可证得BAP DCE,此时AP=16-2t=2,解得t=7.综上,当t的值为1或7时,ABP和DCE全等.故选C.2.如图,已
24、知点D是ABC的边AB上一点,ABFC,DF交AC于点E,DE=EF.试说明:ADE CFE.解析解析解法一:ABFC,F=ADE.在ADE和CFE中,有ADE CFE(ASA).解法二:ABFC,A=ECF,在ADE和CFE中,有ADE CFE(AAS).,ADEFDEFEAEDCEF ,AECFAEDCEFDEFE 3.如图,在ABC与ABD中,BC=BD,点E为BC的中点,点F为BD的中点,连接AE,AF,AE=AF.试说明:C=D.解析解析 点E、点F分别为BC、BD的中点,BE=BC,BF=BD,又BC=BD,BE=BF.在ABE和ABF中,ABE ABF(SSS),ABE=ABF(
25、全等三角形的对应角相等).在ABC和ABD中,ABC ABD(SAS),C=D(全等三角形的对应角相等).1212,AEAFBEBFABAB,ABABABCABDBCBD 一、选择题一、选择题1.(2018甘肃临泽二中月考,6,)如图4-3-14所示,在下列条件中,不能判断ABD BAC的条件是()图4-3-14A.D=C,BAD=ABCB.BAD=ABC,ABD=BACC.BD=AC,BAD=ABCD.AD=BC,BD=AC答案答案 C对于C,BAD与ABC不是BD和AB与AC和AB的夹角,所以不能判断ABD BAC.二、填空题2.(2018广东佛山顺德江义初中期中,11,)如图4-3-15
26、所示,建高楼常需要用塔吊来吊建筑材料,而塔吊的上部是三角形结构,这是因为三角形具有 .图4-3-15答案答案稳定性3.(2018江苏无锡宜兴月考,14,)如图4-3-16,DAB=EAC=65,AB=AD,AC=AE,BE和CD相交于点O,AB和CD相交于P,AC和BE相交于F,则DOE的度数是 .图4-3-16答案答案115解析解析DAB=EAC=65,DAB+BAC=BAC+EAC,DAC=EAB.在ADC和ABE中,ADC ABE(SAS),E=ACD,又AFE=OFC,EAF=COF=65,DOE=180-COF=115.,ADABDACEABACAE 三、解答题三、解答题4.(201
27、8广东河源正德中学段考,22,)如图4-3-17,已知AB=AC,B=C,试说明:BD=CE.图4-3-17解析解析在ABD和ACE中,B=C,A=A,AB=AC,ABD ACE(ASA),BD=CE(全等三角形的对应边相等).5.(2017陕西西安七十中月考,21,)如图4-3-18,AB=AC,AD=AE,BE=CD,试说明:ABD ACE.图4-3-18解析解析BE=CD,BE+ED=CD+ED,即BD=CE.又AB=AC,AD=AE,ABD ACE(SSS).1.(2018四川成都成华月考,11,)如图,A、B、C、D四点在一条直线上,AB=CD,ECAD于C,FBAD于B,若要使AC
28、E DBF,则还需补充条件 .(写出一种即可)答案答案A=D(或E=F或CE=BF或AE=DF等)解析解析A、B、C、D四点在一条直线上,AB=CD,AC=BD.又ECAD于C,FBAD于B,ACE=DBF=90,当根据ASA判定ACE DBF时,需要添加A=D.当根据AAS判定ACE DBF时,需要添加E=F.当根据SAS判定ACEDBF时,需要添加CE=BF.当根据HL判定RtACE RtDBF时,需要添加AE=DF.故答案是A=D(或E=F或CE=BF或AE=DF等).2.(2018江苏扬州广陵月考,15,)如图,RtABC中,BAC=90,AB=AC,分别过点B、C作过点A的直线的垂线
29、BD、CE,垂足分别为D、E,若BD=3,CE=2,则DE=.答案答案5 解析解析BAC=90,BAD+CAE=90,BDDE,BDA=90,BAD+DBA=90,DBA=CAE.CEDE,E=90.在BDA和AEC中,BDA AEC(AAS),DA=CE=2,DB=AE=3,ED=5.,ABDCAEDEABAC 3.(2018江苏泰州高港月考,20,)长方形具有四个内角均为直角,并且两组对边分别平行且相等的特征.如图,把一张长方形纸片ABCD折叠,使点C与点A重合,折痕为EF.(1)如果DEF=110,求BAF的度数;(2)判断ABF和AGE是否全等,请说明理由.解析解析(1)四边形ABCD
30、是长方形,ADBC,AB=CD,CFE=180-DEF=70,由折叠知AFE=CFE=70,AFB=180-AFE-CFE=40,B=90,BAF=90-AFB=50.(2)ABF AGE.理由如下:由折叠知AG=CD,G=D=90,DEF=GEF.B=G.AB=CD,AB=AG.AEF=180-DEF,AEG=GEF-AEF=2DEF-180,又AFB=180-2CFE=180-2(180-DEF)=2DEF-180,AFB=AEG.在ABF和AGE中,ABF AGE(AAS).90,BGBFAAEGABAG 一、选择题一、选择题1.(2018河北中考,1,)下列图形具有稳定性的是()答案答
31、案 A三角形具有稳定性.故选A.2.(2018江苏南京中考,5,)如图4-3-19,ABCD,且AB=CD,E、F是AD上两点,CEAD,BFAD.若CE=a,BF=b,EF=c,则AD的长为()图4-3-19A.a+c B.b+c C.a-b+c D.a+b-c答案答案 DABCD,CEAD,BFAD,AFB=CED=90,A+D=90,C+D=90,A=C,又AB=CD,ABF CDE,AF=CE=a,BF=DE=b.EF=c,AD=AF+DF=a+(b-c)=a+b-c.故选D.3.(2018贵州安顺中考,5,)如图4-3-20,点D,E分别在线段AB,AC上,CD与BE相交于O点,已知
32、AB=AC,现添加以下的哪个条件仍不能判定ABE ACD()图4-3-20A.B=C B.AD=AEC.BD=CE D.BE=CD答案答案 D已知AB=AC,A为公共角,选项A,添加B=C,利用ASA即可说明ABE ACD;选项B,添加AD=AE,利用SAS即可说明ABE ACD;选项C,添加BD=CE,易得AD=AE,然后利用SAS即可说明ABEACD;选项D,添加BE=CD,因为SSA不能判定两三角形全等.故选D.二、解答题二、解答题4.(2018四川泸州中考,18,)如图4-3-21,EF=BC,DF=AC,DA=EB.试说明:F=C.图4-3-21解析解析DA=BE,DE=AB,在AB
33、C和DEF中,ABC DEF(SSS),C=F.,ABDEACDFBCEF5.(2018陕西中考,18,)如图4-3-22,ABCD,E、F分别为AB、CD上的点,且ECBF,连接AD,分别与EC、BF相交于点G、H.若AB=CD,试说明:AG=DH.图4-3-22解析解析ABCD,A=D.ECBF,BHA=CGD.在ABH和DCG中,ABH DCG(AAS),AH=DG,AH=AG+GH,DG=DH+GH,AG=DH.,ADBHACGDABCD 1.(2018山东菏泽中考,17,)如图,ABCD,AB=CD,CE=BF.请写出DF与AE的数量关系,并说明理由.解析解析 DF=AE.理由:AB
34、CD,C=B.CE=BF,CE-EF=BF-FE,CF=BE.又CD=AB,DCF ABE(SAS),DF=AE.2.(2018四川南充中考,18,)如图,已知AB=AD,AC=AE,BAE=DAC.试说明:C=E.解析解析BAE=DAC,BAE-CAE=DAC-CAE,即BAC=DAE,在ABC和ADE中,ABC ADE(SAS),C=E.,ABADBACDAEACAE 3.(2018浙江温州中考,18节选,)如图,在四边形ABCD中,E是AB的中点,ADEC,AED=B.试说明:AED EBC.解析解析ADEC,A=BEC.E是AB的中点,AE=EB.AED=B,AED EBC(ASA).
35、1.如图4-3-23,已知AB=AC,D为BAC的平分线上一点.连接BD,CD,全等三角形的对数是 ;如图4-3-23,已知AB=AC,D,E为BAC的平分线上的两点.连接BD,CD,BE,CE,全等三角形的对数是多少?如图4-3-23,已知AB=AC,D,E,F为BAC的平分线上的三点,连接BD,CD,BE,CE,BF,CF,全等三角形的对数是多少?依此规律,第n个图形中全等三角形的对数是多少?图4-3-23解析解析题图中,AD是BAC的平分线,BAD=CAD.在ABD与ACD中,ABD ACD(SAS).题图中有1对全等三角形.同理,题图中,ABE ACE,BE=EC,ABD ACD,BD
36、=CD.在BDE和CDE中,BDE CDE(SSS),ABACBADCADADAD,EBECBDCDDEDE题图中有3对全等三角形.同理,题图中有6对全等三角形.由此发现:第n个图形中全等三角形的对数是.(1)2n n2.(2018山西期中)问题情境:如图4-3-24,在直角三角形ABC中,BAC=90,ADBC于点D,可知:BAD=C;特例探究:如图4-3-24,MAN=90,射线AE在这个角的内部,点B、C分别在MAN的边AM、AN上,且AB=AC,CFAE于点F,BDAE于点D.试说明:ABD CAF;归纳证明:如图4-3-24,点B、C分别在MAN的边AM、AN上,点E,F在MAN内部
37、的射线AD上,1、2分别是ABE、CAF的外角.已知AB=AC,1=2=BAC.试说明:ABE CAF;拓展应用:如图4-3-24,在ABC中,AB=AC,ABBC.点D在边BC上,CD=2BD,点E、F在线段AD上,1=2=BAC.若ABC的面积为15,则ACF与BDE的面积之和为 .图4-3-24解析解析特例探究:理由:CFAE,BDAE,BDA=AFC=90,ABD+BAD=90,又MAN=90,BAD+CAF=90,ABD=CAF.在ABD和CAF中,ABD CAF(AAS).归纳证明:,ADBCFAABDCAFABAC 理由:1=2=BAC,1=BAE+ABE,BAC=BAE+CAF
38、,2=FCA+CAF,ABE=CAF,BAE=FCA.在ABE和CAF中,ABE CAF(ASA).拓展应用:ABC的面积为15,CD=2BD,ABD的面积是15=5,由上可知ABE CAF,ACF与BDE的面积之和等于ABE与BDE的面积之和,即等于ABD的面积5,故答案为5.,ABECAFABACBAEACF 131.如图,已知ABC中,AB=AC=16厘米,B=C,BC=10厘米,点D为AB的中点,如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动.当BPD与CQP全等时,点Q的运动速度为 厘米/秒.答案答案2或3.2解析解析AB=16厘米,点
39、D为AB的中点,BD=16=8厘米,设点P、Q的运动时间为t秒,则BP=2t厘米,PC=(10-2t)厘米.要使BPD与CQP全等,由于B=C,所以BD=PC,BP=CQ或BP=PC,BD=CQ.当BD=PC,BP=CQ时,10-2t=8,t=1,CQ=2厘米,点Q的运动速度为21=2(厘米/秒);当BP=PC,BD=CQ时,CQ=8厘米,BC=10厘米,BP=PC=5厘米,t=52=2.5.故点Q的运动速度为82.5=3.2(厘米/秒).122.如图所示,在ABC中,BAC=90,AB=AC,AE是过点A的一条直线,且B,C在AE的异侧,BDAE于D,CEAE于E.(1)试说明:BD=DE+
40、CE;(2)若直线AE绕A点旋转到如图所示的位置(BDCE),其余条件不变,则BD与DE,CE的关系怎样?请直接写出结果;(4)归纳上述(1)(2)(3),请用简洁的语言表述BD,DE,CE的关系.解析解析(1)BDAE,CEAE,ADB=AEC=90.BAC=90,ADB=90,ABD+BAD=CAE+BAD=90,ABD=CAE.在ABD和CAE中,ABD CAE(AAS).BD=AE,AD=CE.AE=AD+DE,BD=CE+DE.(2)BD=DE-CE.理由如下:,ADBCEAABDCAEABCA BDAE,CEAE,ADB=AEC=90.又BAC=90,ABD+BAD=CAE+BAD=90.ABD=CAE.在ABD和CAE中,ABD CAE(AAS).BD=EA,AD=CE.BD=EA=DE-AD=DE-CE.(3)BD=DE-CE.(4)归纳(1)(2)(3),结论可表述为:当B,C在AE同侧时,BD=DE-CE;当B,C在AE异侧时,BD=DE+CE.,ADBCEAABDCAEABCA
