1、6.1 数列的概念创设情境创设情境 兴趣导入兴趣导入将正整数从小到大排成一列数为1，2，3，4，5，(1)将2的正整数指数幂从小到大排成一列数为 23452,2,2,2,2,(2)-1，1，-1，1，(3)排成一列数为 3，3.1，3.14，3.141，(4)当n从小到大依次取正整数时，的值排成一列数为cos n取无理数 的近似值（四舍五入法），依照有效数字的个数，动脑思考动脑思考 探索新知探索新知6.1 数列的概念 按照一定的次序排成的一列数叫做数列数列数列中的每一个数叫做数列的项项从开始的项起，按照自左至右排序，各项按照其位置依次叫做这个数列的第1项（或首首项项），第2项，第3项，第n项，
2、其中反映各项在数列中位置的数字1，2，3，n，分别叫做对应的项的项数项数 只有有限项的数列叫做有穷数列有穷数列，有无限多项的数列叫做无穷数列无穷数列 6.1 数列的概念创设情境创设情境 兴趣导入兴趣导入将正整数从小到大排成一列数为1，2，3，4，5，(1)将2的正整数指数幂从小到大排成一列数为 23452,2,2,2,2,(2)-1，1，-1，1，(3)排成一列数为 3，3.1，3.14，3.141，3.1416，(4)当n从小到大依次取正整数时，的值排成一列数为cos n取无理数 的近似值（四舍五入法），依照有效数字的个数，【小提示】数列的“项”与这一项的“项数”是两个不同的概念如数列（2）
3、中，第3项为 ，这一项的项数为3.32上面的上面的4个数列中，哪些是有穷数列个数列中，哪些是有穷数列,哪些是无穷数列哪些是无穷数列?6.1 数列的概念123,na a aa，*()nN由于从数列的第一项开始，各项的项数依次与正整其中，下角码中的数为项数，na简记作1a表示第1项，na2a表示第2项，当n由小至大依次取正整数值时，na依次可以表示数列中的各项，因此，通常把第n项 的通项通项或一般项一般项 na叫做数列动脑思考动脑思考 探索新知探索新知数相对应，所以无穷数列的一般形式可以写作6.1 数列的概念运用知识运用知识 强化练习强化练习1.说出生活中的一个数列实例为“-5,-3,-1,1,3
4、,5，”，指出其中na3.设数列、3a6a各是什么数？2.数列“1，2，3，4，5”与数列“5，4，3，2，1”是否为同一个数列？6.1 数列的概念创设情境创设情境 兴趣导入兴趣导入将正整数从小到大排成一列数为1，2，3，4，5，(1)将2的正整数指数幂从小到大排成排成一列数为 23452,2,2,2,2,(2)1a2a3a4a5a*()nan nN*2()nnanN na一个数列的第n项如果能够用关于项数n的一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式通项公式.巩固知识巩固知识 典型例题典型例题6.1 数列的概念的通项公式为12nna na例例1 1 设数列,写出数列的前5项11112
5、2a；221142a；331182a；4411162a；5511322a解解 巩固知识巩固知识 典型例题典型例题6.1 数列的概念例例2 根据下列各无穷数列的前4项,写出数列的一个通项公式.(1)5,10,15,20，；解解（1）数列的前4项与其项数的关系如下表：关系20151054321项数nna55 1105215532054由此得到，该数列的一个通项公式为 5nan巩固知识巩固知识 典型例题典型例题6.1 数列的概念例例2 根据下列各无穷数列的前4项,写出数列的一个通项公式.(1)5,10,15,20，；1 1 1 12 4 6 8，；(2)解解：(2)数列前4项与其项数的关系如下表：序
6、号关系4321na121416181122 1114221162311824由此得到，该数列的一个通项公式为 12nan巩固知识巩固知识 典型例题典型例题6.1 数列的概念例例2 根据下列各无穷数列的前4项,写出数列的一个通项公式.(1)5,10,15,20，；1 1 1 12 4 6 8，；(2)(3)1，1，1，1，解解：（3）数列前4项与其项数的关系如下表：na1(1)2(1)3(1)4(1)关系11114321序号由此得到，该数列的一个通项公式为(1)nna 由数列的有限项探求通项公式时，答案不一定是唯一的 巩固知识巩固知识 典型例题典型例题6.1 数列的概念例例3 判断16和45是否
7、为数列3n+1中的项,如果是,请指出是第几项.1631n4531n将16代入数列的通项公式有31nan，解解 数列的通项公式为*5n N 解得31n 所以，45不是数列中的项 31n 所以，16是数列中的第5项将45代入数列的通项公式有*443n N解得6.1 数列的概念运用知识运用知识 强化练习强化练习1.根据下列各数列的通项公式，写出数列的前4项：2.根据下列各无穷数列的前4项，写出数列的一个通项公式：32nna（1)；2(1)nnan（）(1)1，1，3，5，；13，16，19，112，；(2)12，34，56，78，(3)2nn中的项，如果是，请指出是第几项 3.判断12和56是否为数
8、列 按照一定的次序排成的一列数叫做数列数按照一定的次序排成的一列数叫做数列数列中的每一个数叫做数列的项从开始的项起，列中的每一个数叫做数列的项从开始的项起，按照自左至右排序，各项按照其位置依次叫做这按照自左至右排序，各项按照其位置依次叫做这个数列的第个数列的第1项（或首项），第项（或首项），第2项，第项，第3项，项，第第n项，项，其中反映各项在数列中位置的数字，其中反映各项在数列中位置的数字1，2，3，n，分别叫做各项的项数，分别叫做各项的项数 6.1 数列的概念理论升华理论升华 整体建构整体建构.数列、项、项数分别是如何定义的？数列、项、项数分别是如何定义的？6.1 数列的概念自我反思自我反
9、思 目标检测目标检测判断22是否为数列220nn中的项，如果是,请指出是第几项 7是，是第 项6.1 数列的概念自我反思自我反思 目标检测目标检测 学习行为学习行为 学习效果学习效果 学习方法学习方法 6.2等差数列（一）第第6章章数列数列6.2 等差数列创设情境创设情境 兴趣导入兴趣导入将正整数中5的倍数从小到大列出，组成数列：5，10，15，20，（1）将正奇数从小到大列出，组成数列：1，3，5，7，9，（2）观察数列中相邻两项之间的关系，从第2项开始，数列(1)中的每一项与它前一项的差都是5 从第2项开始，数列（2）中的每一项与它前一项的差都是2 动脑思考动脑思考 探索新知探索新知 如果
10、一个数列从第2项开始，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么，这个数列叫做等差数列等差数列这个常数叫做等差数列的公差公差，一般用字母d表示 1nnaad（6.1）1nnaad，na为等差数列，d为公差，则若数列即6.2 等差数列巩固知识巩固知识 典型例题典型例题例例已知等差数列的首项为12，公差为 5，试写出这个数列的第2项到第5项解解由于 因此112,5ad ，211257 aad；32752 aad；35234daa.85345daa6.2 等差数列运用知识运用知识 强化练习强化练习8.a 这个数列的第8项2.写出等差数列11，8，5，2，的第10项6.2 等差数列58a ，2d ，公
11、差试写出 na为等差数列,已知1.巩固知识巩固知识 典型例题典型例题例例1已知等差数列的首项为12，公差为5，试写出这个数列的第 2项到第5项解解由于 因此112,5ad ，751212daa25723daa；35234daa.85345daa 你能很快写出第101项吗？6.2 等差数列动脑思考动脑思考 探索新知探索新知,321134daddadaa11aa，,21123daddadaa21aad，的公差为d，则 na设等差数列依此类推,通过观察可以得到等差数列的通项公式11.naand(6.2)na1ad知道了等差数列中的和，利用公式（6.2），可以直接计算出数列的任意一项6.2 等差数列巩
12、固知识巩固知识 典型例题典型例题例例1已知等差数列的首项为12，公差为5，试写出这个数列的第2项到第5项解解由于 因此112,5ad ，751212daa25723daa；35234daa.85345daa 你能很快写出第101项吗？12(1)(5)175nann数列的第101项为 101175 101488.a 6.2 等差数列动脑思考动脑思考 探索新知探索新知,321134daddadaa11aa，,21123daddadaa21aad，的公差为d，则 na设等差数列依此类推,通过观察可以得到等差数列的通项公式11.naand(6.2)na1ad知道了等差数列中的和，利用公式（6.2），可
13、以直接计算出数列的任意一项 等差数列的通项公式中等差数列的通项公式中,共有四个量：共有四个量：n 和和d，只要知道了其中的任意三个量，只要知道了其中的任意三个量，就可以求出另外的一个量就可以求出另外的一个量.针对不同情况，针对不同情况，应该分别采取什么样的计算方法？应该分别采取什么样的计算方法？na、1a、6.2 等差数列巩固知识巩固知识 典型例题典型例题例例2 求等差数列1，5，11，17，的第50项解解 由于,615,1121aada所以通项公式为,766)1(1)1(1nndnaan.76 nan.293750650a6.2 等差数列巩固知识巩固知识 典型例题典型例题6.2 等差数列 n
14、a,48100a,31d例例3 3 在等差数列中,公差求首项.1a,31d11(1)3naan，1148(1001)3a，115a解解 由于公差故设等差数列的通项公式为10048a由于，故解得巩固知识巩固知识 典型例题典型例题6.2 等差数列例例4 4 小明、小明的爸爸和小明的爷爷三个人在年龄恰好构成一个等差数列,他们三人的年龄之和为120岁,爷爷的年龄比小明年龄的4倍还多5岁,求他们祖孙三人的年龄.分析分析 知道三个数构成等差数列，并且知道这三个数的和,可以将这三个数设为 ad，a，a+d，这样就可以方便的求出 a，从而解决问题dadadaada54,120则25,40da解得.65,15d
15、ada从而解解 设小明、爸爸和爷爷的年龄分别为ad，a，a+d，其中d为公差，答答 小明、爸爸和爷爷的年龄分别为15岁、40岁和65岁.运用知识运用知识 强化练习强化练习2.在等差数列 中，求 与公差d na50a ，1010a，1a na53a ，915a ，中，判断48是否为数列中的3.在等差数列项，如果是,请指出是第几项6.2 等差数列1.求等差数列2855,，的通项公式与第15项 11.naand理论升华理论升华 整体建构整体建构.等差数列的通项公式是什么？等差数列的通项公式是什么？6.2 等差数列自我反思自我反思 目标检测目标检测72155215naan-，6.2 等差数列13715
16、 55，写出等差数列 的通项公式，并求出数列的第11项 自我反思自我反思 目标检测目标检测 学习行为学习行为 学习效果学习效果 学习方法学习方法 6.2 等差数列6.2等差数列（二）第第6章章数列数列6.2 等差数列创设情境创设情境 兴趣导入兴趣导入 数学家高斯在上小学的时候就显示出极高的天赋据传说，老师在数学课上出了一道题目：“把1到100的整数写下来,然后把它们加起来!”动脑思考动脑思考 探索新知探索新知6.2 等差数列nnaaaa11由于 2111nnnaaadadaa nnnaadadaaa11232212nnSn aa.nS na的前n项的和记作将等差数列12321nnnnSaaaa
17、aa即.（1）12321nnnnSaaaaaa也可以写作.（2）(1)式与(2)式两边分别相加，得12nnn aaS由此得出等差数列 na的前n项和公式为 （6.3）等差数列的前n项和等于首末两项之和与项数乘积的一半 1(6.3)2nnn aaS等差数列 na的前n项和公式为 动脑思考动脑思考 探索新知探索新知6.2 等差数列dnaan11代入上面公式 将等差数列的通项公式11(6.4)2nn nSnadna，1a na知道了等差数列中的、n和nS 利用公式（6.3）可以直接计算中的 na知道了等差数列1anS、d、n和，利用公式（6.4）可以直接计算巩固知识巩固知识 典型例题典型例题 你用对
18、公式了吗？6.2 等差数列20208 106980.2S 20S 18a ，20106a na例例5 已知等差数列中，,求解解由已知条件得巩固知识巩固知识 典型例题典型例题6.2 等差数列,4)1(3,131da2215500nn，即 所以，该数列的前10项的和等于5013,9,5,1,3,例例6 等差数列的前多少项的和等于50？解解 设数列的前n项和是50，由于12510,2nn 解得 （舍去），(1)50134,2n nn 故 为什么要将其中的一个答案舍去呢？运用知识运用知识 强化练习强化练习6.2 等差数列1.求等差数列1,4,7,10,的前100项的和20.S46a ，926a，na在
19、等差数列 中,求2.巩固知识巩固知识 典型例题典型例题6.2 等差数列例例7 某礼堂共有25排座位，后一排比前一排多两个座位，最后一排有70个座位，问礼堂共有多少个座位？比较本例题的两种解法,从中受到什么启发?巩固知识巩固知识 典型例题典型例题6.2 等差数列 例例8 小王参加工作后，采用零存整取方式在农行存款从元月份开始，每月第1天存入银行1000元，银行以年利率1.71%计息，试问年终结算时本金与利息之和（简称本利和）总额是多少（精确到0.01元）?年利率1.71%，折合月利率为0.1425%计算公式为月利率=年利率12 解解 年利率1.71%，折合月利率为0.1425%第1个月的存款利息
20、为10000.1425%12（元）；第2个月的存款利息为10000.1425%11（元）；第3个月的存款利息为10000.1425%10（元）；第12个月的存款利息为10000.1425%1（元）应得到的利息就是上面各期利息之和10000.1425%(12312)111.15nS（元），故年终本金与利息之和总额为121000+111.15=12111.15（元）运用知识运用知识 强化练习强化练习6.2 等差数列 1如图一个堆放钢管的V形架的最下面一层放一根钢管，往上每一层都比他下面一层多放一个，最上面一层放30根钢管，求这个V形架上共放着多少根钢管 第1题图 2张新采用零存整取方式在农行存款从
21、元月份开始，每月第1天存入银行200元，银行以年利率1.71%计息，试问年终结算时本利和总额是多少（精确到0.01元）?11212nnnnaasnndsna；理论升华理论升华 整体建构整体建构.等差数列的前等差数列的前n项和公式是什么？项和公式是什么？6.2 等差数列自我反思自我反思 目标检测目标检测6106.2 等差数列 一个屋顶的某一个斜面成等腰梯形，最上面一层铺了21块瓦片，往下每一层多铺一块瓦片，斜面上铺了20层瓦片，问共铺了多少块瓦片 自我反思自我反思 目标检测目标检测 学习行为学习行为 学习效果学习效果 学习方法学习方法 6.2 等差数列6.3等比数列（一）第第6章章数列数列6.3
22、 等比数列创设情境创设情境 兴趣导入兴趣导入从第2项开始，数列每一项与它前一项的比都是1.1 某工厂今年的产值是1000万元，如果通过技术改造，在今后的5年内，每年的产值都比上一年增加10%，那么今年及以后5年的产值构成下面的一个数列（单位：万元）：23451000,1000 1.1,1000 1.1,1000 1.1,1000 1.1,1000 1.1.动脑思考动脑思考 探索新知探索新知 如果一个数列从第2项开始，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，那么，这个数列叫做等比数列等比数列这个常数叫做等比数列的公比公比，一般用字母q表示 6.3 等比数列 na为等比数列，q为公比，则若数列与q均
23、不为1a零，且有 即1nnaqa1nnaaq(6.5)巩固知识巩固知识 典型例题典型例题6.3 等比数列2345aaaa、153aq，na例例在等比数列中，求解解 213243545 315,15 345,45 3135,135 3405.aa qaaqaaqaaq 你能很快写出这个数列的第9项吗？运用知识运用知识 强化练习强化练习6.3 等比数列46aa、362aq，na1在等比数列中，试写出2写出等比数列361224，的第5项与第6项 12,484896，如何写出等比数列的通项公式呢？na1aq知道了等比数列中的和，利用公式（6.6），可以直接动脑思考动脑思考 探索新知探索新知3431aa
24、qaq，11aa，2321aaqaq，21aaq，的公比为q，则 na设等比数列依此类推,通过观察可以得到等比数列的通项公式11.nnaaq(6.6)计算出数列的任意一项6.3 等比数列巩固知识巩固知识 典型例题典型例题6.3 等比数列31182qq，；412a4112()2nna 12124813111222256aa q 58118 aa，na例例3 在等比数列中，13a 求81,185aa解解 由有（2）除以（1）得21q将代人（1），得所以，数列的通项公式为本例题求解过程中，通过两式相除求出公比的方法是研究等比数列问题的常用方法 411aq，(1)7118a q，(2)巩固知识巩固知识
25、 典型例题典型例题6.3 等比数列 例例4 小明、小刚和小强进行钓鱼比赛，他们三人钓鱼的数量恰好组成一个等比数列已知他们三人一共钓了14条鱼，而每个人钓鱼数量的积为64.并且知道，小强钓的鱼最多，小明钓的鱼最少，问他们三人各钓了多少条鱼？aaaqq，知道三个数构成等比数列，并且知道这三个数的积,可以将这三个数设为 这样可以方便地求出a,从而解决问题.,aqaqa解解设小明、小刚和小强钓鱼的数量分别为14,64.aaaqqaa aqq 则.21,4qa,2,4qa解得或,824,224aqqa当q=2时，此时三个人钓鱼的条数分别为2、4、8.,2214,8214aqqa21q时,当此时三个人钓鱼
26、的条数分别为8、4、2.小明钓的鱼最少，小强钓的鱼最多，故小明钓了2条鱼，小刚钓了4条鱼，小强钓了8条鱼.运用知识运用知识 强化练习强化练习6.3 等比数列,6,2,321.求等比数列的通项公式与第7项.判断125是否2125a ，55a ，na中，2.在等比数列为数列中的项，如果是，请指出是第几项.272 3486nnaa；7是，是第 项 11nnaaq理论升华理论升华 整体建构整体建构.等比数列的通项公式是什么？等比数列的通项公式是什么？6.3 等比数列自我反思自我反思 目标检测目标检测11286.3 等比数列na81,174aa11a 已知等比数列中,求自我反思自我反思 目标检测目标检测
27、 学习行为学习行为 学习效果学习效果 学习方法学习方法 6.3 等比数列6.3等比数列第第6章章数列数列动脑思考动脑思考 探索新知探索新知6.3 等比数列 na等比数列的前n项和为.321nnaaaaS(1)1,nnaqa由于故将(1)式的两边同时乘以q,得2341nnnqSaaaaa(2)用(1)式的两边分别减去(2)式的两边,得1111111.nnnnq Saaaaqaq(3)na1q当时,由(3)式得等比数列的前前n项和公式项和公式).1(1)1(1qqqaSnn(6.7)nS 利用公式（6.7）可以直接计算1a),1(qq、n和 na中的知道了等比数列动脑思考动脑思考 探索新知探索新知
28、6.3 等比数列).1(1)1(1qqqaSnn(6.7),11qaaqannn由于因此公式（6.7）还可以写成当q=1时，等比数列的各项都相等,此时它的前n项和为).1(11qqqaaSnn(6.8)1nSna(6.9)巩固知识巩固知识 典型例题典型例题6.3 等比数列 刚才学习了等比数列求和公式哦 例例5写出等比数列1，3，9，27，的前n项和公式并求出数列的前8项的和解解 因为131,31aq ，所以等比数列的前n项和公式为 1 1(3)1(3)1(3)4nnnS ，881(3)16404S 故 巩固知识巩固知识 典型例题典型例题6.3 等比数列499421136，例6 一个等比数列首项
29、，末项为，各项的和为求数列的公比并判断数列是由几项组成 194a，49na，211.36nS 解解 设该数列由n项组成，其公比为q，则于是 9421149361qq，94211(1)3649qq即23q 解得所以数列的通项公式为 192,43nna于是 149 294 3n，解得 n=5故数列的公比为23，该数列共有5项 运用知识运用知识 强化练习强化练习6.3 等比数列12,484896，1 2 4 89 9 9 9，1求等比数列的前10项的和 na2已知等比数列的公比为2，4S8S，求6.3 等比数列创设情境创设情境 兴趣导入兴趣导入 传说国际象棋的发明人是印度的大臣西萨班达依尔，舍罕王为
30、了表彰大臣的功绩，准备对大臣进行奖赏 国王问大臣：“你想得到什么样的奖赏？”，这位聪明的大臣说：“陛下，请您在这张棋盘的第一个格子内放上1颗麦粒，在第二个格子内放上2颗麦粒，在第三个格子内放上4颗麦粒，在第四个格子内放上8颗麦粒，依照后一格子内的麦粒数是前一格子内的麦粒数的2倍的规律，放满棋盘的64个格子并把这些麦粒赏给您的仆人吧”国王认为这样的奖赏很轻，于是爽快地答应了，命令如数付给达依尔麦粒 计数麦粒的工作开始了，在第一个格内放1粒，第二个格内放2粒，第三个格内放4粒，第四个格内放8粒，国王很快就后悔了，因为他发现，即使把全国的麦子都拿来，也兑现不了他对这位大臣的奖赏承诺 这位大臣所要求的
31、麦粒数究竟是多少呢？各个格的麦粒数组成首项为1，公比为2的等比数列，大臣西萨班达依尔所要的奖赏就是这个数列的前64项和 国王为什么不能兑现他对大臣的奖赏承诺？动脑思考动脑思考 探索新知探索新知6.3 等比数列复利计息法：将前一期的本金与利息的和（简称本利和）作为后一期的本金来计算利息的方法俗称“利滚利”巩固知识巩固知识 典型例题典型例题6.3 等比数列 例例7银行贷款一般都采用“复利计息法”计算利息小王从银行贷款20万元，贷款期限为5年,年利率为5.76%,如果5年后一次性还款，那么小王应偿还银行多少钱?（精确到0.000001万元）解解 货款第一年后的本利和为 20205.76%20(10.
32、0576)1.057620,第二年后的本利和为 21.0576201.057620 5.76%1.057620,依次下去，从第一年后起，每年后的本利和组成的数列为等比数列 231.057620,1.057620,1.057620,通项公式为 11.057620 1.05761.057620nnna551.05762026.462886a答答 小王应偿还银行26.462886万元 运用知识运用知识 强化练习强化练习6.3 等比数列36qn，7n 182,2243,211nnSaana在等比数列中,，求q与n116a ，434a ，12932nS na等比数列中，求项数n.2 11(1)(1)1(1)1nnnnaqSqqaa qSqq，理论升华理论升华 整体建构整体建构.等比数列的求和公式是什么？等比数列的求和公式是什么？6.3 等比数列自我反思自我反思 目标检测目标检测33432318qaqa，或，6.3 等比数列q3a132,26aSna1已知等比数列中,求与na16325564？2等比数列的首项是6,第6项是,这个数列的前多少项的和是8自我反思自我反思 目标检测目标检测 学习行为学习行为 学习效果学习效果 学习方法学习方法 6.3 等比数列71谢谢！谢谢！72
