1、 成都市 2017 级高中毕业班第三次诊断性检测 数 学（理科） 本试卷分选择题和非选择题两部分.第卷 （选择题） 1 至 2 页， 第卷 （非选择题） 3 至 4 页， 共 4 页， 满分 150 分，考试时间 120 分钟. 注意事项： 1. 答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上. 2. 答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净 后，再选涂其它答案标号. 3. 答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4. 所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 5. 考试结束后，只将答
2、题卡交回. 第卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1. 已知集合0,Ax，0,2,4B .若AB，则实数x的值为（ ） A. 0 或 2 B. 0 或 4 C. 2 或 4 D. 0 或 2 或 4 2. 若复数z满足2 5zii（i为虚数单位） ，则z在复平面上对应的点的坐标为（ ） A. 2,5 B. 2, 5 C. 5,2 D. 5, 2 3. 命题“ 0 xR， 2 00 10xx ”的否定是（ ） A. 0 xR， 2 00 10xx B. xR ， 2 10xx C. 0
3、 xR， 2 00 10xx D. xR ， 2 10xx 4. 如图是某几何体的正视图和侧视图，则该几何体的俯视图不可能是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数 22 xx f x ，则 2 log 3f（ ） A. 2 B. 8 3 C. 3 D. 10 3 6. 已知实数x，y满足 10 20 50 x y xy ，则2zxy的最大值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 7. 在等比数列 n a中，已知 1 9n nn a a ，则该数列的公比是（ ） A. -3 B. 3 C. 3 D. 9 8. 已知函数 3 3f xxx，则“1a ”是“ 1f af”的（ ）
4、 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 已知 1 F， 2 F是双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的左，右焦点，经过点 2 F且与x轴垂直的直线与双曲线 的一条渐近线相交于点A，且 12 64 F AF .则该双曲线离心率的取值范围是（ ） A. 5, 7 B. 5, 13 C. 3, 13 D. 7,3 10. 为迎接大运会的到来，学校决定在半径为20 2m，圆心角为 4 的扇形空地OPQ的内部修建一平行四 边形观赛场地ABCD，如图所示.则观赛场地的面积最大值为（ ） A. 2 200m B. 2 400 22 m C.
5、 2 4003 1 m D. 2 40021 m 11. 在三棱锥PABC中，ABBC，P在底面ABC上的投影为AC的中点D，1DPDC.有下列 结论： 三棱锥PABC的三条侧棱长均相等； PAB的取值范围是, 4 2 ； 若三棱锥的四个顶点都在球O的表面上，划球O的体积为 2 3 ； 若ABBC，E是线段PC上一动点，则DEBE的最小值为 62 2 . 其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. 已知函数( )sin1(0,01) 4 f xAxA ， 5 88 ff ， 且 f x在区间 3 0, 4 上 的最大值为2.若对任意的 12 ,0,x xt，都有
6、 12 2f xf x成立，则实数t的最大值是（ ） A. 3 4 B. 2 3 C. 7 12 D. 2 第卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡上. 13. 已知向量1,a，2,3b ，且ab，则实数的值为_. 14. 某实验室对小白鼠体内x，y两项指标进行研究，连续五次实验所测得的这两项指标数据如下表： x 120 110 125 130 115 y 92 83 90 96 89 已知y与x具有线性相关关系，利用上表中的五组数据求得回归直线方程为ybxa.若下一次实验中 170x ，利用该回归直线方程预测得117y ，
7、则b的值为_. 15. 设数列 n a的前n项和为 n S，若 1 1a ， 5 35S ，且 11 2 11 nnn SSS nnn （2n且 * nN） ，则 12231011 111 a aa aa a 的值为_. 16. 已知点F为抛物线 2 20ypx p的焦点，经过点F且倾斜角为0 2 的直线与抛物线相 交于A，B点，OAB（O为坐标原点）的面积为 3 2sin，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点M. 则FM的值为_. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 某公司为加强对销售员的考核与管理，从销售部门随机抽取了 2019 年
8、度某一销售小组的月均销售额， 该小组各组员 2019 年度的月均销售额（单位：万元）分别为：3.35，3.35，3.38，3.41，3.43，3.44，3.46， 3.48，3.51，3.54，3.56，3.56，3.57，3.59，3.60，3.64，3.64，3.67，3.70，3.70. （）根据公司人力资源部门的要求，若月均销售额超过 3.52 万元的组员不低于全组人数的65%，则对该 销售小组给予奖励，否则不予奖励.试判断该公司是否需要对抽取的销售小组发放奖励； （）在该销售小组中，已知月均销售额最高的 5 名销售员中有 1 名的月均销售额造假.为找出月均销售额 造假的组员，现决定请
9、专业机构对这 5 名销售员的月均销售额逐一进行审核，直到能确定出造假组员为止. 设审核次数为X，求X的分布列及数学期望. 18. 在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且()sin()()(sinsin )a cA Ba bAB. （）求角B的大小； （）若4b，求ac的最大值. 19. 如图， 在多面体ABCDEF中，ADEF为矩形，ABCD为等腰梯形，/BCAD，2BC ，4AD ， 且ABBD，平面ADEF 平面ABCD，M，N分别为EF，CD的中点. （）求证：/MN平面ACF； （）若直线FC与平面ADEF所成的角的正弦值为 3 4 ，求多面体ABCDEF的体积. 20.
10、 已知函数 x m f xae ，其中, a mR. （）当1am时，设 lng xf xx.求函数 g x的单调区间； （）当4a，2m时，证明： 1 lnf xxx. 21. 已知椭圆C： 22 22 10 xy ab ab 的左焦点 1 3,0F ，点 3 1, 2 Q 在椭圆C上. （）求椭圆C的标准方程； （）经过圆O： 22 5xy上一动点P作椭圆C的两条切线，切点分别记为A，B，直线PA，PB分 别与圆O相交于异于点P的M，N两点. （i）求证：0OMON； （ii）求OAB的面积的取值范围. 请考生在第 22，23 题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用
11、 2B 铅笔在答题卡 上把所选题目对应的标号涂黑. 22. 选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 82 32 42 32 xt yt （t为参数）.以坐标原点O为极点，x轴 的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 2 6 cosa，其中0a. （）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； （）在平面直角坐标系xOy中，设直线l与曲线C相交于A，B两点.若点 8 4 , 3 3 P 恰为线段AB的三 等分点，求a的值. 23. 选修 4-5：不等式选讲 已知函数 12f xxx . （）求不等式 f xx的解集； （）记函数 f x的最大值为
12、M.若正实数a，b，c满足 1 49 3 abcM，求 1 93cac abac 的最小 值. 成都市 2017 级高中毕业班第三次诊断性检测 数学（理科）参考答案 第卷（选择题，共 60 分） 一、选择题： （每小题 5 分，共 60 分） 1-5：CDDAB 6-10：CBBAD 11-12：CA 第卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题： （每小题 5 分，共 20 分） 13. 2 3 14. 0.54 15. 10 31 16. 2 三、解答题： （共 70 分） 17. 解： （） 该小组共有 11 名销售员 2019 年度月均销售额超过 3.52 万元， 分别是： 3.54，
13、3.56， 3.56， 3.57， 3.59，3.60，3.64，3.64，3.67，3.70，3.70. 月均销售额超过 3.52 万元的销售员占该小组的比例为 11 55% 20 . 55%65%，故不需要对该销售小组发放奖励. （）由题意，随机变量X的可能取值为 1，2，3，4. 则 1 5 11 (1) 5 P X A ， 1 4 2 5 1 (2) 5 A P X A ， 2 4 3 5 1 (3) 5 A P X A ， 31 42 4 5 2 (4) 5 A A A P X . 随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P X 1 5 1 5 1 5 2 5 111214 ()1
14、234 55555 E X . 18. 解： （）在ABC中，sin()sin()sinABCC， ()sin()(sinsin)acCabAB. 由正弦定理，得ac cabab. 整理，得 222 cabac. 222 1 22 cab ac . 1 cos 2 B . 又0B， 3 B . （）4b， 22 16acac， 即 2 ()163acac， 2 2 ac ac ， 2 2 ()163 2 ac ac . 2 1 ()16 4 ac. 8ac ，当且仅当ac时等号成立. ac的最大值为 8. 19. 解： （）如图，取AD的中点O.连接OM，ON. 在矩形ADEF中，O，M分别为
15、线段AD，EF的中点， /OMAF. 又OM 平面ACF，AF 平面ACF， /OM平面ACF. 在ACD中，O，N分别为线段AD，CD的中点， /ONAC. 又ON 平面ACF，AC 平面ACF， /ON平面ACF. 又OMONO，,OM ON 平面MON， 平面/MON平面ACF. 又MN 平面MON， /MN平面ACF. （）如图，取BC的中点T，连接OT. 四边形ABCD是等腰梯形，O为AD的中点， OTAD. 平面ADEF 平面ABCD，平面ADEF平面ABCDAD，OT 平面ABCD， OT 平面ADEF. 以O为坐标原点，分别以OT，OD，OM方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立
16、如图所示的空间直角 坐标系Oxyz. 连接OB.在ABD中，ABBD，4AD ， 1 2 2 OBAD. 2BC ，1BT . 在RtOBT中，3OT . 设AFh.则 3,1,0C，0, 2,Fh， 3,3,FCh. 取平面ADEF的一个法向量为1,0,0n . 2 3 39 s 3 4 in, h FC n .解得2h. 连接BE. ABCDEFB ADEFB CDEB ADEFE BDC VVVVV 11111 2 43232 33332 ADEFBCD SOTSDE 10 3 3 . 20. 解： （）当1am时， 1 ln x g xex ，则 1 1 x gxe x . gx在0,
17、上单调递增，且 10g， 当0,1x时， 0gx ；当1,x时， 0gx . g x的单调递减区间为0,1，单调递增区间为1,. （）设 1 lnh xxx ，则 1 1hx x . 令 0h x ，解得1x . 当0,1x时， 0h x ，即 h x在0,1上单调递减； 当1,x时， 0h x ，即 h x在1,上单调递增. 10h xh 最小值 . ln1xx在0,上恒成立. 现要证 2 41 ln x exx ，只需证 22 4 x ex . 可证 22 ln 4ln x ex ，即2 ln42lnxx . 设 2ln2ln4xxt x . 则 2 1tx x . 令 0tx ，解得2x
18、. 当0,2x时， 0tx ，即 t x在0,2上单调递减； 当2,x时， 0tx ，即 t x在2,上单调递增. 20t xt 最小值 . 2 ln42lnxx 在0,上恒成立. 综上，可知ln1xx，当1x 时等号成立；2 ln42lnxx ，当2x时等号成立. 当4a，2m时， 1 lnf xxx. 21. 解： （）椭圆C的左焦点 1 3,0F ，3c . 将 3 1, 2 Q 代入 22 22 1 xy ab ，得 22 13 1 4ab . 又 22 3ab， 2 4a ， 2 1b . 椭圆C的标准方程为 2 2 1 4 x y. （） （i）设点 00 ,P x y. 当直线P
19、A，PB的斜率都存在时，设过点P与椭圆C相切的直线方程为 00 yk xxy. 由 00 22 440 yk xxy xy ，消去y，得 2 22 0000 1 48440kxk ykxxykx. 22 22 0000 644 1 444kykxkykx . 令0 ，整理得 222 0000 4210xkx y ky . 设直线PA，PB的斜率分别为 1 k， 2 k. 2 0 1 2 2 0 1 4 y k k x . 又 22 00 5xy， 2 2 0 0 12 22 00 15 4 1 44 x x k k xx . PMPN，即MN为圆O的直径，0OMON. 当直线PA或PB的斜率不
20、存在时，不妨设2,1P，则直线PA的方程为2x. 2, 1M，2,1N ，也满足0OMON. 综上，有0OMON. （ii）设点 11 ,A x y， 22 ,B x y. 当直线PA的斜率存在时，设直线PA的方程为 111 ykxxy. 由 111 22 440 ykxxy xy ，消去y，得 2 22 1111 111 1 1 48440kxkyk x xyk x. 22 22 111 1111 1 644 1 444kyk xkyk x . 令0 ，整理得 222 1111 11 4210xkx y ky . 则 11111 1 22 111 444 x yx yx k xyy . 直线
21、PA的方程为 1 11 1 4 x yxxy y .化简可得 22 1111 44x xy yyx，即 1 1 1 4 x x y y. 经验证，当直线PA的斜率不存在时，直线PA的方程为2x或2x，也满足 1 1 1 4 x x y y. 同理，可得直线PB的方程为 2 2 1 4 x x y y. 00 ,P x y在直线PA，PB上， 10 10 1 4 x x y y， 20 20 1 4 x x y y. 直线AB的方程为 0 0 1 4 x x y y. 由 0 0 22 1 4 44 x x y y xy ，消去y，得 222 000 35816 160yxx xy. 0 12
22、2 0 8 35 x xx y ， 2 0 12 2 0 16 16 35 y x x y . 2 0 12 2 0 1 16 x xx y AB 222 2 000 0 22 2 0 0 644 35 16 16 155 16 35 xyy y y y 2 2 0 42 0 00 222 000 2 5 31 312 5 3 3535 y y yy yyy . 又点O到直线AB的距离 222 000 44 165 31 d xyy . 2 0 2 2 0 0 2 5 31 14 235 5 31 OAB y S y y 2 0 2 0 4 31 35 y y . 令 2 0 31yt ，1,
23、4t.则 2 44 4 4 OAB t S t t t . 又 4 4,5t t ，OAB的面积的取值范围为 4 ,1 5 . 22. 解： （）由直线l的参数方程，消去参数t，得直线l的普通方程为40xy. 由 222 xy，cosx，得曲线C的直角坐标方程为 22 60xyxa. （）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，并整理，得 2 5 264 0 39 tta.(*) 设 1 t， 2 t是方程(*)的两个根，则有0 ， 12 5 2 3 tt ， 1 2 64 9 t ta . 由题意，不妨设 12 2tt . 2 2 3250 929 a t . 解得4a，符合条件0a.4a. 23. 解： （）不等式 f xx即12xxx . 当1x时，化简得3x .解得1x； 当21x 时，化简得21xx .解得 1 1 3 x； 当2x时，化简得3x.此时无解. 综上，所求不等式的解集为 1 | 3 x x . （） 12123xxxx，当且仅当2x时等号成立. 3M ，即491abc. 1 93413111cacab abacabcaabc ， 又, ,0a b c ， 111111 (49 )abc abcabc 2 111 49abc abc 2 12336. 当且仅当 111 49 abc abc 时取等号. 1 93cac abac 的最小值为 36.
