1、1第五章第五章 弯曲应力弯曲应力目录2回顾与比较内力内力AF应力应力PITFAyFSM?目录3第五章第五章 弯曲应力弯曲应力5-1 5-1 纯弯曲时梁的正应力纯弯曲时梁的正应力5-2 5-2 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力 强度条件强度条件5-3 5-3 弯曲切应力弯曲切应力5-4 5-4 提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施目录目录4纯弯曲纯弯曲梁段梁段CDCD上，只有弯矩，没有剪力上，只有弯矩，没有剪力纯弯曲纯弯曲梁段梁段ACAC和和BDBD上，既有弯矩，又有剪力上，既有弯矩，又有剪力横力弯曲横力弯曲5-1 5-1 纯弯曲时梁的正应力纯弯曲时梁的正应力目录5一、变形几何关系一、变
2、形几何关系5-1 5-1 纯弯曲时梁的正应力纯弯曲时梁的正应力目录6平面假设：平面假设：横截面变形后保持为平面，只是绕截横截面变形后保持为平面，只是绕截面内某一轴线偏转了一个角度。面内某一轴线偏转了一个角度。5-1 5-1 纯弯曲时梁的正应力纯弯曲时梁的正应力目录MPaCDCDxabcd12211abcd122O1O27凹入凹入一侧纤维一侧纤维缩短缩短突出突出一侧纤维一侧纤维伸长伸长中间一层纤维长中间一层纤维长度不变度不变中性层中性层中间层与横截面中间层与横截面的交线的交线中性轴中性轴5-1 5-1 纯弯曲时梁的正应力纯弯曲时梁的正应力目录1abcd122O1O28二、物理关系二、物理关系胡克
3、定理胡克定理EyE5-1 5-1 纯弯曲时梁的正应力纯弯曲时梁的正应力目录9三、静力学条件三、静力学条件yEZ1EIM5-1 5-1 纯弯曲时梁的正应力纯弯曲时梁的正应力目录10正应力公式正应力公式变形几何关系变形几何关系物理关系物理关系yEyE静力学关系静力学关系Z1EIMZIMy为梁弯曲变形后的曲率为梁弯曲变形后的曲率1为曲率半径为曲率半径5-1 5-1 纯弯曲时梁的正应力纯弯曲时梁的正应力目录11正应力分布正应力分布ZIMyZmaxmaxIMyZmaxWMmaxZZyIW minZWM5-1 5-1 纯弯曲时梁的正应力纯弯曲时梁的正应力目录12常见截面的常见截面的 IZ 和和 WZ圆截面
4、圆截面矩形截面矩形截面空心圆截面空心圆截面空心矩形截面空心矩形截面AdAyI2ZmaxZZyIW 644ZdI323ZdW)1(6444ZDI)1(3243ZDW123ZbhI 62ZbhW 12123300ZbhhbI)2/()1212(03300ZhbhhbW5-1 5-1 纯弯曲时梁的正应力纯弯曲时梁的正应力目录13横力弯曲横力弯曲5-2 5-2 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力5-2目录14横力弯曲正应力公式横力弯曲正应力公式弯曲正应力分布弯曲正应力分布ZIMy 弹性力学精确分析表明，弹性力学精确分析表明，当跨度当跨度 l 与横截面高度与横截面高度 h 之之比比 l/h 5（细长梁
5、）时，（细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。弯曲近似成立。ZmaxmaxmaxIyM横力弯曲最大正应力横力弯曲最大正应力5-25-2横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力目录15弯曲正应力公式适用范围弯曲正应力公式适用范围弯曲正应力分布弯曲正应力分布ZIMy细长梁的细长梁的纯弯曲纯弯曲或或横力弯曲横力弯曲外力作用在外力作用在对称面对称面内内弹性变形阶段弹性变形阶段5-25-2横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力目录16弯曲正应力强度条件弯曲正应力强度条件 IyMzmaxmaxmax1.1.弯矩最大的截面上弯矩最大的截面上2.2.离中性轴最远处离中性轴最远处4
6、.4.脆性材料脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑ttmax,ccmax,3.3.变截面梁要综合考虑变截面梁要综合考虑 与与MzI5-25-2横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力目录17BAl=3mq=60kN/mxC1mMxm67.5kN8/2ql 30zy180120K1.1.C 截面上截面上K点正应力点正应力2.2.C 截面上截面上最大最大正应力正应力3.3.全梁全梁上上最大最大正应力正应力4.4.已知已知E=200GPa，C 截面的曲率半径截面的曲率半径 FSx90kN90kNmkN605.0160190CM1.求支反力求支反力kN90AyFkN
7、90ByF4533Zm10832.51218.012.012bhIMPa7.61Pa107.6110832.510)302180(10606533ZKCKIyM（压应力）（压应力）解：解：例题5-15-25-2横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力目录18BAl=3mq=60kN/mxC1mMxm67.5kN8/2ql 30zy180120K FSx90kN90kN2.C 截面最大正应力C 截面弯矩mkN60CMC 截面惯性矩45Zm10832.5IMPa55.92Pa1055.9210832.510218010606533ZmaxmaxIyMCC5-25-2横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力
8、目录19BAl=3mq=60kN/mxC1mMxm67.5kN8/2ql 30zy180120K FSx90kN90kN3.全梁最大正应力全梁最大正应力最大弯矩最大弯矩mkN5.67maxM截面惯性矩截面惯性矩45m10832.5zIMPa17.104Pa1017.10410832.5102180105.676533ZmaxmaxmaxIyM5-25-2横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力目录20BAl=3mq=60kN/mxC1mMxm67.5kN8/2ql 30zy180120K FSx90kN90kN4.C 截面曲率半径截面曲率半径C 截面弯矩截面弯矩mkN60CMC 截面惯性矩截面惯性
9、矩45Zm10832.5Im4.194106010832.510200359CZCMEIEIM15-25-2横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力目录21 zIyMmaxmaxmax分析（分析（1 1）（2 2）弯矩）弯矩 最大的截面最大的截面M（3 3）抗弯截面系数）抗弯截面系数 最最 小的截面小的截面zW 图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。已知图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。已知,kN5.62,m16.0,m267.0,1302Fbammd材料的许用应力材料的许用应力.MPa60mm1601d？zWMmaxmax例题5-25-25-2横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力目录22
10、（3 3）B B截面，截面，C C截面需校核截面需校核（4 4）强度校核）强度校核B B截面：截面：MPa5.41Pa105.4116.0322675.62326331maxdFaWMzBBMPa4.46Pa104.4613.0321605.62326332maxdFbWMzCCC C截面：截面：（5 5）结论）结论（1 1）计算简图）计算简图（2 2）绘弯矩图）绘弯矩图F Fa aF Fb b解：解：5-25-2横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力目录23分析分析（1 1）确定危险截面）确定危险截面（3 3）计算）计算maxM（4 4）计算）计算 ，选择工，选择工 字钢型号字钢型号zW 某车
11、间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦自重自重材料的许用应力材料的许用应力MPa,140kN,7.61F,kN502F起重量起重量跨度跨度m,5.9l试选择工字钢的型号。试选择工字钢的型号。zWMmaxmax（2 2）例题5-35-25-2横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力目录24（4 4）选择工字钢型号）选择工字钢型号（5 5）讨论）讨论（3 3）根据）根据 zWMmaxmax计算计算 33663maxcm962m109621014045.910)507.6(MWz （1 1）计算简图）计算简图（2 2）绘弯矩图）绘弯矩图解：解：36c
12、36c工字钢工字钢3cm962zWkg/m6.67q5-25-2横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力目录25作弯矩图，寻找需要校核的截面作弯矩图，寻找需要校核的截面 ccttmax,max,要同时满足要同时满足分析：分析：非对称截面，要寻找中性轴位置非对称截面，要寻找中性轴位置 T T型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。试校核梁的强度。试校核梁的强度。MPa,60,MPa30ct例题5-45-25-2横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力目录26mm522012020808020120102080cy（2 2）求截面对中性轴）求截面对中性轴z z的惯性矩的惯性矩46232
13、3m1064.728120201212020422080122080zI （1 1）求截面形心）求截面形心z1yz52解：解：5-25-2横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力目录27（4 4）B B截面校核截面校核 ttMPa2.27Pa102.271064.710521046633max,ccMPa1.46Pa101.461064.710881046633max,（3 3）作弯矩图）作弯矩图5-25-2横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力目录kN.m5.2kN.m428（5 5）C C截面要不要校核？截面要不要校核？ttMPa8.28Pa108.281064.71088105.26633ma
14、x,（4 4）B B截面校核截面校核（3 3）作弯矩图）作弯矩图 ttMPa2.27max,ccMPa1.46max,5-25-2横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力目录kN.m5.2kN.m4295-35-3弯曲切应力弯曲切应力5-3目录一、矩形截面梁1、横截面上各点的切应力的方向都平、横截面上各点的切应力的方向都平行于剪力行于剪力2、切应力沿截面宽度均匀分布。、切应力沿截面宽度均匀分布。305-35-3弯曲切应力弯曲切应力*112)()()(111zZAZAZANSIdMMdAyIdMMdAIydMMdAF11*AzdAyS*1zZNSIMF横截面横截面A1对中性轴的静矩。对中性轴的静矩。
15、顶面rp上内力的合力：bdxdFS0)(0*bdxSIMSIdMMFZzZzxbISFbISdxdMZZsZZ*31AFS23 5-3 5-3 矩形截面梁的切应力矩形截面梁的切应力5-3目录32 悬臂梁由三块木板粘接悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为而成。跨度为1 1m m。胶合面胶合面的许可切应力为的许可切应力为0.340.34MPaMPa，木材的木材的=10=10 MPaMPa，=1MPa=1MPa，求许可载荷。求许可载荷。21maxmax6bhlFWMz1.1.画梁的剪力图和弯矩图画梁的剪力图和弯矩图2.2.按正应力强度条件计算许可载荷按正应力强度条件计算许可载荷 SF FM Fl 3.7
16、5kNN375061015010010692721 lbhF bhFAFS2/32/32max3.3.按切应力强度条件计算许可载荷按切应力强度条件计算许可载荷 kN01N100003/101501001023/2662 bhF Fl100505050z解：解：例题5-55-3 5-3 矩形截面梁的切应力矩形截面梁的切应力目录33 gZZSbhFbbhhbFbISF 341233323*g4.4.按胶合面强度条件按胶合面强度条件计算许可载荷计算许可载荷 3.825kNN382541034.010150100343663 gbhF 5.5.梁的许可载荷为梁的许可载荷为 3.75kNkN825.3k
17、N10kN75.3minmin iFFFl100505050M FlzSF F5-3 5-3 矩形截面梁的切应力矩形截面梁的切应力目录345-4 提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施ZmaxmaxWM1.1.降低降低 M Mmaxmax 合理安排支座合理安排支座合理布置载荷合理布置载荷5-7目录35合理布置支座合理布置支座5-4 提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施目录FFF36合理布置支座合理布置支座5-4 提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施目录375-4 提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施目录合理布置载荷合理布置载荷F385-4 提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施
18、ZmaxmaxWM2.2.增大增大 W WZ Z 合理设计截面合理设计截面合理放置截面合理放置截面5-7目录395-4 提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施目录合理设计截面合理设计截面4062bhWZ左62hbWZ右5-4 提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施目录合理放置截面合理放置截面413、等强度梁、等强度梁 5-4 提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施目录bxh425-4 提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施目录43小结小结1 1、了解纯弯曲梁弯曲正应力的推、了解纯弯曲梁弯曲正应力的推导方法导方法2 2、熟练掌握弯曲正应力的计算、熟练掌握弯曲正应力的计算、弯曲正应力强度条
19、件及其应用弯曲正应力强度条件及其应用3 3、了解提高梁强度的主要措施、了解提高梁强度的主要措施目录445 51 1、5 5、1111、1616、2121、3131、3333、3636第五章作业第五章作业452、从强度出发，截面面积相等的圆形杆件，在纯弯曲时，圆比、从强度出发，截面面积相等的圆形杆件，在纯弯曲时，圆比方好？方好？1、从强度出发，截面面积相等的圆形杆件，在轴向拉伸时，、从强度出发，截面面积相等的圆形杆件，在轴向拉伸时，圆与方一样好？圆与方一样好？常见问题AFNWM)(66232aabhhIWZ方形，设边长为圆：方形：3342322642addddIWZW圆圆W方方463、图示重量为
20、、图示重量为P的直梁放置在水平刚性地面上，若受力后未提起的直梁放置在水平刚性地面上，若受力后未提起部分保持与地面密合，则提起部分的长度部分保持与地面密合，则提起部分的长度a未多少？未多少？zEIxM)(123aPlaaP，M MA A（x x）=0=0la32常见问题474、悬臂梁受力及截面尺寸如图，则、悬臂梁受力及截面尺寸如图，则11截面上截面上A点的正应力为点的正应力为?mzAmbhIAy055.0101.2812463点高度，MPaIMzyAA54.2101.28055.0103.163mkN 3.15.06.01解：11截面弯矩M=常见问题48MPayE1000005.10005.01
21、0200951 解：解：习题解答55 解：解：49/2121maxmaxcizzciyyIMyIMy511 解：解：解得：解得：b=510mm50423236013)75.155.21)(320(12320)75.5)(320(1220375.15)320(2)5.21)(320()10)(320(cmIcmyyC4.52106013)1075.15)(1020(1.24623maxmaxcCttMPaMPa06.122.26maxmaxccttMPaMPa（1）求支座反力，得）求支座反力，得RD=10kN（2）先求横截面形心坐标，再求先求横截面形心坐标，再求对形心轴的惯性矩，取参考轴对形心轴
22、的惯性矩，取参考轴y截面截面B为负弯矩，因此：为负弯矩，因此：截面截面C为正弯矩，因此：为正弯矩，因此：若倒放，则截面若倒放，则截面B tmax=524Mpat，因此不合理。，因此不合理。5.16515.21363maxmax2max438)10160(2102.140,22.140629662958629,01258,0cmWWMmkNMmxxdxdMDDD梁内最大弯矩为得起重机的最不利位置由解：起重机对梁的作用力为：解：起重机对梁的作用力为：由由MB=0，求得，求得RB=58-6x，MD=RBx=58x-6x故选用二根NO28a 工字钢，此时，W=508cm 3.14*maxmaxmaxMPabISQzz安全安全。525.314,422maxmax2maxWPaWMPaM4)(,4)(11maxmax2maxWalPWMalPM21212,4)(4WWlWaaWalPWPa得解出对于辅梁，有：对于辅梁，有：由于材料相同，因此由于材料相同，因此对于主梁，有对于主梁，有535.335.12,32,30)3(61,6)(6,22222222bhdhdbbddbdWbdbbhWdbh545.36aqbaqWMEIM3)(0,01可知由解：取AB段为分离体 由mB=0 qaqaaqabbaqPbaWbP25.24921291)(21,0222
