1、 前面我们介绍矩阵了加、减、乘法等运算。前面我们介绍矩阵了加、减、乘法等运算。第三节第三节 可逆矩阵可逆矩阵111aaa a来刻画，来刻画，那么是否可以定义矩阵的除法呢？那么是否可以定义矩阵的除法呢？由于由于矩阵的乘法不满足交换律，矩阵的乘法不满足交换律，因此，不能因此，不能一般地定义矩阵的除法。在数的运算中，一个不一般地定义矩阵的除法。在数的运算中，一个不为零的实数为零的实数 a 的倒数（或者的倒数（或者a 的逆的逆）可以用等式）可以用等式因此我们类似地引入因此我们类似地引入方阵的逆方阵的逆。设设 A A 为为n n阶矩阵，如果存在一个阶矩阵，如果存在一个n n阶矩阶矩阵阵 B B，使得，使
2、得 A B A B=B A B A=E E则称则称 A A 为为可逆的可逆的（InvertibleInvertible），并称，并称 B B 为为 A A的的逆矩阵逆矩阵（InverseInverse），记作，记作 B=A-1-1。如果不存在满足上式的矩阵如果不存在满足上式的矩阵 B B，则称矩阵，则称矩阵 A A是是不可逆的不可逆的。定义定义1 1一一.可可逆矩阵逆矩阵的定义的定义 1.单位矩阵是单位矩阵是可逆的可逆的，因为，因为 2.对于对于 n 阶对角矩阵阶对角矩阵nnnnEEEE n21因为因为所以所以 。nnEE1 可逆矩阵可逆矩阵与与不可逆矩阵不可逆矩阵都是存在的。例如：都是存在的
3、。例如：nEn21=n21=En1211n1211?所以这个所以这个 n 阶对角矩阵是阶对角矩阵是可逆的可逆的，且，且)1,21,1(),2,1(1ndiagndiag 3.3.设设 3 3 阶阶矩阵矩阵因为因为000020101000020101*111所以这个所以这个 3 阶矩阵是阶矩阵是不不可逆的可逆的。?若若 A 为为 n 阶可逆矩阵，且矩阵阶可逆矩阵，且矩阵B，C均为其均为其逆矩阵。则有逆矩阵。则有 若若 A 为为 n 阶可逆矩阵，则它的逆矩阵是阶可逆矩阵，则它的逆矩阵是唯一的唯一的。定理定理1 证证EBAABECAAC下证下证BBE)(ACBCBA)(ECC?即即逆矩阵确实是唯一的
4、逆矩阵确实是唯一的，且，且 B=C=A-1-1。从而从而 设设 ,Aij 为为|A|A|的元素的元素 aij 的代的代nnijaA)(nnnnnnAAAAAAAAAA.212221212111*为矩阵为矩阵A的的伴随矩阵伴随矩阵（adjoint matrix）。定义定义2数余子式，则称矩阵数余子式，则称矩阵 注意注意伴随矩阵的具体形式。伴随矩阵的具体形式。二二.可可逆矩阵逆矩阵的判定的判定 设设 ，求求dcbaA*A A 解解 例例1所以所以dcba*,.A A A AAdbabcacd00ad bcad bc()adbc EA E*AA 同理同理abdbcdca1121*1222AAAAAA
5、 E 引理引理 nnnnnnnnnnnnAAAAAAAAAaaaaaaaaaAA212221212111212222111211伴随矩阵有下列性质：伴随矩阵有下列性质：A AA A*=A=A*A=|A|EA=|A|E 证证00A00AA00?EA同理，有同理，有EAAA*AAaAaAann 1112121111AAaAaAann2222222121AAaAaAannnnnnnn 2211 因为因为A 可逆，由定义可逆，由定义1知存在矩阵知存在矩阵 B，使，使 定理定理2 2n n 阶矩阵阶矩阵 A A 可逆的可逆的充要条件充要条件是是 ，0A并且此时并且此时AAA*1证证 AB=BAAB=BA
6、=E取行列式，得取行列式，得|AB|=|BA|=|E|AB|=|BA|=|E|即即|A|B|=10|A|B|=10 所以所以|A|0|A|0。因为因为|A|0|A|0，所以有，所以有EAAAAA|*EAAAAAA)1()1(*证证 由由引理引理再由再由逆矩阵逆矩阵的定义的定义可知，可知，A可逆，且可逆，且AAA*1 若若 n 阶矩阵阶矩阵A的的行列式的的行列式 ，则称，则称0A 定义定义3A是是非奇异的（非奇异的（或或非退化的非退化的）。否则，称否则，称A为为奇异的奇异的（或或退化的退化的）。设设A、B 均为均为 n 阶矩阵，且满足阶矩阵，且满足 AB=E （或（或 BA=E）则则 A、B 均
7、可逆，且均可逆，且 B=A-1-1，A=B-1-1。推论推论 于是，矩阵可逆与非奇异（或非退化）是等价于是，矩阵可逆与非奇异（或非退化）是等价的。的。EAABA11.1 AB即即1 BA同理可证同理可证|A|B|=1|A|B|=1所以所以|A|0|A|0，|B|0|B|0，故，故 A,B 均可逆。均可逆。再由再由 A 可逆，可逆，A-1-1 存在，在给定的条件等式两存在，在给定的条件等式两边左乘边左乘A-1-1，则得则得 由由 AB=AB=E E 得得 证证 AB=E （或（或 BA=E）则则 A、B 均可逆，且均可逆，且 B=A-1-1，A=B-1-1。例例2 2 求方阵求方阵 的逆矩阵的逆
8、矩阵.343122321A解解343122321 A20,.1存在存在 A,2341211 A,3331212 A123025026同理可得同理可得,2,6,6,223222113 AAAA,2,5,4333231 AAA1112132122232,32,6,6,2,AAAAAA ,2,5,4333231 AAA,222563462 A得得故故 AAA11 22256346221.11125323231 已知下列已知下列 3 阶阶矩阵，证明矩阵，证明A可逆，并求出其可逆，并求出其221431021A 证证120134122A 例例逆矩阵逆矩阵 A-1-1。因为因为所以所以 A 可逆。又可逆。又
9、20100114102 1014268414142243)1(1111 A332313322212312111*AAAAAAAAAA所以所以于是于是*1AAA724312110224321A解：解：0264A，A可逆可逆2,3,1,421122211AAAA2123121324)2(11A例：例：设设判定判定A是否可逆？如可逆，是否可逆？如可逆，求其逆阵。求其逆阵。设设 n 阶矩阵阶矩阵 A 满足满足032EAA23AAE1A利用前面的利用前面的推论推论（AB=E）来判断是否可逆。来判断是否可逆。证证 例例3 3证明矩阵证明矩阵 A，A+E,，A+2E 均可逆，且求其逆。均可逆，且求其逆。于是
10、于是A可逆，且可逆，且(3)A AEEEEAA3232又又EEAEA3)2)(3AEEEAA3232又又得得EEAEA)2(31)(和和EEAEA)2()(31于是于是A+E,A+2E 均可逆，且其逆均可逆，且其逆),2(31)(1EAEA)(31)2(1EAEAEEAEA3)2)(证证明明,022 EAA由由 EEAA2 得得EEAA 2220,:,2,.AAAEAAEAE设方阵 满足方程证明都可逆 并求它们的逆矩阵例例.可可逆逆故故A1 A .211EAA A AEE1同理211.2AEA022 EAA又由又由22AEA1212()AEA1 2()A21.4AE2124AAE.43AE 2
11、20AAE或由 0432 EEAEA EEAEA 3412.EA可可逆逆故故2 EAEA34121 且且.43AE 12 EA三三.逆矩阵逆矩阵的性质的性质 .,1111AAAA 且且亦可逆亦可逆则则可逆可逆若若 2,A BAB若为同阶方阵且均可逆 则亦可逆 且 1ABB1 1 A 1111 ABBAABAB1 AEA,1EAA .111 ABAB证明证明 .1212 AA推推广广1AmA1 mA1 1A 3,0,AA若 可逆 数则可逆 且 .111 AA TTTAAAA11 TE,E .11TTAA 证明证明 .,4AAAAT 且且亦可逆亦可逆则则可逆可逆若若TT1 1 .AA,A115 则
12、有则有可逆可逆若若证明证明EAA 111 AA.AA11 因此因此 设设A A为为 n n 阶矩阵（阶矩阵（n 2n 2），），是是 A A 的伴的伴*A1*nAA由由引理引理，并取行列式，得，并取行列式，得 nAEAAA)(*（1）当）当 ，即，即 A A 可逆，上式两端同除以可逆，上式两端同除以0A 证证 例例4 4两边约去两边约去|A|A|，是否是否就直接得到？就直接得到？下面分三种情况：下面分三种情况：随矩阵随矩阵，证明：证明：0)()()(1*1*1*AAAEAAAAA （2）当）当 ，0A且且 A=0A=0 ，则，则 ，结论，结论0*A （3）当）当 ，但，但 时，则有时，则有 。
13、0A0A0*A用反证法，假设用反证法，假设 ，即，即 可逆，因而可逆，因而 0*A*A这与这与 矛盾。所以也有矛盾。所以也有 0A1*0nAA|A|A|，即得：即得：1*nAA显然成立；显然成立；1.,5,(5)AAA设 为三阶矩阵 且求例1(5)A 15A315 A2315 A515 前面我们介绍过，一般情况下，矩阵乘法前面我们介绍过，一般情况下，矩阵乘法消去消去律律不成立不成立。即。即 1.1.乘法消去律乘法消去律ACAB CB 但是但是A A 可逆可逆CB 或或0)(CBA四四.逆矩阵逆矩阵的应用的应用 1)1)在可逆条件下，用逆矩阵表示其解；在可逆条件下，用逆矩阵表示其解；2)2)说明
14、它与克莱姆法则求解结果的一致性。说明它与克莱姆法则求解结果的一致性。bXAnn 解解bAAXA11 n n 元线性方程组元线性方程组bAX11)1)2.方程组求解与方程组求解与克莱姆法则克莱姆法则2)2)与克莱姆法则求解与克莱姆法则求解结果是一致的结果是一致的。事实上。事实上结果是一致的结果是一致的 bAAbAX*11 nnnnnnnbbbAAAAAAAAAD212122212121111 D1 D11111nnAbAb 2121nnAbAb nnnnAbAb 111D2DnDnnnnnnaabaabaabD22222112111111nnAbAbnnnnnnabaabaabaD1222111
15、1122121nnAbAbnnnnbaabaabaaD212222111211nnnnAbAb11分析分析.,),(,.,11111交交换换律律因因为为矩矩阵阵的的乘乘法法不不满满足足而而不不能能右右乘乘即即得得乘乘这这时时将将方方程程两两边边同同时时左左程程方方可可逆逆时时才才可可解解这这个个矩矩阵阵只只有有程程可可以以不不写写出出这这个个过过是是否否可可逆逆要要先先考考察察例例如如解解关关系系的的位位置置应应注注意意已已知知矩矩阵阵与与解解矩矩阵阵方方程程时时ABAXBAAXAAAABAXX ,.AXB XAB AXBCAB解矩阵方程其中、均为可逆矩阵例例矩阵方程矩阵方程解解BAX1 BA
16、X1 BCAX11 BAX BXA CAXB 例例,X求矩阵使1111,B.1002A解解,AXBX21,11AE(),AE XB 又又故故 AXBX，其中A E-1(-)()AEAE1111231()()XAEB1111112023 1/3 11/31131133 则则例例,XAXBC求矩阵使，其中142031,121101ABC解解11CBAX则则114261*11AAA2101211B210110131142121X2101036612121010122410411101444160,A 因20,B （可）逆（可）逆矩阵的概念；矩阵的概念；伴随矩阵的定义、性质；伴随矩阵的定义、性质；逆逆
17、矩阵的判别方法，有关性质；矩阵的判别方法，有关性质；逆逆矩阵的矩阵的应用。应用。五五.小结小结 设设 A A 是是 n n 阶阶可逆可逆矩阵矩阵，A A*是它的是它的伴随矩阵，伴随矩阵，试求矩阵试求矩阵 A A*的的伴随矩阵伴随矩阵(A A*)*。综合性题综合性题六六.思考题思考题思考题解答：思考题解答：因为对任意因为对任意矩阵矩阵 A A ，有，有 EAAAAA|*用用伴随矩阵伴随矩阵 A A*代替代替矩阵矩阵 A A ，得，得EAAAAA|)()(*)(*01 nAA又由伴随矩阵的性质（又由伴随矩阵的性质（例例4）（1 1）（2 2）（3 3）（3 3）代入代入（2 2）得得 EAAAAAA|*11将将（4 4）与与（1 1）的变形式的变形式（5 5）做比较：做比较：EAAAAAn 1|)()(*（5 5）（4 4）即即EAAAAAAnn )(|)(|*1111由由 A A*可逆可逆，并由并由消去律消去律，得，得AA|1 即即*)(|AAn 11 为所求。为所求。AAAn 2|)(*注意：注意：AA*)(
