1、 - 1 - 广东省中山市普通高中 2017-2018学年高一数学 1 月月考试题 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5分，共 40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1、直线1l的倾斜角的正切值为3，直线2l与1垂直，则2l的斜率是 ( ) A.?B.33?C. D. 2.函数22)( 3 ? xxf x在区间 (0,1)内的零点个数是 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3、已知平面?、，直线?l，直线?m，有下面四个命题： (1) (2) (3) (4) 其中正确的是（ ） A. (1)与 (2) B. (3)与 (4) C. (1)与 (3) D.
2、(2)与 (4) 4. 已 知 集 合,32| ? xRxA集合,0)2)(| ? xmxRxB且 ),1( nBA ?则,mn的值为（ ） A. -1,1 B. 1， -1 C. -1,2 D. 1,2 5. 圆 (x 3)2 (y 4)2 1 关于直线 y x+6对称的圆的方程是 ( ) A (x 10)2 (y 3)2 1 B (x 10)2 (y 3)2 1 C (x 3)2 (y 10)2 1 D (x 3)2 (y 10)2 1 6已知函数)32(log)( 22 ? xxxf，给定区间 E，对任意Exx ?21,，当2x?时，总有),()( 21 xfxf ?则下列区间可作为 E
3、的是（ ） A.（ 3， 1） B.（ 1， 0） C.（ 1， 2） D.（ 3， 6） 7.某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是 A. 60+125B. 56+ 125C. 30+6 D. 28+6 8. 设函数21( ) , ( ) ( , , 0)x g x ax bx a b R ax? ? ? ? ?，若()y f x?的图象与y gx?图象有且仅有两个不同的公共点1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y,则下列判断正确的是 ( ) A. 当0a?时，1 2 1 20 , 0x x y y? ? ? ?B. 当 时，? ?- 2 - C. 当0a?时，1
4、 2 1 20 , 0x x y y? ? ? ?D. 当 时，? ?二填空题（每小题 5 分，共 30 分） 9.设点 B是 A(2， 3, 5)关于平面 xoy对称的点，则线段 AB的长为 10.如图所示 ,空间四边形 ABCD中 ,AB CD,ABCD,E 、 F分别为 BC、 AD的中点，则 EF和 AB所成的角为 11.已知直线 l经过点 (7,1)且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线 l的方程 12 如图，正方体1 1 1 1CD A B C D?的棱长为 1，,分别为线段11,AAB上 的 点 ， 则 三 棱 锥1D EDF?的 体 积 为_. 13从直线 x y 3 0上的点
5、向圆 x2 y2 4x 4y 7 0引切线，则切线长的最小值为 14.已知函数112? xxy的图象与函数2?kx的图象恰有两个交点，则实数 k的取值范围是 _. 三、解答题 (共 6题 ,共 80分，解答写出必要的证明过程、文字说明 ) 15. （本题满分 12分） 平行四边形的两邻边所 在直线的方程为 x y 1 0 及 3x 4 0，其对角线的交点是 D(3,3)，求另两边所在的直线的方程 16.（本题满分 12分） 如图，在四棱锥ABCDP?中，平面 PAD 平面 ABCD， AB=AD， BAD=60 ， E、 F分别是 AP、AD的中点 .求证：（ 1）直线 EF 平面 PCD；
6、（ 2）平面 BEF 平面 PAD 17. （本题满分 14分） 广州大学城风景区有 50 辆自行车供游客租赁使用 ,管理这些自行车的费用是每日 115 元 .根据经验 ,若每辆自行车的日租金不超过 6 元 ,则自行车可以全部租出 ;若超出 6元 ,则每超过 1元 ,租不出的自行车就增加 3辆 .为了便于结算 ,每辆自行车的日租金 x(元 )只取整数 ,并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用 ,用 y (元 )表示出租FEACDBP- 3 - 自行车的日净收入 (即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得 ). (1)求函数()y f x?的解析式及其定义域； (2)试问当
7、每辆自行车的日租金定为多少元时 ,才能使一日的净收入最多？ 18、（本题满分 14分） 如图，在四棱锥P ABCD?中， PA?底面ABCD，AB AD AC C D?， ，60ABC?，AB BC?， E是PC的中点 （ ）求 PB和平面 PAD所成的角的大小； （ ）证明 AE平面PCD； （ ）求二面角A PD C?的正弦值 19（本题满分 14分） 已知坐标平面上点( , )Mxy与两个定点12(26 ,1), (2,1)MM的距离之比等于 5. (1)求点 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形； (2)记 (1)中的轨迹为C，过点( 2,3)A?的直线l被C所截得的线段的长为 8，求直线
8、l的方程 20. （本题满分 14分） 已知()fx是定义在 R上的奇函数，当0x?时，( ) 1 ( 0 1 )xf x a a a? ? ? ?且. (1)求(2) ( 2)ff?的值； (2)求 的解析式； (3)解关于x的不等式1 ( 1) 4fx? ? ? ?，结果用集合或区间表示 A B C D P E - 4 - 答案 一、选择题：（8 5 40?） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B C A B A C D 二、填 空题（6 30） 9、 10； 10、45； 11、 x 7y 0或 x y 6 0 12、61； 13、 142 ； 14、1?k或41部分解析
9、2. 【 解 析 】 函 数22)( 3 ? xxf x单 调 递 增 ， 又0121)0( ?f， 01212)1 ?f，所以根据根的存在定理可知在区间)1,0(内函数的零点个数为 1个，选 B. 4.【解析】由32?x，得323 ? x，即15 ? x，所以集合15 ? xxA，因为)1( nBA ，?，所以 1是方程0)2)( ? xmx的根，所以代入得0)1(3 ?，所以1?m，此时不等式0)2)(1( ? xx的解为2x，所以)11( ，?BA?，即?n。 5. 【解析】设点 P的坐标是),( yx.由PBPA 2?，得2222 )1(2)( yxyx ?，化简得4)2( 22 ?
10、y，点 的轨迹是以（ 2， 0）为圆心， 2为半径的圆，所求面积为?4，故选（ B） . 7. 【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，如图所示。本题所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和，利用垂直关系和三角形面积公式，可得：10?底S，后，10?右S，56?左，因此该几何体表面积5630 ? 左右后底 SSSS，故选 C。 8.【解析】在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，当0?a时，要想满足条件，则有如图做出点 A 关于原点的对称点 C,则 C点坐标为),( 11 yx ?， 由 图 象 知, 212 yyxx ?即 0,0 2121 ? yyxx，同理当0?a时，则有,0 2121
11、 ? yyx，故答案选 D. 11 【解析】 当直线 l经过原点时，直线 l在两坐标轴上截距均等于 0，故直线 l的斜率为 17， 所求直线方 程为 y 17x，即 x 7y 0当直线 l不过原点时，设其方程 xa yb 1， - 5 - 由题意可得 a b 0， 又 l经过点 (7,1)，有 7a 1b 1， 由 得 a 6， b 6，则 l的方程为 x6 y 6 1，即 x y 6 0 故所求直线 l的方程为 x 7y 0或 x y 6 0 12.【解析】法一：因为 E点在线段1AA上，所以2111211 ?DEDS，又因为 F点在线段CB1上，所以点 F到平面1DED的距离为 1, 即?
12、h，所以 611213131111 ? ? hSVV DEDDEDFEDFD. 法二：使用特殊点的位置进行求解，不失一般性令 E点在 A点处， F点在C点处，则 61111213131 111 ? ? DDSV ADCADCDEDFD。 14. 【解析】解 :函数1 )1)(1(112? ? x xxxx，当1?x时，11112 ? xxxx， 当1?x时，? ? ? 1,1 11,1112 xx xxxxx， 综上函数2 1111 , 1 111 , 1xxxy x xxxx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，做出函数的图象 (蓝线 )， 要使函数y与2?kxy有两个不同的交点，则直
13、线2?kxy必须在四边形区域 ABCD内和直线1?x平行的直线除外，如图，则此时当直线经过)2,1(B，401 )2(2 ?k，综上实数的取值范围是40 ?k且1?k，即10 ?k或41。 三、解答题 15解 ： 由题意得? x y 1 0，3x y 4 0， 解得 ? x 54，y 14，即平行四边形给定两邻边的顶点为为 ? ? 54， 14 又对角线交点为 D(3,3)，则此对角线上另一顶点为 ? ?294， 234 另两边所在直线分别与直线 x y 1 0及 3x y 4 0平行， 它们的斜率分别为 1及 3， - 6 - 即它们的方程为 y 234 ? ?x 294 ， 及 y 234
14、 3? ?x 294 ， 另外两边所在直线方程分别为 x y 13 0和 3x y 16 0 16.证明：（ 1）在 PAD中，因为 E、 F分别为 AP， AD 的中点，所以 EF/PD. 又因为 EF?平面 PCD， PD?平面 PCD， 所以直线 EF/平面 PCD. （ 2）连结 DB， 因为 AB=AD， BAD=60 ， 所以 ABD为正三角形，因为 F是 AD 的 中点，所以 BF AD.因为平面 PAD平面 ABCD， BF 平面 ABCD，平面 PAD?平面 ABCD=AD，所以 BF平面 PAD。又因为 BF?平面 BEF，所以平面 BEF平面 PAD. (2)略 18（
15、）解：在四棱锥P ABCD?中，因 PA?底面ABCD， ?平面ABCD，故PA 又 AB AD，AD A?，从而 平面 PAD 故 PB在平面 PAD内的射影为 ， 从而 APB 为 和平面 所成的角 在Rt PAB中， PA?，故45APB? 所以 和平面 所成的角的大小为45 （ ）证明：在四棱锥P ABCD?中 ， 因 PA?底面ABCD，CD?平面ABCD，故C PA? 由条件CD AC?，PA AC A?，CD?面PAC又 AE?面PAC，AE CD 由AB BC?，60ABC?，可得AC? E是PC的中点，PC， PC C?综上得 AE?平面PCD （ ）解：过点 E作 EM P
16、D?，垂足为 M，连结 AM由（ ）知， 平面PCD，AM在平面PCD内的射影是 ，则 PD? 因此 E 是二面角A PD C?的平面角由已知，得30CAD?设ACa?，得 PAa?，233AD a，21PD，22 a 在Rt ADP中， AM PD?， PDPAPDAM ?，则 解： （ 1 ） 当 6 , 5 0 1 1 5 , 5 0 1 1 5 0 , 2 . 3 .x y x x x? ? ? ? ?时 令 解 得 * , 3 , 3 6 , .NN x x x x? ? ? ? 2*6 , 5 0 3 ( 6 ) 1 1 5 . 5 0 3 ( 6 ) 1 1 5 0 , 3 6 8 1 1 5 0 .2 2 0 ( ) ,N x y x xx x x xxx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?当 时令 有上 述 不 等 式 的 整 数 解 为*6 2 0 ( )Nxx? ? ?， 故 *2*5 0 1 1 5 ( 3 6 , ) ,3 6 8 1 1 5 ( 6 2 0 , ) .NN x x xyx x x x? ? ? ? ? ? ?定义域为 * | 3 2 0 , .N x x x ? 解： （ 1 ） 当 6 , 5 0 1 1 5 , 5 0 1 1 5 0 ,
