1、1 1 1第五讲第五讲 非齐次线性方程组解的结非齐次线性方程组解的结构构一、非齐次线性方程组解的性质一、非齐次线性方程组解的性质二、非齐次线性方程组的通解的结构二、非齐次线性方程组的通解的结构 三、线性方程组的解法三、线性方程组的解法第四章 向量组的线性相关性2 2 22121 xbAxxx则的解都是及设 ,1)(证明证明 .021 bbA .021 Axx满满足足方方程程即即 bAbA 21,一、非齐次线性方程组解的性质一、非齐次线性方程组解的性质.的解为对应的齐次方程0Ax3 3 3证明证明 AAA ,0bb .的解的解是方程是方程所以所以bAxx 证毕是方程的解是方程设 xbAxx,2)
2、(的一个解的和的一个解的和均可表示为均可表示为 的一个特解和的一个特解和bAx 0 Ax.,的解仍是方程则的解bAxxAx 0由性质可以看出方程由性质可以看出方程bAx 的任一解的任一解结论：结论：4 4 4.11 rnrnkkx二、非齐次线性方程组的通解二、非齐次线性方程组的通解Ax=b 的通解为通过分析知，若求得非齐次线性方程组bAx 的一个解的一个解 及对应齐次方程组 的一个0 Ax*基础解系12,n r 则非齐次线性方程组5 5 5三、线性方程组的解法三、线性方程组的解法(1)应用克莱姆法则(2)利用初等变换特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有
3、用来证明很多命题计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可的计算方法表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数6 6 6线性方程组A x=b的求解步骤：(1)写出方程组对应的增广矩阵(A,b);(2)对增广矩阵施行初等行变换，化为行阶梯形矩阵;(3)判断方程组是否有解，若有解，继续对增广矩阵施行初等行变换，化为行最简形矩阵;(4)令自由未知量全部为零，可得特解;(5)令自由未知量一个为1,其余为零，可得对应的齐次方程组的基础解系;(6)写出通解.7 7 7例例1 1 .2132 ,13 0 432143214321 xxxxxxxxxxxx解解 213
4、2111311101111),(BA,00000212100211011 :施行初等行变换对增广矩阵B111100024100121 21312rrrr 232312rrrrr 求解方程组组8 8 8 .212,2143421xxxxx .021021 取取中中组组在对应的齐次线性方程在对应的齐次线性方程,2,43421 xxxxx ,00000212100211011 并有故方程组有解可见可见,2),()(BARAR,2131 xx则则,042 xx取即得方程组的一个解9 9 9,100142 及及xx,21 01 31 及及则则xx,1201,001121 即得对应的齐次线性方程组的基础解
5、系101010).,(,0210211201001121214321Rccccxxxx 于是所求通解为111111例2 设AX=b是一个4元非齐次线性方程组，R(A)=3，是它的三个解，且321,432121 ,11113 求AX=b的通解.解解:因为R(A)=3，AX=0的基础解系只含有一个向量，31 32 +,2101 .,3RccX 121212例3 已给方程组 2123123123,1xxxxxxxxx 211,11111BA b 解解 问取何值时有唯一解?无穷多解或无解?有无穷多解时求出通解.21312223110110111rrrr 1313133222223110110021rr 2221101100(1)(2)(1)1，(1)有唯一解 2 1，这时唯一解为 2111,222xxx 1 12 23 32223110110111（2）时 这时无解.2 ,R AR A b14141412111010001xkk （k1，k2为任意常数为任意常数）.1（3）时，,13,R AR A b有无穷多解，这时通解为 1111,11111111BA b2131111100000000rrrr 151515小结小结:3、非齐次线性方程组的通解的求法.1、非齐次线性方程组解的性质2、非齐次线性方程组的通解的结构
