1、数学物理方法第三章第三章 幂级数展开幂级数展开1、复数项级数2、幂级数3、泰勒级数展开4、解析延拓5、洛朗级数展开6、孤立奇点的分类数学物理方法3.3 3.3 泰勒级数展开泰勒级数展开 通过对幂级数的学习，我们已经知道一个通过对幂级数的学习，我们已经知道一个幂级数的和函数在它的收敛圆的内部是一个解幂级数的和函数在它的收敛圆的内部是一个解析函数。现在我们来研究与此相反的问题，就析函数。现在我们来研究与此相反的问题，就是：任何一个解析函数是否能用幂级数来表示？是：任何一个解析函数是否能用幂级数来表示？这个问题不但有理论意义，而且很有实用价值这个问题不但有理论意义，而且很有实用价值.数学物理方法3.
2、3.1泰勒级数数学物理方法 0z z R C 数学物理方法0zz0z001zzz000001111()()1zzzzzzzz01,(|1)1nnzzz其中其中z在在C的内部的内部,，而，而在在C上取值上取值,C取逆时针正方向取逆时针正方向.故故从而从而因为因为根据数学物理方法数学物理方法数学物理方法3.3.2 将函数展开成泰勒级数的方法将函数展开成泰勒级数的方法例例3.3.1 在 的邻域上把 展开。00z()zf ze解：函数 的各阶导数 而()zf ze()()kzfze()()0()(0)1kkfzf故 在 领域上的泰勒级数写为()zf ze00z 2311!2!3!zzzze 易求收敛半
3、径无限大数学物理方法例例3.3.2 在 的邻域把 和 展开。00z 1()sinf zz2()cosfzz1()cosfzz1()sinfzz(3)1()cosfzz(4)1()sinfzz解：函数 的前四阶导数分别为1()sinf zz由上可见其四阶导数等于函数本身，因此其高阶导数是前四阶导数的重复。且在 有00z 1(0)1f1(0)0f(3)1(0)1f(4)1(0)0f故有357sin1!3!5!7!zzzzz 数学物理方法同样的方法，可求得 在 邻域上的泰勒级数cosz00z 246cos12!4!6!zzzz 容易求得上面两个泰勒级数的收敛半径为无限大。即 Z在全复平面上取值只要有
4、限，上面两个级数就收敛。数学物理方法例例3.3.3 在 的邻域把 展开。01z()lnf zz解：多值函数 的支点在 现在展开中心 并非支点，在它的邻域上，各个单值互相独立，可以比照单值函数的方法展开，先计算系数 ()lnf zz0,zz 01z 1()fzz21!()fzz(3)32!()fzz()lnf zz(1)1f()1!fz (3)()2!fz(1)ln12fni 于是可写成 在邻域上的泰勒级数01z 数学物理方法2323411!2!lnln1(1)(1)(1)1!2!3!(1)(1)(1)2(1)234zzzzzzzniz可以求得上式的收敛半径为1。因此23(1)(1)ln2(1)
5、(1)23zzznizz上式n0的那一个单值分支叫作 的主值主值。ln z数学物理方法例例3.3.3 在 的邻域把 展开（m不是正整数）。00z()(1)mf zz解：先计算展开系数()(1)mf zz1()(1)mfzmz2()(1)(1)mfzm mz(3)3()(1)(2)(1)mfzm mmz(0)1mf(0)1mfm(0)(1)1mfm m(3)(0)(1)(2)1mfm mm23(1)(1)1111!2!(1)(2)13!mmmmmmm mzzzm mmz数学物理方法23(1)(1)(2)(1)1 1,(1)1!2!3!mmmm mm mmzzzzz易求其收敛半径为1，故式中221
6、()mi nmi nmee在许多的单值分支中，n0那一支即 的那一个叫作 的主值。上式也就是指数为非整数的二项式二项式定理定理。11m(1)mz数学物理方法二、当 较复杂时，求 比较麻烦。根据泰勒展式的唯一性，因此通常用间接展开法间接展开法，即利用基本展开公式及幂级数的代数运算、代换、逐项求导或逐项积分等将函数展开成幂级数，基本展开公式如下：()f z()0()nfz数学物理方法解：利用 有0,;!nznzezn 00352121011()()sin()()22!(1)3!5!(21)!(1)(21)!nniziznnmmmmmizizzeeiinnzzzzmzm 数学物理方法数学物理方法00
7、0101ln(1)d(1)d1(1),11zznnnnnnzzzzzzzn数学物理方法211(1)1zz 0(1)nnnz 110(1),1nnnnzz数学物理方法010111111(1)122212(1)1(1),(12)2nnnnnnnzzzz 1()111zf zzz 解：11(1)2z 数学物理方法解：12()(1)(2)12zf zzzzz 00011(/2)11/21(1)2nnnnnnnzzzzz数学物理方法作业作业P52（2），（3），（5），（6），（8）补充：（1）将 在 领域展开。shz00z 数学物理方法补充补充 泰勒展开的方法（参见陆全康教材）泰勒展开的方法（参见陆全
8、康教材）1、替换法、替换法解：解：令1z即 3312(1)zz 利用0(1)mmkkkza z得到330(1)()kkka 数学物理方法12()(1)(2)12zf zzzzz 解：第二式中令 即可2zt数学物理方法2、加减法002422011()()cos()()22!1(1)2!4!(2)!(1)(2)!nniziznnmmmmmizizzeennzzzmzm 数学物理方法3、多项式乘或除解：20(1)cos,.(2)!nnnzzzn 0,;!nznzezn 将上面两式直接相乘即可。数学物理方法解：利用357sin1!3!5!7!zzzzz 246cos12!4!6!zzzz 则sintancoszzz数学物理方法352463572315122472061205040zzzzzzzzzz357224720zzzz 3573573307203672zzzzzz数学物理方法4、化成微分方程法解：2()()(1)f zfzz于是2(1)()()0zfzf z对上逐次求导有22(3)(1)()(23)()0(1)()(45)()2()0zfzzfzzfzzfzfz令 则0z(0)fe依次可得到(0)3fe(3)(0)13,fe
