1、 第第5章章 光在各向异性介质中的传输特性光在各向异性介质中的传输特性(Transmission characteristics of light in anisotropy dielectric)前面几章我们由光的电磁理论出发，讨论了光在前面几章我们由光的电磁理论出发，讨论了光在各各向同性介质中向同性介质中的传播规律。现在，仍然从光的电磁的传播规律。现在，仍然从光的电磁理论出发，讨论光在理论出发，讨论光在各向异性介质中各向异性介质中的传播规律。的传播规律。光在光在晶体晶体中与光在各向同性介质中传播特性的主要中与光在各向同性介质中传播特性的主要差别是，光在晶体中不同方向传播时，其光学性质差别是
2、，光在晶体中不同方向传播时，其光学性质不同，不同，能够产生双折射、双反射和偏振效应能够产生双折射、双反射和偏振效应。方解石晶体方解石晶体 第第5章章 光在各向异性介质中的传输特性光在各向异性介质中的传输特性(Transmission characteristics of light in anisotropy dielectric)光在晶体界面上折射、反射时，一般将产生光在晶体界面上折射、反射时，一般将产生两束两束折折射光、反射光，而且它们是射光、反射光，而且它们是偏振方向互相垂直的线偏振方向互相垂直的线偏振光偏振光。eoieoi 第第5章章 光在各向异性介质中的传输特性光在各向异性介质中的传
3、输特性(Transmission characteristics of light in anisotropy dielectric)o 光和光和 e 光在晶体中具有不同的传播速度。光在晶体中具有不同的传播速度。o光在光在晶体中各方向的晶体中各方向的传播速度都相同传播速度都相同；e 光在晶体中的光在晶体中的传播速度随方向而改变传播速度随方向而改变。第第5章章 光在各向异性介质中的传输特性光在各向异性介质中的传输特性(Transmission characteristics of light in anisotropy dielectric)o 光遵从折射定律：光遵从折射定律：e 光一般不遵从折
4、射定律：光一般不遵从折射定律：e 光光折射线也不一定在折射线也不一定在入射面内入射面内。12osinsinitnnesinconstsinit 第第5章章 光在各向异性介质中的传输特性光在各向异性介质中的传输特性(Transmission characteristics of light in anisotropy dielectric)5.1 晶体的光学各向异性晶体的光学各向异性 (Optical anisotropy in crystals)晶体结构表现出一定的空间晶体结构表现出一定的空间周期性和对称性周期性和对称性。这种。这种结构特点导致了晶体结构特点导致了晶体宏观性质的各向异性宏观性质
5、的各向异性。氯氯钠钠在晶体中，描述光学特性的参量与方向有关，因方在晶体中，描述光学特性的参量与方向有关，因方向而异，它们是一些向而异，它们是一些张量张量。5.1 晶体的光学各向异性晶体的光学各向异性 (Optical anisotropy in crystals)5.1.1 张量的基础知识张量的基础知识 (basic knowledge of tensor)1.张量的概念张量的概念张量是使一个矢量与一个或多个其它矢量相关联的张量是使一个矢量与一个或多个其它矢量相关联的量。量。例如例如,矢量矢量 p 与矢量与矢量 q 有关则其一般关系应为有关则其一般关系应为 (1)pT q式中，式中，是关联是关
6、联 p 和和 q 的的二阶张量二阶张量。T111213212221331323312332 ()2TTTTTTTTqqqppTp在直角坐标系在直角坐标系 Ox1x2x3 中，上式可表示为矩阵形式中，上式可表示为矩阵形式1.张量的概念张量的概念式中，三个矩阵分别表示矢量式中，三个矩阵分别表示矢量 p、二阶张量、二阶张量 和和矢量矢量 q。T二阶张量有九个分量，每个分量都与一对坐标相关。二阶张量有九个分量，每个分量都与一对坐标相关。(1)式的分量表示式为式的分量表示式为111 1122133221 1222233331 1322333 (3)pT qT qT qpT qT qT qpT qT qT
7、 q其一般分量形式为其一般分量形式为 ,1,2,3 (4)iijjjpT qi j1.张量的概念张量的概念按照按照爱因斯坦求和规则爱因斯坦求和规则：若在同一项中下标重复两：若在同一项中下标重复两次，则可自动地按该下标求和，将上式简化为次，则可自动地按该下标求和，将上式简化为 ,1,2,3 (5)iijjpT qi j1.张量的概念张量的概念 ,1,2,3 (4)iijjjpT qi j如果如果 是张量，是张量，则则 p 矢量的某坐标分量不仅与矢量的某坐标分量不仅与 q 矢量的同一坐标分量有关，还与其另外两个分量有矢量的同一坐标分量有关，还与其另外两个分量有关关。T1.张量的概念张量的概念111
8、 1122133221 1222233331 1322333 (3)pT qT qT qpT qT qT qpT qT qT q矢量矢量 p 与两个矢量与两个矢量 u 和和 v 相关，其一般关系式为相关，其一般关系式为:(6)pT uv分量表示式为分量表示式为 ,1,2,3 (7)iijkjkpT ui j k式中，式中，为为三阶张量三阶张量，包含，包含 27 个分量。个分量。T1.张量的概念张量的概念111122133123132131113112121211222233223232231213212221311322333323332331313312321 (8)ijkTTTTTTTTT
9、TTTTTTTTTTTTTTTTTTT 其矩阵形式为其矩阵形式为1.张量的概念张量的概念一个一个标量标量可以看作是一个可以看作是一个零阶张量零阶张量，一个，一个矢量矢量可以可以看作是一个看作是一个一阶张量一阶张量。标量无下标，矢量有一个下。标量无下标，矢量有一个下标，二阶张量有两个下标，三阶张量有三个下标。标，二阶张量有两个下标，三阶张量有三个下标。1.张量的概念张量的概念ijkTijTiTT2.张量的变换张量的变换假若在原坐标系假若在原坐标系 O-x1x2x3 中，某张量表示式为中，某张量表示式为 Tij，在新坐标系在新坐标系 O-x1x2x3 中，该张量的表示式为中，该张量的表示式为Tij
10、.123123-O x x xO x x x ijijTT2.张量的变换张量的变换则当原坐标系则当原坐标系 O-x1x2x3 与新坐标系与新坐标系 O-x1x2x3的坐标的坐标变换矩阵为变换矩阵为 aij 时时，Tij 与与 Tij 的关系为的关系为111213111213111213112131212223212223212223122232313233313233132333313233 (9)TTTaaaTTTaaaTTTaaaTTTaaaaaaTTTaaaTTT2.张量的变换张量的变换其分量表示形式为其分量表示形式为 ,1,2,3 (10)ijikjlklTa a Ti j k l 这
11、就是张量变换定律。如果用张量的新坐标分量表示这就是张量变换定律。如果用张量的新坐标分量表示原坐标分量，原坐标分量，可通过逆变换得到可通过逆变换得到 (11)ijkiljklTa a T2.张量的变换张量的变换111213112212223233313233 (12)aaaAAAaaaAAAaaa 其分量变换公式为其分量变换公式为 ,1,2,3 (13)iijjAa Ai j如果考虑的是矢量，则新如果考虑的是矢量，则新坐标系中的矢量表示式坐标系中的矢量表示式 A 与原坐标系中的表示式与原坐标系中的表示式 A 间的矩阵变换关系为间的矩阵变换关系为3.对称张量对称张量一个二阶张量一个二阶张量 Tij
12、，如果有如果有 TijTji,称为称为对称张量对称张量,它只有它只有六个独立分量六个独立分量。231221111332233132 TTTTTTTTT3.对称张量对称张量与任何二次曲面一样，二阶对称张量存在着一个与任何二次曲面一样，二阶对称张量存在着一个主主轴坐标系轴坐标系。3.对称张量对称张量二次曲面二次曲面:若曲面若曲面 S 在直角坐标系下的方程是关在直角坐标系下的方程是关于于 x,y,z 的的三元二次方程三元二次方程,则称曲面则称曲面 S 是二次曲是二次曲面。面。主轴坐标系主轴坐标系：坐标轴选择得和椭球的主轴方向一坐标轴选择得和椭球的主轴方向一致的坐标系称为主轴坐标系。致的坐标系称为主轴
13、坐标系。3.对称张量对称张量在主轴坐标系中，张量只有三个对角分量非零，为在主轴坐标系中，张量只有三个对角分量非零，为对角化张量。对角化张量。3.对称张量对称张量于是，于是，当坐标系进行主轴变换时，二阶对称张量即当坐标系进行主轴变换时，二阶对称张量即可对角化可对角化。例如，某一对称张量。例如，某一对称张量111213212223313233 TTTTTTTTT经上述主轴变换经上述主轴变换后后，121112222113312333323,=0 TTTTTTTTTTTT3.对称张量对称张量123 0 00 00 0 TTT可表示为可表示为最后应指出，张量与矩阵是有区别的，张量代表一最后应指出，张量与
14、矩阵是有区别的，张量代表一种种物理量物理量，因此在坐标变换时，改变的只是表示方，因此在坐标变换时，改变的只是表示方式式,其物理量本身并不变化其物理量本身并不变化,而矩阵则只有而矩阵则只有数学意义数学意义。5.1.2 晶体的介电张量晶体的介电张量 (Dielectric tensor of crystals)介电常数介电常数 是表征介质电学特性的参量在是表征介质电学特性的参量在各向同性各向同性介质介质中中,电位移矢量电位移矢量 D 与电场矢量与电场矢量 E 满足如下关系满足如下关系:0rDE 介电常数介电常数 =0 r 是是标量标量。对于对于各向异性介质各向异性介质，D 和和 E 间的关系为间的
15、关系为0 (14)rDE 5.1.2 晶体的介电张量晶体的介电张量 (Dielectric tensor of crystals)介电常数介电常数 是二阶张量。是二阶张量。0r(14)式的分量形式为式的分量形式为0 ,1,2,3 (15)iijjDEi j 5.1.2 晶体的介电张量晶体的介电张量 (Dielectric tensor of crystals)电位移矢量电位移矢量 D 与电场矢量与电场矢量 E 的方向不同的方向不同,即即 D 矢矢量的每个分量均与量的每个分量均与 E 矢量的各个分量线性相关矢量的各个分量线性相关。电位移矢量电位移矢量 D 与电场矢量与电场矢量 E 的方向相同，即
16、的方向相同，即 D 矢矢量的每个分量只与量的每个分量只与 E 矢量的相应分量线性相关矢量的相应分量线性相关。0rDE 0 (14)rDE 晶体的介电张量晶体的介电张量 是一个是一个对称张量对称张量，因此它有六个，因此它有六个独立分量。经主轴变换后的介电张量是对角张量独立分量。经主轴变换后的介电张量是对角张量,只只有有三个非零的对角分量三个非零的对角分量。r123 0 00 00 0 1、2、3 称为主介电系数称为主介电系数。5.1.2 晶体的介电张量晶体的介电张量 (Dielectric tensor of crystals)231221111332233132 TTTTTTTTT由麦克斯韦关
17、系式由麦克斯韦关系式rn5.1.2 晶体的介电张量晶体的介电张量 (Dielectric tensor of crystals)还可以相应地定义三个主折射率还可以相应地定义三个主折射率 n1、n2、n3。123 0 00 00 0 123 0 00 00 0 nnn5.1.2 晶体的介电张量晶体的介电张量 (Dielectric tensor of crystals)在主轴坐标系中，在主轴坐标系中，(15)式可表示为式可表示为0 1 2 3 (16)iiiDEi ,0 ,1,2,3 (15)iijjDEi j 123 0 00 00 0 不同晶体的结构具有不同的空间对称性，自然界中存不同晶体的
18、结构具有不同的空间对称性，自然界中存在的晶体按其空间对称性的不同，分为在的晶体按其空间对称性的不同，分为七大晶系七大晶系：5.1.2 晶体的介电张量晶体的介电张量 (Dielectric tensor of crystals)立方晶系立方晶系四方晶系四方晶系六方晶系六方晶系三方晶系三方晶系正交晶系正交晶系单斜晶系单斜晶系三斜晶系三斜晶系双轴晶体双轴晶体:三斜、单斜和正交晶系中三斜、单斜和正交晶系中，主介电系，主介电系数数 1 2 3，这几类晶体在光学上称为双轴晶，这几类晶体在光学上称为双轴晶体。体。单轴晶体：单轴晶体：三方、四方、六方晶系中三方、四方、六方晶系中，主介电系，主介电系数数 1=2
19、 3 ，这几类晶体在光学上称为单轴晶，这几类晶体在光学上称为单轴晶体。体。各向同性各向同性：立方晶系立方晶系在光学上是在光学上是各向同性各向同性的，的，1 2 3 。5.1.2 晶体的介电张量晶体的介电张量 (Dielectric tensor of crystals)三斜三斜a b c b c=、c a=、a b=5.1.2 晶体的介电张量晶体的介电张量 (Dielectric tensor of crystals)简单单斜简单单斜底心单斜底心单斜 a b c =900 5.1.2 晶体的介电张量晶体的介电张量 (Dielectric tensor of crystals)简单正交简单正交
20、底心正交底心正交 a b c =900交体正交交体正交 面心正交面心正交 5.1.2 晶体的介电张量晶体的介电张量 (Dielectric tensor of crystals)简单四方简单四方 体心四方体心四方 a=b c =900三方三方 六方六方 a=b c =900 =1200a=b c =900 =12005.1.2 晶体的介电张量晶体的介电张量 (Dielectric tensor of crystals)简单立方简单立方 体心立方体心立方 面心立方面心立方 a=b=c =900 5.1.2 晶体的介电张量晶体的介电张量 (Dielectric tensor of crystals)各晶系的介电张量矩阵各晶系的介电张量矩阵晶晶 系系在主轴坐标系中在主轴坐标系中在非主轴坐标系中在非主轴坐标系中 光学分类光学分类三斜三斜单斜单斜正交正交双双 轴轴 三方三方四方四方六方六方单轴单轴立方立方各向同性各向同性123 0 00 00 0 113 0 00 00 0 111 0 00 00 0 111111 0 00 00 0 111133 0 00 00 0 112233 0 00 00 0 1131223133 0 0 0 0 111213212223313233
