1、 【类型综述】 面积是平面几何中一个重要的概念，关联着平面图形中的重要元素边与角，由动点而生成的面积问题， 是抛物线与直线形结合的觉形式，常见的面积问题有规则的图形的面积（如直角三角形、平行四边形、菱 形、矩形的面积计算问题）以及不规则的图形的面积计算，解决不规则的图形的面积问题是中考压轴题常 考的题型，此类问题计算量较大。有时也要根据题目的动点问题产生解的不确定性或多样性。解决这类问 题常用到以下与面积相关的知识：图形的割补、等积变形、等比转化等数学方法. 面积的存在性问题常见的 题型和解题策略有两类：一是先根据几何法确定存在性，再列方程求解，后检验方程的根二是先假设关 系存在，再列方程，后
2、根据方程的解验证假设是否正确 【方法揭秘】 解决动点产生的面积问题，常用到的知识和方法，如下： 如图 1，如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面积，直接用面积公式 如图 2，图 3，三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三角形的面积，用“割”或“补” 的方法 图 1 图 2 图 3 计算面积长用到的策略还有： 如图 4，同底等高三角形的面积相等平行线间的距离处处相等 如图 5，同底三角形的面积比等于高的比 如图 6，同高三角形的面积比等于底的比 图 4 图 5 图 6 【典例分析】 例 1 如图，抛物线 yax2bxc（a0）与 x 轴交于 A(1, 0
3、)，B(4, 0)两点，与 y 轴交于点 C(0, 2)点 M(m, n)是抛物线上一动点，位于对称轴的左侧，并且不在坐标轴上过点 M 作 x 轴的平行线交 y 轴于点 Q， 交抛物线于另一点 E，直线 BM 交 y 轴于点 F （1）求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标； （2）当 SMFQSMEB13 时，求点 M 的坐标 来源:163文库 ZXXK 例 2 如图， 已知抛物线与坐标轴分别交于点、和点 ，动点 从原点 开始沿 方向以每秒 个单位长度移动，动点 从点 开始沿方向以每秒 个单位长度移动，动点 、 同时出发，当 动点 到达原点 时，点 、 停止运动 直接写出抛物线的解析式：_； 求
4、的面积 与 点运动时间 的函数解析式；当 为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ 当的面积最大时，在抛物线上是否存在点 （点 除外） ，使的面积等于的最大面积？ 若存在，求出 点的坐标；若不存在，请说明理由 来源:学,科,网 Z,X,X,K 例 3 如图，在平面直角坐标系中，直线 1 1 2 yx与抛物线 yax2bx3 交于 A、B 两点，点 A 在 x 轴上，点 B 的纵坐标为 3点 P 是直线 AB 下方的抛物线上的一动点（不与点 A、B 重合），过点 P 作 x 轴 的垂线交直线 AB 于点 C，作 PDAB 于点 D （1）求 a、b 及 sinACP 的值； （2）设点 P 的横坐
5、标为 m 用含 m 的代数式表示线段 PD 的长，并求出线段 PD 长的最大值； 连结 PB，线段 PC 把PDB 分成两个三角形，是否存在适合的 m 的值，使这两个三角形的面积比为 910？若存在，直接写出 m 的值；若不存在，请说明理由 例 4 如图，已知二次函数的图象过点O(0,0)、A(4，0)、B( 4 3 2, 3 )，M 是OA 的中点 （1）求此二次函数的解析式； （2）设 P 是抛物线上的一点，过 P 作 x 轴的平行线与抛物线交于另一点 Q，要使四边形 PQAM 是菱形， 求点P 的坐标； （3）将抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，得曲线 OBA（B为 B 关于 x 轴
6、的对称点） ，在原抛 物线 x 轴的上方部分取一点C，连结CM，CM 与翻折后的曲线OBA 交于点D，若CDA 的面积是MDA 面积 的2 倍，这样的点C 是否存在？若存在求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由 例例 5 如图，直线 l 经过点 A(1，0)，且与双曲线 m y x (x0)交于点 B(2，1)过点( ,1)P p p(p1)作 x 轴的平行线分别交曲线 m y x (x0)和 m y x (x0)于 M、N 两点 （1）求 m 的值及直线 l 的解析式； （2）若点 P 在直线 y2 上，求证：PMBPNA； （3）是否存在实数 p，使得 SAMN4SAMP？若存在，请求出所
7、有满足条件的 p 的值；若不存在，请说 明理由 例例 6 如图 1，在ABC 中，C90 ，AC3，BC4，CD 是斜边 AB 上的高，点 E 在斜边 AB 上， 过点 E 作直线与ABC 的直角边相交于点 F，设 AEx，AEF 的面积为 y （1）求线段 AD 的长； （2）若 EFAB，当点 E 在斜边 AB 上移动时， 求 y 与 x 的函数关系式（写出自变量 x 的取值范围） ； 来源:Z。xx。k.Com 当 x 取何值时，y 有最大值？并求出最大值 （3）若点 F 在直角边 AC 上（点 F 与 A、C 不重合） ，点 E 在斜边 AB 上移动，试问，是否存在直线 EF 将ABC
8、 的周长和面积同时平分？若存在直线 EF，求出 x 的值；若不存在直线 EF，请说明理由 图 1 备用图 【变式训练】 1如图，点 A 是直线 y=x 上的动点，点 B 是 x 轴上的动点，若 AB=2，则AOB 面积的最大值为（ ） A2 B+1 C-1 D2 2如图，已知，以为圆心，长为半径作 ， 是上一个动点，直线交 轴于 点， 则面积的最大值是（ ） A B C D 3如图，在中， ，动点 从点 开始沿向点 以的速度移动， 动点 从点 开始沿向点 以的速度移动.若 ， 两点分别从 ， 两点同时出发， 点到达 点运动停 止，则的面积 随出发时间 的函数关系图象大致是（ ） A B C D
9、 4如图，在中， ，动点 P 从点 B 开始沿边 BA、A C 向点 C 以 的速度移动，动点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以的速度移动，设的面积为运动时间 为，则下列图象能反映 y 与 x 之间关系的是 A B C D 5如图，在正方形ABCD中，3ABcm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动，同时 动点N自D点出发沿折线DCCB以每秒2cm的速度运动，到达B点时运动同时停止，设AMN的面 积为 2 y cm，运动时间为x（秒） ，则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是（ ） A B C. D 6如图，在矩形中，点 是边上的动点（点 不与点 ，点 重合） ，
10、过点 作直 线，交边于 点，再把沿着动直线对折，点 的对应点是 点，设的长度为 ，与 矩形重叠部分的面积为 （1）求的度数； （2）当 取何值时，点 落在矩形的边上？ （3）求 与 之间的函数关系式； 当 取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的？ 7已知直角梯形 OABC 在如图所示的平面直角坐标系中，ABOC，AB=10，OC=22，BC=15，动点 M 从 A 点出发，以每秒一个单位长度的速度沿 AB 向点 B 运动，同时动点 N 从 C 点出发，以每秒 2 个单位长度 的速度沿 CO 向 O 点运动。当其中一个动点运动到终点时，两个动点都停止运动。 （1）求 B 点坐标； （2）设运动时
11、间为 t 秒。 当 t 为何值时，四边形 OAMN 的面积是梯形 OABC 面积的一半； 当 t 为何值时，四边形 OAMN 的面积最小，并求出最小面积。 若另有一动点 P，在点 M、N 运动的同时，也从点 A 出发沿 AO 运动。在的条件下，PMPN 的长度 也刚好最小，求动点 P 的速度。 8如图，在中， ，动点 从点 开始沿着边向点 以的速 度移动（不与点 重合） ，动点 从点 开始沿着边向点 以的速度移动（不与点 重合） 若 、 两 点同时移动； 当移动几秒时，的面积为 设四边形的面积为，当移动几秒时，四边形的面积为？ 9如图，已知抛物线 y= x2+bx+c 与坐标轴分别交于点 A（
12、0，8） 、B（8，0）和点 E，动点 C从原点 O 开始沿 OA方向以每秒 1个单位长度移动， 动点 D从点 B开始沿 BO方向以每秒 1 个单位长度移动， 动点 C、 D 同时出发，当动点 D到达原点 O 时，点 C、D 停止运动 （1）直接写出抛物线的解析式： ； （2）求CED 的面积 S 与 D 点运动时间 t 的函数解析式；当 t 为何值时，CED 的面积最大？最大面积是 多少？ （3）当CED的面积最大时，在抛物线上是否存在点 P（点 E除外） ，使PCD的面积等于CED 的最大面 积？若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由 10如图，已知抛物线 y= 1 2 x2+b
13、x+c 与坐标轴分别交于点点 A（0，8） 、B（8，0）和点 E，动点 C 从原 点 O 开始沿 OA 方向以每秒 1 个单位长度移动，动点 D 从点 B 开始沿 BO 方向以每秒 1 个单位长度移动， 动点 C、D 同时出发，当动点 D 到达原点 O 时，点 C、D 停止运动 来源:学.科.网 Z.X.X.K （1）求该抛物线的解析式及点 E 的坐标； 来源:Z。xx。k.Com （2） 若 D 点运动的时间为 t， CED 的面积为 S， 求 S 关于 t 的函数关系式， 并求出CED 的面积的最大值 11 如图 1， 抛物线 2 yxbxc与x轴交于AB、两点， 与y轴交于点0 2C，
14、 连结 AC， 若t a n2 .OAC （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线对称轴上有一动点 P，当90APC时，求出点P的坐标； （3）如图 2 所示，连结BC，M是线段BC上（不与B、C重合）的一个动点.过点M作直线ll ，交 抛物线于点N，连结CN、BN，设点M的横坐标为当 t 为何值时，BCN的面积最大？最大面积为 多少？ 12在ABC 中，ACB=90 ，AC=BC，D 是 AB 的中点，点 E 是边 AC 上的一动点，点 F 是边 BC 上 的一动点 （1）若 AE=CF，试证明 DE=DF； （2）在点 E、点 F 的运动过程中，若 DEDF，试判断 DE 与 DF 是否一定
15、相等？ 并加以说明 （3）在（2）的条件下，若 AC=2，四边形 ECFD 的面积是一个定值吗？若不是， 请说明理由，若是，请 直接写出它的面积 13如图，在ABC中，已知ACAB， 0 90BAC，cmBC6，直线BCCM ，动点 D 从点 C 开始以每秒 2cm 的速度运动到 B 点，动点也同时从点 C 开始沿射线 CM 方向以每秒 1cm 的速度运动 （1）问运动多少秒时，ACEABD，并说明理由 （2）设运动时间为x秒，请用含x的代数式来表示ABD的面积 （3）运动多少秒时，ABD与ACE的面积比为 3:1 14在平面直角坐标系中，平行四边形如图放置，点 、 的坐标分别是、，将此平行四
16、 边形绕点 顺时针旋转，得到平行四边形 如抛物线经过点 、 、，求此抛物线的解析式； 在情况下，点 是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点在何处时，的面积最大？最大面 A 积是多少？并求出此时 的坐标； 在的情况下，若 为抛物线上一动点， 为 轴上的一动点，点 坐标为，当 、 、 、 构成以 作为一边的平行四边形时，求点 的坐标 15如图，直线 y= 1 2 x+1 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，抛物线 y=x2+bx+c 经过 A、B 两点 （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 是第一象限抛物线上的一点，连接 PA、PB、PO， 若POA 的面积是POB 面积的 4 3 倍求
17、点 P 的坐标； 当四边形 AOBP 的面积最大时，求点 P 的坐标； （3）点 M 为直线 AB 上的动点，点 N 为抛物线上的动点，当以点 O、B、M、N 为顶点的四边形是平行四 边形时，请直接写出点 M 的坐标 16 （2015 秋随州期末）如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A （1，0） 、B（0，3）及 C（3，0）点，动 点 D 从原点 O 开始沿 OB 方向以每秒 1 个单位长度移动，动点 E 从点 C 开始沿 CO 方向以每秒 1 个长度单 位移动，动点 D、E 同时出发，当动点 E 到达原点 O 时，点 D、E 停止运动 （1）求抛物线的解析式及顶点 P 的坐标；
18、 （2）若 F（1，0） ，求DEF 的面积 S 与 E 点运动时间 t 的函数解析式；当 t 为何值时，DEF 的面积最 大？最大面积是多少？ （3）当DEF 的面积最大时，抛物线的对称轴上是否存在一点 N，使EBN 是直角三角形？若存在，求出 N 点的坐标，若不存在，请说明理由 17如图，抛物线与 轴交于点 和点，与 轴交于点 ，其对称轴 为 求抛物线的解析式并写出其顶点坐标； 若动点 在第二象限内的抛物线上，动点 在对称轴 上 当，且时，求此时点 的坐标； 当四边形的面积最大时，求四边形面积的最大值及此时点 的坐标 18如图，直线与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，抛物线 经过 、 两点 求
19、抛物线的解析式； 如图，点 是直线上方抛物线上的一动点，当面积最大时，请求出点 的坐标和面积的最 大值？ 在的结论下，过点 作 轴的平行线交直线于点 ，连接，点 是抛物线对称轴上的动点，在抛物 线上是否存在点 ，使得以 、 、 、为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点 的坐标； 如果不存在，请说明理由 19如图，抛物线与坐标轴交点分别为， ，作直线 BC 求抛物线的解析式； 点 P 为抛物线上第一象限内一动点， 过点 P作轴于点 D， 设点 P 的横坐标为， 求 的面积 S与 t的函数关系式； 条件同，若与相似，求点 P 的坐标 20如图，已知抛物线过点 A（4，0），B（2，0） ，C（0，4） （1）求抛物线的解析式； （2）在图甲中，点 M 是抛物线 AC段上的一个动点，当图中阴影部分的面积最小值时，求点 M 的坐标； （3）在图乙中，点 C 和点 C1关于抛物线的对称轴对称，点 P 在抛物线上，且PAB=CAC1，求点 P 的横 坐标
