1、 【类型综述】 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为 特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导 边的大小。 若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后 利用相似来列方程求解。 【方法揭秘】 相似三角形的判定定理有 3 个，其中判定定理 1 和判定定理 2 都有对应角相等的条件，因此探求两个 三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对
2、应角相等 判定定理 2 是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检 验 如果已知AD，探求ABC 与DEF 相似，只要把夹A 和D 的两边表示出来，按照对应边成 比例，分 ABDE ACDF 和 ABDF ACDE 两种情况列方程 应用判定定理 1 解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等 应用判定定理 3 解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组） 还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是 确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题 求线段的长，要用到两点间的距离公式，而这
3、个公式容易记错理解记忆比较好 如图 1，如果已知 A、B 两点的坐标，怎样求 A、B 两点间的距离呢？ 我们以 AB 为斜边构造直角三角形， 直角边与坐标轴平行， 这样用勾股定理就可以求斜边 AB 的长了 水 平距离 BC 的长就是 A、B 两点间的水平距离，等于 A、B 两点的横坐标相减；竖直距离 AC 就是 A、B 两点 间的竖直距离，等于 A、B 两点的纵坐标相减 来源:163文库 ZXXK 图 1 【典例分析】 例 1 如图 1，已知直线 yx3 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，抛物线 yx2bxc 经过 A、 B 两点，点 P 在线段 OA 上，从点 O 出发，向点 A 以
4、每秒 1 个单位的速度匀速运动；同时，点 Q 在线段 AB 上，从点 A 出发，向点 B 以每秒2个单位的速度匀速运动，连结 PQ，设运动时间为 t 秒 （1）求抛物线的解析式； （2）问：当 t 为何值时，APQ 为直角三角形； （3）过点 P 作 PE/y 轴，交 AB 于点 E，过点 Q 作 QF/y 轴，交抛物 线于点 F，连结 EF，当 EF/PQ 时，求点 F 的坐标； （4）设抛物线顶点为 M，连结 BP、BM、MQ，问：是否存在 t 的值，使以 B、Q、M 为顶点的三角形 与以 O、B、P 为顶点的三角形相似？若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由 例例 2 二次函数
5、yax2bxc（a0）的图象与 x 轴交于 A(3, 0)、B(1, 0)两点，与 y 轴交于点 C(0, 3m)（m0） ，顶点为 D （1）求该二次函数的解析式（系数用含 m 的代数式表示） ； （2）如图 1，当 m2 时，点 P 为第三象限内抛物线上的一个动点，设APC 的面积为 S，试求出 S 与 点 P 的横坐标 x 之间的函数关系式及 S 的最大值； （3）如图 2，当 m 取何值时，以 A、D、C 三点为顶点的三角形与OBC 相似？ 图 1 图 2 例 3 如图 1，在平面直角坐标系中，双曲线（k0）与直线 yx2 都经过点 A(2, m) （1）求 k 与 m 的值； （2）
6、此双曲线又经过点 B(n, 2)，过点 B 的直线 BC 与直线 yx2 平行交 y 轴于点 C，联结 AB、AC， 求ABC 的面积； （3）在（2）的条件下，设直线 yx2 与 y 轴交于点 D，在射线 CB 上有一点 E，如果以点 A、C、E 所组成的三角形与ACD 相似，且相似比不为 1，求点 E 的坐标 图 1 例 4 如图 1，RtABC 中，ACB90 ，AC6 cm，BC8 cm，动点 P 从点 B 出发，在 BA 边上以 每秒 5 cm 的速度向点 A 匀速运动，同时动点 Q 从点 C 出发，在 CB 边上以每秒 4 cm 的速度向点 B 匀速运 动，运动时间为 t 秒（0t
7、2） ，连接 PQ （1）若BPQ 与ABC 相似，求 t 的值； （2）如图 2，连接 AQ、CP，若 AQCP，求 t 的值； （3）试证明：PQ的中点在ABC 的一条中位线上 图 1 图 2 例 5 如图 1，已知抛物线 2 11 (1) 444 b yxbx （b 是实数且 b2）与 x 轴的正半轴分别交于点 A、B （点 A 位于点 B 是左侧） ，与 y 轴的正半轴交于点 C （1）点 B 的坐标为_，点 C 的坐标为_（用含 b 的代数式表示） ； （2）请你探索在第一象限内是否存在点 P，使得四边形 PCOB 的面积等于 2b，且PBC 是以点 P 为直 角顶点的等腰直角三角形
8、？如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点 Q，使得QCO、QOA 和QAB 中的任意两个三角形 均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由 图 1 例 6 如图 1，已知抛物线的方程 C1： 1 (2)()yxxm m (m0)与 x 轴交于点 B、C，与 y 轴交于点 E，且点 B 在点 C 的左侧 （1）若抛物线 C1 过点 M(2, 2)，求实数 m 的值； （2）在（1）的条件下，求BCE 的面积； （3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点 H，使得 BHEH 最小，求出点
9、 H 的坐标； （4）在第四象限内，抛物线 C1 上是否存在点 F，使得以点 B、C、F 为顶点的三角形与BCE 相似？ 若存在，求 m 的值；若不存在，请说明理由 图 1 【变式训练】 1 如图， 在四边形中， 点 为边上一动点， 若 与是相似三角形，则满足条件的点 的个数是（ ） A 个 B 个 C 个 D 个 2如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，ABC=90 ，AD=2 ，BC=6 ，AB=7 ，点 P 是从点 B 出发 在射线 BA 上的一个动点，运动的速度是 1/s，连结 PC、PD若PAD 与PBC 是相似三角形，则满足 条件的点 P 个数是（ ） A5 个 B4 个 C3
10、个 D2 个 3已知：如图，在长方形 ABCD 中,AB=4，AD=6.延长 BC 到点 E，使 CE=2,连接 DE,动点 P 从点 B 出发， 以每秒 2 个单位的速度沿 BCCDDA 向终点 A 运动,设点 P 的运动时间为 t 秒,当 t 的值为 （ ） 秒时， ABP 和DCE 全等 A1 B1 或 3 C1 或 7 D3 或 7 4如图，在中，点 是边上一动点（不与 、 重合） ，交于 点 ，且，则线段的最大值为_ 5如图， Rt ABC中， 90 ,8,3CACBC, , ,AEAC P Q分别是,AC AE上动点，且 PQAB，当AP=_时，才能使ABC和PQA全等. 6如图，
11、在ABC 中，AB=AC=10，点 D 是边 BC 上一动点 （不与 B，C 重合） ，ADE=B=，DE 交 AC 于点 E，且 下列结论： ADEACD； 当 BD=6 时，ABD与DCE 全等； DCE为直角三角形时，BD为 8或； CD2=CECA 其中正确的结论是_ （把你认为正确结论的 序号都填上） 7如图，在中，点 是边上的动点（点 与点 、 不重合） ， 过动点 作交于点 若与相似，则_ 8如图，直线与 轴交于点，与 轴交于点 ,抛物线 经过点. (1)求抛物线的解析式， (2)已知点 是抛物线上的一个动点，并且点 在第二象限内，过动点 作轴于点 ，交线段于点 . 如图 1，过
12、 作轴于点 ，交抛物线于两点(点位于点 的左侧)，连接，当线段的长度最 短时，求点的坐标， 如图 2，连接，若以为顶点的三角形与相似，求的面积. 9如图，抛物线与坐标轴交点分别为，作直线 BC 求抛物线的解析式； 点 P 为抛物线上第一象限内一动点， 过点 P作轴于点 D， 设点 P 的横坐标为， 求 的面积 S与 t的函数关系式； 条件同，若与相似，求点 P 的坐标 10如图，抛物线 2 0yaxbxc a的顶点坐标为2, 1，并且与y轴交于点0,3C，与x轴交于 A、B两点 （1）求抛物线的表达式 （2）如图1，设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行
13、 线EF，与抛物线交于点F，问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与BCO相似若存 在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由 11如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于 、 两点，抛物线过 、 两点，点 为线段上一动点，过点 作轴于点 ，交抛物线于点 求抛物线的解析式 求面积的最大值 连接，是否存在点 ，使得和相似？若存在，求出点 坐标；若不存在，说明理由 12在平面直角坐标系中，抛物线与 轴的两个交点分别为 A（-3，0） 、B（1，0） ， 与 y 轴交于点 D(0，3)，过顶点 C 作 CHx 轴于点 H. （1）求抛物线的解析式和顶点 C 的坐标；来源:163文库 ZX
14、XK （2）连结 AD、CD，若点 E 为抛物线上一动点（点 E 与顶点 C 不重合） ，当ADE 与ACD 面积相等时， 求点 E 的坐标； （3）若点 P 为抛物线上一动点（点 P 与顶点 C 不重合） ，过点 P 向 CD 所在的直线作垂线，垂足为点 Q， 以 P、C、Q 为顶点的三角形与ACH 相似时，求点 P 的坐标. 13抛物线过点和，点 P为 x轴正半轴上的一个动点，连接 AP，在 AP 右侧作，且，点 B 经过矩形 AOED的边 DE 所在的直线，设点 P 横坐标为 t来源:学科网 ZXXK 求抛物线解析式； 当点 D落在抛物线上时，求点 P 的坐标； 若以 A、B、D 为顶点
15、的三角形与相似，请直接写出此时 t的值 14如图，已知抛物线 2 yaxbxc的对称轴为直线1x ， （ 0a） ，且经过1,0A 、0, 3C两 点，与x轴交于另一点B，设D是抛物线的对称轴1x 上的一动点，且90DCB （1）求这条抛物线所对应的函数关系式 （2）求点D的坐标 （3）探究坐标轴上是否存在点P，使得P、A、C为顶点的三角形与BCD相似？若存在，请指出符合 条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由 15如图，已知抛物线与 x 轴交于 A（1，0） ，B（3，0） ，与 y 轴交于 C（0，3） ，顶点为点 M （1）求抛物线的解析式及点 M 的坐标 （2）点
16、 P 是直线 BC 在 y 轴右侧部分图象上的动点，若点 P，点 C，点 M 所构成的三角形与AOC 相似， 求符合条件的 P 点坐标 （3）过点 C 作 CDAB，CD 交抛物线于点 D，点 Q 是线段 CD 上的一动点，作直线 QN 与线段 AC 交于 点 N，与 x 轴交于点 E，且BQEBDC，当 CN 的值最大时，求点 E 的坐 标 16如图，在平面直角坐标系 xOy中，将抛物线 y=x2平移，使平移后的抛物线经过点 A（3，0） 、B（1， 0） (1)求平移后的抛物线的表达式 (2)设平移后的抛物线交 y轴于点 C，在平移后的抛物线的对称轴上有一动点 P，当 BP 与 CP 之和
17、最小时，P 点坐标是多少？ (3)若 y=x2与平移后的抛物线对称轴交于 D点，那么，在平移后的抛物线的对称轴上，是否存在一点 M，使 得以 M、O、D为顶点的三角形BOD 相似？若存在，求点 M 坐标；若不存在，说明理由 17已知抛物线的图象经过点、，顶点为 ，与 轴交于点 求抛物线的解析式和顶点 的坐标； 如图 ， 为线段上一点，过点 作 轴平行线，交抛物线于点 ，当的面积最大时，求点 的坐 标； 如图 ，若点 是直线上的动点，点 、 、 所构成的三角形与相似，请直接写出所有点 的坐 标； 如图 ，过 作轴于 点，是 轴上一动点， 是线段上一点，若，则 的最大 值为_，最小值为_ 18如图
18、，已知抛物线的对称轴是 y 轴，且点（2，2） ， （1， 5 4 ）在抛物线上，点 P 是抛物线上不与顶点 N 重合的一动点，过 P 作 PAx 轴于 A，PCy 轴于 C，延长 PC 交抛物线于 E，设 M 是 O 关于抛物线顶点 N 的对称点，D 是 C 点关于 N 的对称点 （1）求抛物线的解析式及顶点 N 的坐标；来源:学.科.网 （2）求证：四边形 PMDA 是平行四边形； （3）求证：DPEPAM，并求出当它们的相似比为3时的点 P 的坐标 19如图 1，抛物线 2 yxbxc 经过 1,0A ， 4,0B 两点，与 y 轴相交于点 C，连接 BC点 P 为抛物线上一动点，过点
19、P 作 x 轴的垂线 l，交直线 BC 于点 G，交 x 轴于点 E 求抛物线的表达式；来源:学*科*网 当 P 位于 y 轴右边的抛物线上运动时，过点 C 作 CF 直线 l， F 为垂足当点 P 运动 到何处时，以 P， C， F 为顶点的三角形与 OBC 相似?并求出此时点 P 的坐标； 如图 2，当点 P 在位于直线 BC 上方的抛物线上运动时，连接 PC， PB请问 PBC 的面积 S 能否取得最大值?若能，请求出最大面积 S，并求出此时点 P 的坐标；若不能，请说明理由 20如图，已知抛物线经过 A（2，0） ，B（3，3）及原点 O，顶点为 C （1）求抛物线的解析式； （2）若点 D 在抛物线上，点 E 在抛物线的对称轴上，且 A、O、D、E 为顶点的四边形是平行四边形，求 点 D 的坐标； （3）P 是抛物线上的第一象限内的动点，过点 P 作 PMx 轴，垂足为 M，是否存在点 P，使得以 P、M、A 为顶点的三角形BOC 相似？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由
