1、1第六章 定积分及其应用2一、一、定积分问题举例定积分问题举例二、二、定积分的定义定积分的定义1 定积分的概念 3一、定积分问题举例一、定积分问题举例1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线)0)()(xfxfy，轴及x以及两直线bxax,所围成,求其面积 A.?A)(xfy 矩形面积ahhaahb梯形面积)(2bahyOxab41xix1ixxabyO解决步骤解决步骤:1)大化小大化小.在区间 a,b 中任意插入 n 1 个分点bxxxxxann1210,1iiixx用直线ixx 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;2)常代变常代变.在第i 个窄曲边梯形上任取作以,1iixx为底
2、,)(if为高的小矩形,并以此小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积,iA得)()(1iiiiiixxxxfA),2,1,nii53)近似和近似和.niiAA1niiixf1)(4)取极限取极限.令,max1inix则曲边梯形面积niiAA10limniiixf10)(lim1xix1ixxabyOi62.变速直线运动的路程变速直线运动的路程设某物体作直线运动,)(21TTCtvv且,0)(tv求在运动时间内物体所经过的路程 s.解决步骤解决步骤:1)大化小大化小.,1iiitt任取将它分成,),2,1(,1nittii在每个小段上物体经2)常代变常代变.,)(代替变速以iv得iiitvs)(,
3、1,21个分点中任意插入在nTT),2,1(nisi),2,1(ni已知速度n 个小段过的路程为73)近似和近似和.iniitvs1)(4)取极限取极限.iniitvs10)(lim)max(1init上述两个问题的共性共性:解决问题的方法步骤相同:“大化小,常代变,近似和,取极限”所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限8Oab x二、定积分定义二、定积分定义,)(上定义在设函数baxf的若对,ba任一种分法,210bxxxxan,1iiixxx令任取,1iiixxi时只要0max1inixiniixf1)(总趋于确定的极限 I,则称此极限 I 为函数)(xf在区间,ba上的定积分定积分,1
4、xix1ixbaxxfd)(即baxxfd)(iniixf10)(lim此时称 f(x)在 a,b 上可积可积.记作9baxxfd)(iniixf10)(lim积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和称为积分区间,ba定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量用什么字母表示无关,即baxxfd)(battfd)(bauufd)(10三、定积分的几何意义三、定积分的几何意义:Axxfxfbad)(,0)(曲边梯形面积baxxfxfd)(,0)(曲边梯形面积的负值abyx1A2A3A4A5A54321d)(AAAAAxxfba各部分面积的代数和AO11四、可积的充分条件四、可积的充分条
5、件:定理定理.上连续在函数,)(baxf.,)(可积在baxf12 作业作业 P136 1-8132 2 定积分的性质定积分的性质abbaxxfxxfd)(d)(0d)(aaxxfxxfkxxfkbabad)(d)(k 为常数)bababaxxgxxfxxgxfd)(d)(d)()(bccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(合理规定合理规定性质一性质一性质二性质二性质三性质三14性质四性质四 若在 a,b 上则.0d)(xxfba,0)(xf性质五性质五.若在 a,b 上,)()(xgxf则xxfbad)(xxgbad)(15性质六性质六（估值定理）设,)(min,)(max,xfmxf
6、Mbaba则)(d)()(abMxxfabmba)(ba 性质七（定性质七（定积分中值定理）积分中值定理）,)(baCxf若则至少存在一点,ba)(d)(abfxxfba使得16内容小结内容小结1.定积分的定义 乘积和式的极限2.定积分的性质17作业作业 p140 9.12 第二节 18一、积分上限的函数及其导数一、积分上限的函数及其导数 二、牛顿二、牛顿 莱布尼茨公式莱布尼茨公式 3 定积分的基本公式（牛顿-莱布尼兹公式）19)(xxhx一、变上限的定积分一、变上限的定积分,)(baCxf则变上限函数xattfxd)()(证证:,bahxx则有hxhx)()(h1xahxattfttfd)(
7、d)(hxxttfhd)(1)(f)(hxxhxhxh)()(lim0)(lim0fh)(xf)(x定理一定理一.若.,)(上的一个原函数在是baxf,)(baCxf)(xfy xbayO20说明说明:1)定理 一 证明了连续函数的原函数是存在的.2)其他变限积分求导:bxttfxd)(dd)(xf)(d)(ddxattfx)()(xxf所以也可以把定理一叫做原函数存在定理.)()(d)(ddxxttfx)()()()(xxfxxf)()(d)(d)(ddxaaxttfttfx21例1 求)sin(|)sin()sin(2212xtdttxtxx解：xxdtt12)sin(xxdtt02)si
8、n(例2 求解：)sin(|)sin()sin()sin(220202xtdttdttxtxxxx22二、基本公式二、基本公式上的一个原在是连续函数设,)()(baxfxF)()(d)(aFbFxxfba(牛顿-莱布尼茨公式)证证:根据定理 1,)(d)(的一个原函数是xfxxfxa故CxxfxFxad)()(,ax 令,)(aFC 得因此)()(d)(aFxFxxfxa,bx 再令得)()(d)(aFbFxxfba记作)(xFab)(xFab定理二定理二.函数,则或23 例例3.计算.10dxex解解:例例4.计算正弦曲线轴所围成上与在xxy,0sin的面积.解解:0dsinxxAxcos0
9、1()12Oyxxysin1|011010eeeedxexx24内容小结内容小结,)()(,)(xfxFbaCxf且设则有1.微积分基本公式xxfbad)(积分中值定理)(abF)()(aFbF微分中值定理)(abf牛顿 莱布尼茨公式2.变限积分求导公式 25作业作业第三节 P144 14;17;18;20；21；24;27;26二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法 4 4 定积分的换元法 和分部积分法 不定积分一、定积分的变量置换法一、定积分的变量置换法 换元积分法分部积分法定积分换元积分法分部积分法27一、定积分的变量置换法一、定积分的变量置换法 定理定理.设函数,)(baCxf单
10、值函数)(tx满足:1),)(1Ct 2)在,上,)(bta;)(,)(batfxxfbadd)()(t)(t证证:所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在,且它们的原函数也存在.,)()(的一个原函数是设xfxF是的原函数,因此有则baxxfd)()()(aFbF)(F)(Ftfd)(t)(tF)(tf)(t)(t则28说明说明:1)当 ,即区间换为，时,定理 1 仍成立.2)必需注意换元必换限换元必换限,原函数中的变量不必代回.3)换元公式也可反过来使用,即)(tx令xxfbad)(或配元f)(t)(dt配元不换限tfd)(t)(ttfxxfbadd)()(t)(ttfd)(t)(t29
11、例例1.计算).0(d022axxaa解解:令,sintax 则,dcosdttax;0,0tx时当.,2tax时 原式=2attad)2cos1(2202)2sin21(22tta0242a20ttdcos2O22xayxyaS且30例例2.计算.d12240 xxx解解:令,12 xt则,dd,212ttxtx,0时当x,4时x.3t 原式=ttttd231212ttd)3(21312)331(213tt 13322;1t且 31例例3.,)(aaCxf设证证:(1)若,)()(xfxfaaaxxfxxf0d)(2d)(则xxfaad)(2)若,)()(xfxf0d)(aaxxf则xxfa
12、d)(0 xxfad)(0ttfad)(0 xxfad)(0 xxfxfad)()(0,d)(20 xxfa时)()(xfxf时)()(xfxf,0偶倍奇零偶倍奇零tx令32例例4.计算2210sinxdxx0sin2210 xdxx解：因为xxxfsin)(10是奇函数，积分区间对称原点，所以33二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法,)(,)(1baCxvxu设则)()(d)()(xvxuxxvxubaabbaxxvxud)()(证证:)()()()()()(xvxuxvxuxvxu)()(xvxuabxxvxuxxvxubabad)()(d)()(baxxvxud)()()()(x
13、vxuabbaxxvxud)()(上积分两端在,ba34例例5.计算.darcsin210 xx解解:原式=xx arcsin021210 xxxd1212)1(d)1(212022121xx1221)1(2x0211223135内容小结内容小结 基本积分法换元积分法分部积分法换元必换限配元不换限边积边代限思考与练习思考与练习1.提示提示:令,txu_d)(sindd0100ttxxx则ttxxd)(sin0100ud0 xu100sinx100sin362.设,0)1(,)(1fCtf,lnd)(31xttfx(e).f求解法解法1.31d)(lnxttfx)1()(3fxf)(3xf,3x
14、u 令3ln)(uuf得uln3131(e)f解法解法2.对已知等式两边求导,xxfx132)(3,3xu 令uuf31)(得)1(d)(e)e1fuuffe1131duu31思考思考:若改题为xttfxlnd)(313?(e)f提示提示:两边求导,得331)(xxfe1d)(e)xxff得373.设,1,0)(连续在xf ,3)2(,1)0(ff且,5)2(f求.d)2(10 xxfx 解解:xxfxd)2(10)2(d2110 xfx10)2(21xfx xxfd)2(102510)2(41xf2(分部积分分部积分)38 作业作业P149 33;34;38;40;44;50;51;52;习
15、题课 39三、旋转体的体积三、旋转体的体积5 5 定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用 二、二、直角坐标系中的平面图形的面积直角坐标系中的平面图形的面积一、概述一、概述40一、概述iAniiAA1 用定积分解决面积问题时的方法和步骤用定积分解决面积问题时的方法和步骤。总的思路：1、将区间a,b分成n个子区间；所求之曲边梯形A的面积为每个子区间小曲边梯形的面积 之和，即 412、第i个子区间上取iA的近似值iiixfA)(3、得总和niiixfA1)(4、取极限得dxxfxfAbaniii)()(lim1042 实 际问题中有很多其他的几何量和物理量的类似问题，具体做法（微元法）如下：设
16、所求量为Q1、在区间a,b内任取一个子区间，用x,x+dx表 示,在此区间上的部分量记为 即QdxxfQ)(dxxfdQ)(即2、求和、取极限后，得dxxfQba)(43ybxa)(2xfy)(1xfy O二、直角坐标系中的平面图形的面积二、直角坐标系中的平面图形的面积设曲线)0()(xfy与直线)(,babxax及 x 轴所围曲则xxfAd)(dxxfAbad)(边梯形面积为 A,右下图所示图形面积为 xxfxfAbad)()(21Oxbay)(xfy xxdxxxxd44例例1.计算两条抛物线22,xyxy在第一象限所围图形的面积.解解:由xy 22xy 得交点)1,1(,)0,0(xxx
17、Ad)(d22332x01331x3110AxyOxy 22xy xxxd)1,1(145Oxy224 xyxy例例2.计算抛物线xy22与直线的面积.解解:由xy224 xy得交点)4,8(,)2,2()4,8(yyyAd)4(d221184 xy所围图形)2,2(221yy442361y为简便计算,选取 y 作积分变量,则有42Ayyyd46三、旋转体的体积三、旋转体的体积设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x),)(baxA在则对应于小区间d,xxx的体积元素为xxAVd)(d因此所求立体体积为xxAVbad)(xabxxxd)(xA上连续,47Oxy)(yx特别,当考虑连续曲线段2)
18、(xf轴旋转一周围成的立体体积时,有轴绕xbxaxfy)()(xdbaV当考虑连续曲线段)()(dycyx绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有2)(yyddcVycdxyabxyabO)(xfy x48ayxb例例4 计算由椭圆12222byax所围图形绕 x 轴旋转而转而成的椭球体的体积.解解:方法方法1 利用直角坐标方程)(22axaxaaby则xxaabad)(220222(利用对称性)3222312xxaab0a234abOaV02xy d2x49方法方法2 利用椭圆参数方程tbytaxsincos则xyVad202ttabdsin23222 ab32234ab1 02特别当b=a
19、时,就得半径为a 的球体的体积.343aayxbOx50内容小结内容小结1.直角坐标系中的平面图形的面积2.已知平行截面面积函数 A(x)的立体体积baxxAVd)(旋转体的体积2)(yxA绕 x 轴:yxxA2)(绕 y 轴:(柱壳法)(xyy 51思考与练习思考与练习1.用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长 s.提示提示:交点为,)3,9(,)1,1(yAd 312yx 032 yxyxO13y)32(y2y332yd 31241yyd 31221弧线段部分直线段部分)52ln()376ln(4155373s以 x 为积分变量,则要分两段积分,故以 y 为积分变量.52作业作业 P
20、155 53;55;56;57;58;61;65;补充题补充题:设有曲线,1xy过原点作其切线,求由此曲线、切线及 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所得到的旋转体的表面积.536 定积分在经济中的应用定积分在经济中的应用 一、由边际函数求原经济函数一、由边际函数求原经济函数（一）需求函数（二）总成本函数（一）需求函数（二）总成本函数（三）总收入函数（四）利润函数（三）总收入函数（四）利润函数 二、由边际函数求最优问题二、由边际函数求最优问题 三、在其它经济问题中的应用三、在其它经济问题中的应用54（一）需求函数（一）需求函数由第一章知由第一章知,需求量需求量Q是价格是价格P的函数的函数)
21、,(PQQ 一般地一般地,价格价格0 P时时,需求量最大需求量最大,为为,0Q即即00|)(PPQQ若已知边际需求为若已知边际需求为),(PQ 则总需求函数则总需求函数)(PQ为为 dPPQPQ)()(设最大需求量设最大需求量其中其中,积分常数积分常数C可由条件可由条件00|)(QPQP 确定确定.或用变上限的定积分表示为或用变上限的定积分表示为)(PQ.)(00 PQdttQ55例例1 1已知对某种商品的需求量是价格已知对某种商品的需求量是价格的函数的函数，P且边际需求且边际需求,4)(PQ该商品的最大需求量为该商品的最大需求量为8 80),80 Q求需求量与价格的函数关系求需求量与价格的函
22、数关系.解解由边际需求的不定积分公式，由边际需求的不定积分公式，可可得需求量得需求量dPPQPQ)()(dP4 CP 4C(为积分常数为积分常数).).代入代入80)(0 PPQ,80 C于是需求量与价于是需求量与价格的函数关系是格的函数关系是804)(PPQ0P时，时，(即即56（二）总成本函数（二）总成本函数设产量为设产量为x时的边际成本为时的边际成本为),(xC 固定成本为固定成本为,0C则产量为则产量为x时的总成本函数为时的总成本函数为)(xC dxxC)(其中其中,积分常数积分常数C由初始条件由初始条件0)0(CC 确定确定.或者变上限的定积分公式直接求得总成本函数或者变上限的定积分
23、公式直接求得总成本函数)(xC其中其中,0C为固定成本为固定成本,xdttC0)(为变动成本为变动成本.xCdttC00)(57例例2若一企业生产某产品的边际成本是产量若一企业生产某产品的边际成本是产量x的函数的函数,2)(2.0 xexC 固定成本固定成本,900 C求总成本求总成本函数函数.解解由不定积分公式得由不定积分公式得dxxCxC)()(dxex2.02 Cex 2.02.02C(为积分常数为积分常数)由固定成本由固定成本,900 C即即0 x时时，,90)0(C代入代入上式得上式得C 109008C 于是总成本函数为于是总成本函数为.8010)(2.0 xexC58（三）总收入函
24、数（三）总收入函数设产销量为设产销量为x时的边际收入为时的边际收入为),(xR 则产销则产销量为量为x时的总收入函数时的总收入函数 dxxRxR)()(其中其中,积分常数积分常数C由由0)0(R确定确定定产销量为定产销量为0 0时总收入为时总收入为0).0).或由变上限的定积分公式直接求得总收入函数或由变上限的定积分公式直接求得总收入函数)0)0(R.)()(0 xdttRxR(一般地假一般地假可由不定积分公式得可由不定积分公式得59例例3 3已知生产某产品已知生产某产品x单位时的边际收入为单位时的边际收入为)(xRx2100(元元/单位单位)，求生产求生产4040单位时的总收入及单位时的总收
25、入及平均收入平均收入，并求再增加并求再增加1010个单位时所增加的总收入个单位时所增加的总收入.解解 由变上限定积分公式由变上限定积分公式dttRxRx)()(0 直接求出直接求出dxxR)2100()40(400 4002)100(xx 2400(元元)平均收入平均收入6040240040)40(R(元元)在生产在生产4040单位后再生产单位后再生产1010单位所增加的总收入可由单位所增加的总收入可由增量公式求得增量公式求得)40()50(RRR dxxR)(5040 60（四）利润函数（四）利润函数设某产品边际收入为设某产品边际收入为),(xR 边际成本边际成本),(xC 总收入为总收入为
26、dttRxRx 0)()(总成本为总成本为 xCdttCxC00)()(为固定成本为固定成本)()0(0CC 边际利润为边际利润为)()()(xCxRxL 利润利润)()()(xCxRxL )()(000CdttCdttRxx 则则00)()(CdttCtRx 61即即00)()(CdttLxLx 其中其中,称为产销量为称为产销量为 xdttL0)(x时的毛利时的毛利,减去固定成本即为减去固定成本即为纯利纯利.毛利毛利62例例4 4 已知某产品的边际收入已知某产品的边际收入,225)(xxR 边际边际成本成本,413)(xxC 固定成本为固定成本为,100 C求当求当 x5时的毛利和纯利时的毛
27、利和纯利.解法一解法一由边际利润由边际利润)()()(xCxRxL )413()225(xx x212 当当5 x时的纯利为时的纯利为050)()5(CdttLL .751085 可求得可求得5 x时的毛利为时的毛利为dttdttLx)212()(500 ,85)12(502 tt63解法二解法二总收入总收入dttRR)()5(50 dtt)225(50 100)25(502 tt总成本总成本050)()5(CdttCC 10)413(50 dtt2510)213(502 tt纯利纯利)5()5()5(CRL ,7525100 64二、由边际函数求最优问题65例例5 某企业生产某企业生产x吨产
28、品时边际成本为吨产品时边际成本为30501)(xxC(元元/吨吨)且固定成本为且固定成本为900900元元，试求产量为多少时平均成本试求产量为多少时平均成本最低最低?解解 首先求出成本函数首先求出成本函数.00)()(CdttCxCx 900)30501(0 dttx9003010012 xx得平均成本函数为得平均成本函数为xxCxC)()(xx900301001 66得平均成本函数为得平均成本函数为xxCxC)()(xx900301001 ,9001001)(2xxC 令令0 C3001 x300(2 x舍去舍去).因此因此，)(xC仅有一个驻点仅有一个驻点.3001 x67三、在其它经济问
29、题中的应用68例例6 6某国某年国民收入在国民之间分配的劳伦茨某国某年国民收入在国民之间分配的劳伦茨曲线可近似地由曲线可近似地由1,0,2 xxy表示，表示，试求该国的基试求该国的基尼系数尼系数.解解如图如图，dxxfA)(2110 dxx21021 1033121x 613121 基尼系数基尼系数2161 BAA.33.031 HOM人口百分数人口百分数2040L6080100204060801002 xyAB697 7反常积分反常积分常义积分积分限有限被积函数有界推广无穷区间的反常积分无穷区间的反常积分反常积分(广义积分)70定义一定义一.设,),)(aCxf,ab 取若xxfbabd)(
30、lim存在,则称此极限为 f(x)的无穷限反常积分反常积分,记作xxfxxfbabad)(limd)(这时称反常积分xxfad)(收敛;如果上述极限不存在,就称反常积分xxfad)(发散.类似地,若,()(bCxf则定义xxfxxfbaabd)(limd)(无穷区间的反常积分无穷区间的反常积分71,),()(Cxf若则定义xxfd)(xxfcaad)(limxxfbcbd)(lim(c 为任意取定的常数)只要有一个极限不存在,就称xxfd)(发散.无穷区间的反常积分也称为第一类反常积分第一类反常积分.,并非不定型,说明说明:上述定义中若出现 它表明该反常积分发散.72,)()(的原函数是若xf
31、xF引入记号;)(lim)(xFFx)(lim)(xFFx则有类似牛 莱公式的计算表达式:xxfad)()(xFa)()(aFFxxfbd)()(xFb)()(FbFxxfd)()(xF)()(FF73例1计算积分dxxex02解：21210|21)(210200222xxxexdedxxe74例例2.计算反常积分.1d2 xx解解:21dxxarctanx)2(2xy211xyO思考思考:?01d2对吗xxx分析分析:)1ln(211d22xxxx原积分发散!注意注意:对反常积分,只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零”的性质,否则会出现错误.75例例3.计算12dxx解：解：112d1|1xxx 76P163 80;81；82；85；86；87；91；作业作业
