1、 1 / 5 绝密启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试 III 卷 数 学(理) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合 * ( ,) ,( ,)8 ,Ax yx yNyxBx yxy=+=则AB中元素
2、的个数为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 2.复数 1 1 3i 的虚部是 A. 3 10 B. 1 10 C. 1 10 D. 3 10 3.在一组样本数据中，1，2，3，4 出现的频率分别为 1234 ,P P P P，且 4 1 1 i i P = = ，则下面四种情形中，对应样本的 标准差最大的一组是 A. 1423 0.1,0.4PPPP= B. 1423 0.4,0.1PPPP= C. 1423 0.2,0.3PPPP= D. 1423 0.3,0.2PPPP= 4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计
3、确诊病例数( )I t（t的单位：天）的 Logistic 模型： 0.23(53) ( ) 1 t K I t e = + ，其中K为最大确诊病例数，当 * ( )0.95I tK=时，标志着已初步遏制疫情，则 * t约为（ln193） A. 60 B. 63 C. 66 D. 69 5.设O为坐标原点，直线2x =与抛物线() 2 :20C ypx p=交于,D E两点，若ODOE，则C的焦点坐标为 2 / 5 A. 1 ( ,0) 4 B. 1 ( ,0) 2 C.()1,0 D. ()2,0 6.已知向量, a b满足| 5,| 6,6,aba b= 则cos,a ab+= A. 31
4、 35 B. 19 35 C. 17 35 D. 19 35 7.在ABC中， 2 cos,4,3, 3 CACBC=则cosB = A. 1 9 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 8.右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 A.64 2+ B.44 2+ C.62 3+ D.42 3+ 9.已知2tantan()7, 4 +=则tan= A.2 B. 1 C. 1 D.2 10.若直线l与曲线yx=和圆 22 1 5 xy+=都相切，则l的方程为 A.21yx=+ B. 1 2 2 yx=+ C. 1 1 2 yx=+ D. 11 22 yx=+ 11.设双曲线() 22 22
5、 :10,0 xy Cab ab =的左、右焦点分别为 12 ,F F离心率为5.P是C上一点，且 12 .FPF P 若 12 PFF的面积为4,则a = A.1 B.2 C.4 D.8 12.已知 5445 58 ,138 ,设 5813 log 3,log 5,log 8,abc=则 A.abc B.bac C. bca D.cab 3 / 5 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.若, x y满足约束条件 0 20 1 xy xy x + ,则32zxy=+的最大值为_. 14. 6 2 2 x x + 的展开式中常数项是_(用数字作答). 15.已知圆锥
6、的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_. 16.关于函数 1 ( )sin sin f xx x =+有如下四个命题： ( )f x的图像关于y轴对称. ( )f x的图像关于原点对称. ( )f x的图像关于直线 2 x =对称. ( )f x的最小值为2. 其中所有真命题的序号是_. 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17 21题为必考题，每个试题考生都必 须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17.（12 分） 设数列 n a满足 1 3a =， 1 34 nn aan + =. （1
7、）计算 23 ,a a猜想 n a的通项公式并加以证明； （2）求数列2n n a的前n项和 n S. 4 / 5 18.（12 分） 某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下 表（单位：天）： 锻炼人次 空气质量等级 0,200 (200,400 (400,600 1（优） 2 16 25 2（良） 5 10 12 3（轻度污染） 6 7 8 4（中度污染） 7 2 0 （1）分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率； （2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （3）若某天的空
8、气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这 天“空气质量不好”.根据所给数据，完成下面22列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中 到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？ 人次400 人次400 空气质量好 空气质量不好 附: () ()()()() 2 2 , n adbc K abcdacbd = + 19.(12 分) 如图，在长方体 1111 ABCDABC D中，点,E F分别在棱 11 ,DD BB上，且 11 2,2.DEED BFFB= （1）证明:点 1 C在平面AEF内; （2）若 1 2,1,3,ABADAA=求二
9、面角 1 AEFA的正弦值. 5 / 5 20.(12 分) 已知椭圆() 22 2 :1 05 25 xy Cm m +=的离心率为 15 , 4 ,A B分别为C的左、右顶点. （1）求C的方程； （2）若点P在C上，点Q在直线6x =上，且| |,BPBQ BPBQ=求APQ的面积. 21.（12 分） 设函数 3 ( )f xxbxc=+，曲线( )yf x=在点 11 ( ,( ) 22 f处的切线与y轴垂直. （1）求b； （2）若( )f x有一个绝对值不大于1的零点，证明：( )f x所有零点的绝对值都不大于1. （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22.选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 2 2 2, 23 xtt ytt = =+ (t为参数且)1t ，C与坐标轴交于A，B两点. （1）求|AB； （2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程. 23.选修 4-5：不等式选讲（10 分） 设, ,0,1.a b cR abcabc+= （1）证明：0abbcca+； （2）用max, ,a b c表示, ,a b c的最大值，证明 3 max, ,4a b c
