1、 江苏省苏州市江苏省苏州市 20182018- -20192019 学年上学期高一期末数学试卷学年上学期高一期末数学试卷 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 1414 小题，共小题，共 70.070.0 分）分） 1.已知集合，则_ 【答案】 【解析】 【分析】 集合A、B的公共元素是 2，进而可得到集合A、B的交集。 【详解】集合A、B的公共元素是 2，则AB2. 【点睛】本题考查了集合的交集，考查了学生对基础知识的掌握，属于基础题。 2.函数的定义域为_ 【答案】 【解析】 【分析】 由对数的真数大于 0，列出不等式求解即可。 【详解】由题意，解得，故函数的定义域为. 【点睛】本题考
2、查了函数定义域的求法，考查了对数的性质，属于基础题。 3.若角 的终边经过点,则的值为_ 【答案】-2 【解析】 由三角函数的定义可得，应填答案。 4.已知向量(3，5)，(4，1)，则向量的坐标为_ 【答案】 【解析】 【分析】 由即可得到答案。 【详解】由题意，. 【点睛】本题考查了平面向量的坐标表示及运算，考查了学生对平面向量知识的掌握，属于 基础题。 5.已知 ，且 是第四象限角，则的值是_ 【答案】 【解析】 【分析】 由 是第四象限角，可得，进而可以求出，结合，可得到答案。 【详解】因为 是第四象限角，所以，则， 则. 【点睛】本题考查了三角函数求值，考查了三角函数诱导公式，属于基
3、础题。 6.下列函数中，定义域是 R R 且在定义域上为减函数的是_ ； 【答案】 【解析】 【分析】 对四个函数逐个分析，满足题意；是单调递增函数；定义域不是 R R；不是递减函数。 【详解】，故的定义域是 R R 且在定义域上为减函数；，为定义域 上的增函数，不满足题意；，定义域为，不满足题意；， 在定义域上不是单调函数，不满足题意。 故答案为. 【点睛】本题考查了函数的定义域，考查了函数单调性的判断，涉及指数函数、对数函数、 一次函数与分段函数，属于基础题。 7.设，若，则 . 【答案】 【解析】 当，解得（舍去） ，当，解得或（舍去） ，当，解得（舍 去） ，综上故填 8.已知函数的零
4、点(n，n1)，则n的值是_ 【答案】1 【解析】 【分析】 分析可得函数是 上的增函数，可知零点在(1，2)上，进而可得到答案。 【详解】因为函数和都是 上的增函数，所以函数是 上的增函数， 由于，故函数的零点(1，2)， 即n=1. 【点睛】本题考查了函数零点存在性定理的应用，考查了函数的单调性，属于基础题。 9.计算：_ 【答案】7 【解析】 【分析】 由指数与对数的运算性质，化简即可得到答案。 【详解】，故3+4=7. 【点睛】本题考查了指数与对数式子的运算性质，考查了学生的计算能力，属于基础题。 10.把函数的图象向右平移 个单位长度，再将所得图象上的所有点的横坐标变为原来 的 倍（
5、纵坐标不变） ，则得到的图象的函数解析式为_ 【答案】 【解析】 【分析】 利用三角函数图象的伸缩、平移变换规律，即可得到答案。 【详解】将函数的图象向右平移 个单位长度得到，再将所得图象上的所有 点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变）得到. 【点睛】由函数ysin x的图象通过变换得到yAsin(x)的图象，有两种主要途径： “先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”。 11.某次帆船比赛LOGO（如图 1）的设计方案如下：在RtABO中挖去以点O为圆心，OB为半 径的扇形BOC（如图 2） ，使得扇形BOC的面积是RtABO面积的一半设AOB (rad)，则 的值为_ 【答案】 【解析】 【分析】
6、 设，进而表示出三角形的面积和扇形的面积，然后建立关系式可得到 的值。 【详解】设，则三角形的面积为，扇形的面积为， 则，故， 因为，所以. 【点睛】本题考查了三角形的面积公式，考查了扇形的面积公式，考查了学生分析问题、解 决问题能力，属于中档题。 12.如图，在长方形 ABCD 中，M，N 分别为线段 BC，CD 的中点，若， ， 则的值为_ 【答案】 【解析】 【分析】 设，以 为坐标原点，所在直线为 轴，所在直线为 轴，建 立坐标系，用坐标表示，即可求出的值，进而得到答案。 【详解】设，以 为坐标原点，所在直线为 轴，所在直线为 轴，建立如图所示坐标系，则，则 ， 即， 则即，解得，则.
7、 【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了向量在 平面几何的应用，考查了学生的推理能力与计算能力，属于中档题。 13.如图，在矩形纸片ABCD中，AB6cm，AD10cm，沿着过C点的直线将矩形右下角折起， 使得右下角顶点B落在矩形的左边AD上设折痕所在的直线与AB交于M点，记翻折角BCM 为 ，则 tan 的值是_ 【答案】 【解析】 【分析】 设顶点B对折后交AD于N，设，由题中关系可得，即可求出，进 而由可得到答案。 【详解】设顶点B对折后交AD于N，设，则， ，则， 故，即，解得，则. 【点睛】本题考查了平面几何的翻折问题，考查了直角三角形在解决几何问题 中的应用，考查了学生的运算求解
8、能力，属于中档题。 14.已知函数， 设函数， 若函数在 R R 上恰有两 个不同的零点，则k的值为_ 【答案】 【解析】 【分析】 由题意知在 R R 上恰有两个不同的解，即函数与的图象有 两个不同交点，结合函数的表达式画出的图象，即可得到答案。 【详解】 由题意知在 R R 上恰有两个不同的解， 即函数与的 图象有两个不同交点， 当时， 则， 当时， 取得最小值为； 当时，则，当 时，取得最大值为 . 可画出函数的图象，可知当时，函数与的图象有两 个不同交点。 【点睛】已知函数有零点（方程有根）求 参数值常用的方法和思路 （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
9、 （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； （3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求 解。 二、解答题（本大题共二、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 90.090.0 分）分） 15.设全集UR R，已知集合A1，2，B，集合C为不等式组的解集 (1)写出集合A的所有子集； (2)求和 【答案】 （1） ； （2） 【解析】 【分析】 （1） 对集合A1，2，写出它的子集即可； （2）先求出集合C， 由补集和并集的概念求出 和即可。 【详解】 （1）因为集合，所以它的子集 , ,; （2）因为 , 所; 由，解得，所以
10、所以 【点睛】本题考查了集合的子集，考查了集合的补集与并集的求法，考查了不等式的求法， 考查了学生的计算能力，属于基础题。 16.设向量 (cosx，1)， (，4sinx) （1）若 ，求 tanx的值； （2）若( ) ，且，求向量 的模 【答案】 （1）； （2）. 【解析】 【分析】 （1）由 ，建立等式关系进而可以得到 tanx的值； （2）由( ) ，建立等式关系可以 得到的值，结合可以求出向量 ，进而得到答案。 【详解】 （1）因为，所以 因为，所以，即. （2）因为,即 所以，即，所以， 因为，所以，所以，即， 此时，所以. 【点睛】本题考查了平面向量垂直的坐标表示，平面向量共
11、线的坐标表示，向量的模，考查 了三角函数的化简与求值，属于中档题。 17.已知函数是定义在 R R 上的偶函数，当x0 时， （1）当x0 时，求函数的表达式； （2）记集合M，求集合M 【答案】 （1）； （2）. 【解析】 【分析】 （1）当时，代入x0 时的解析式，利用偶函数的性质，即可得到 答 案 ； （ 2 ） 分 情 况 讨 论 ， 当时 ，； 当时 ， ，分别求解即可。 【详解】 （1）因为当时，,所以， 又因为函数为偶函数，所以， 所以时，函数的表达式为. （2）当时， 若，则,显然不成立； 当时，若， 则,即, 平方后有，解得，适合题意. 综上可知，. 【点睛】已知函数的奇偶
12、性求解析式： 将待求区间上的自变量，转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关 于的方程(组)，从而得到的解析式。 18.某校高一数学研究小组测量学校的一座教学楼 AB 的高度 已知测角仪器距离地面的高度为 h 米，现有两种测量方法： 方法 如图用测角仪器，对准教学楼的顶部 A，计算并记录仰角；后退 a 米，重复 中的操作，计算并记录仰角 方法如图 用测角仪器，对准教学楼的顶部 A 底部 B，测出教学楼的视角，测 试点与教学楼的水平距离 b 米 请你回答下列问题： 用数据 ， ，a，h 表示出教学楼 AB 的高度； 按照方法 II，用数据 ，b，h 表示出教学楼 AB 的高度
13、【答案】 （1）； （2）. 【解析】 【分析】 （1）由，可得，进而可求出的表达式； （2）过 作， 垂足为 ， 可表示出， 结合 与，可得到的表达式，进而得到教学楼高度的表达式。 【详解】 （1）由题意得：，所以， 因为，所以， 所以教学楼AB的高度为. (2)如下图，过 作，垂足为 ，则， 所以， 因为， 所以. 所以， 所以教学楼的高度为， 故教学楼的高度为. 【点睛】利用直角三角形的性质是解决本题的关键，本 题涉及多个直角三角形，利用公共边构造等量关系，考查了学生对所学知识的应用，属于中 档题。 19.在平面直角坐标系 xOy 中，已知点， 求的值； 若的平分线交线段 AB 于点 D
14、，求点 D 的坐标； 在单位圆上是否存在点 C，使得？若存在，请求出点 C 的坐标；若不存在， 请说明理由 【答案】 （1）63； （2）； （3）单位圆上存在点或，满足题意. 【解析】 【分析】 （1） 分别表示出与， 即可求出； （2） 设点， 由与平行可得到， 再由，得到，即可求出的值，进而得到答案； （3）假设 单位圆上存在点满足条件，用向量的坐标表示出，结合，即 可求出点C的坐标。 【详解】 （1）因为， 所以； （2）设点,则， 因为点 在线段上， 所以,即有，化简得, 再设， 因为， 同理， 可知,化简得， 由解得，即点 的坐标为. （3）假设单位圆上存在点满足条件， 则 ； 当
15、时，即， 又因为，所以， 可知或. 所以，当 为第二象限角时，; 当 为第四象限角时，. 综上所述，单位圆上存在点或,满足题意。 【点睛】本题考查了向量的数量积，共线向量的性质及向量的坐标运算，考查了学生对向量 知识的理解及运用，属于中档题。 20.定义：若对定义域内任意x，都有（a为正常数） ，则称函数为“a距”增函 数 （1）若，(0，)，试判断是否为“1 距”增函数，并说明理由； （2）若，R R 是“a距”增函数，求a的取值范围； （3）若，(1，)，其中kR R，且为“2 距”增函数，求的最小值 【答案】 （1）见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】 （1）利用“1 距”增
16、函数的定义证明即可； （2）由“a距”增函数的定义得到 在上恒成立，求出a的取值范围即可； （3）由为“2 距”增函数可得到在恒成立，从而得到恒 成立，分类讨论可得到 的取值范围，再由，可讨论出的最小值。 【详解】 （1）任意, 因为, 所以，所以，即是“1 距”增函数。 （2）. 因为是“ 距”增函数，所以恒成立， 因为,所以在上恒成立， 所以，解得，因为,所以. （3）因为，且为“2 距”增函数， 所以时，恒成立， 即时，恒成立， 所以， 当时，即恒成立， 所以, 得; 当时， 得恒成立， 所以,得, 综上所述，得. 又， 因为,所以， 当时，若，取最小值为 ； 当时，若，取最小值. 因为在 R R 上是单调递增函数， 所以当，的最小值为 ；当时的最小值为， 即 . 【点睛】本题考查了函数的综合知识，考查了函数的单调性与最值，考查了恒成立问题，考 查了分类讨论思想的运用，属于中档题。
