1、 宿迁市宿迁市 2018201920182019 学年度第一学期期末考试学年度第一学期期末考试 高高 一一 数数 学学 （考试时间（考试时间 120120 分钟，试卷满分分钟，试卷满分 150150 分分) ) 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分。在每小题给出的四个选项中，只有一分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。请把正确选项填涂在答题卡上指定位置。项是符合题目要求的。请把正确选项填涂在答题卡上指定位置。 1.设集合，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由集合的并集运
2、算直接求解即可. 【详解】因为，所以= 【点睛】本题主要考查并集的运算，牢记定义即可求解，属于基础题型. 2.已知向量，若，则实数 的值为（ ） A. B. 1 C. 6 D. 1 或 6 【答案】B 【解析】 【分析】 由向量垂直，得到数量积为 0，由向量的坐标运算即可求解. 【详解】因为，若，所以，即，解得. 故选 B 【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，由向量垂直可得向量数量积为 0，进而可 求解，属于基础题型. 3.的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由诱导公式以及特殊角所对应的三角函数值计算即可. 【详解】 【点睛】本题主要考查诱导公式，以
3、及特殊角所对应的三角函数值，只需熟记公式即可解题， 属于基础题型. 4.若，则实数 的值为（ ） A. B. 1 C. 1 或 D. 1 或 3 【答案】B 【解析】 【分析】 分类讨论或，求出 ，检验即可. 【详解】因为，所以或，所以或， 当时，不符合题意，所以舍去； 故以， 选 B 【点睛】本题主要考查元素与集合之间的关系，注意集合中元素的互异性，属于基础题型. 5.函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 求函数的定义域即是求使函数有意义的 的范围，列不等式组，即可求解. 【详解】由题意可得，所以，即. 故选 C 【点睛】本题主要考查函数的定义域，根据
4、求已知解析式的函数定义域即是求使解析式有意 义的 的范围，即可求解，属于基础题型. 6.化简的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由同角三角函数基本关系即可将原式化简. 【详解】 . 故选 A 【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系，熟记公式即可求解，属于基础题型. 7.设是两个互相垂直的单位向量，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先由互相垂直， 可得其数量积为 0， 再计算与的数量积， 以及与 的模，代入夹角公式即可求解. 【详解】因为互相垂直，所以， 所以， ， ， 所以，所以夹角为 . 故选 B 【点睛】本题主
5、要考查向量的夹角公式，只需熟记公式，求出对应向量的数量积和向量的模， 代入公式即可求解，属于常考题型. 8.函数的一段图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据函数的奇偶性和函数的值域可判断出结果. 【详解】 因为， 所以， 即函数是偶函数， 关于 轴对称， 排除 C,D 选项，又，所以，即恒大于 0，排除 A 选项， 故选 B. 【点睛】本题主要考查函数的图像形状，由函数的基本性质即可确定图像形状，难度不大. 9.已知向量不共线，且，则共线的三点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据共线向量基本定理即可判断出结果. 【详解】
6、已知向量不共线，且， 由得，则， 即，所以三点共线. 故选 C 【点睛】本题主要考查共线向量基本定理，灵活掌握定理和向量的线性运算即可，属于基础 题型. 10.若函数，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先求出函数的值域，再换元，令，由导数的方法判断的单调性，进而可求出结果. 【详解】由题意得，因为，所以， 令，则，所以， ，解得， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以， 又， 所以，即， 故选 D. 【点睛】本题主要考查复合函数值域，通常需要用换元法将函数进行换元，由导数的方法研 究函数的单调性，进而可确定最值、值域等，属于中档试题. 11.
7、已知函数图象上一个最高点P的横坐标为 ，与P相邻的两个最低点分别 为Q，R.若是面积为的等边三角形，则解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由的面积求出的边长和高， 从而确定函数周期和 ， 再由函数图 象上一个最高点P的横坐标为 ，求出 的值，进而可求出解析式. 【详解】因为是面积为的等边三角形，所以三角形的边长为 2，高为， 由题意可得，所以， 故， 又函数图象上一个最高点P的横坐标为 ，所以， 即，所以,故， 所以， 故选 D 【点睛】本题主要考查由三角函数的图像与性质求函数的解析式，只需依题意求出 ， ， 的 值即可，要求考生熟记三角函数的相关性质等，属
8、于常考题型. 12.已知函数，若关于 的方程有 个不同实数根，则 n 的值 不可能为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】 先将函数写成分段函数的形式，并做出其图像，再由得： 或，所以方程的解的个数，即转化为函数与 轴以及直线交 点个数的问题，由图像讨论 的范围，即可求出结果. 【详解】因为函数， 作出的图像如下： 由得：或， 所以方程的解的个数，即为函数与 轴以及直线交点个数， 由图像可得：与 轴有 2 个交点， 当,即时，函数与直线无交点，故原方程共 2 个解； 当，即时，原方程可化为，故原方程共 2 个解； 当，即时，函数与直线有 4 个交点，故原
9、方程共 6 个解； 当，即时，函数与直线有 3 个交点，故原方程共 5 个解； 当，即时，函数与直线有 2 个交点，故原方程共 4 个解； 综上，原方程解的个数可能为 2,4,5,6. 故选 A 【点睛】本题主要考查函数与方程的综合， 解决此类问题的关键在于将方程有实根转化为两 个函数有交点的问题，由数形结合即可求解，属于常考题型. 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。不需写出解题过程，请把答案直接填写分。不需写出解题过程，请把答案直接填写 在在答题卡相应位置上答题卡相应位置上 13.设集合，则 的真子集的个数为_ 【答案
10、】7 【解析】 【分析】 由集合真子集的计算公式即可求解. 【详解】因为集合 中共有 3 个元素，因此集合 的真子集的个数为. 故答案为 7 【点睛】本题主要考集合真子集个数的问题，熟记公式，根据集合中所含元素的个数即可求 解，属于基础题型. 14.在平面直角坐标系中，若，则的值为_ 【答案】4 【解析】 【分析】 由向量的坐标运算，先求，再由向量数量积的坐标运算公式即可求解. 【 详 解 】 因 为， 所 以， 所 以 . 故答案为 4 【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，熟记向量的坐标运算法则即可求解，属于基础题型. 15.如图所示，在平面直角坐标系中，动点从点出发在单位圆上运动，点 按逆
11、时 针方向每秒钟转 弧度，点 按顺时针方向每秒钟转弧度，则两点在第 2019 次相遇时， 点P的坐标为_ 【答案】 【解析】 【分析】 由两点相遇 2019 次，可求出两点的总路程，由两点的速度即可求出两点相遇 2019 次时所 用的时间，进而可求出点 所转的弧度，即可确定点 位置. 【详解】因为点 按逆时针方向每秒钟转 弧度，点 按顺时针方向每秒钟转弧度，两点相 遇 1 次的路程是单位圆的周长即， 所以两点相遇一次用了 1 秒， 因此当两点相遇 2019 次时， 共用了 2019 秒， 所以此时点 所转过的弧度为， 由终边相同的角的概念可知，与 终边相同，所以此时点 位于 y 轴上，故点P的
12、坐标为 . 答案为 【点睛】本题主要考查任意角，由终边相同的角的概念确定点 位置，即可求解，属于基础题 型. 16.已知函数，若对所有的，恒成立，则实数 的 值为_ 【答案】 【解析】 【分析】 用分类讨论的方法研究三种情况即可. 【详解】由题意可得恒成立，所以 当时，不等式可化为，即，不满足恒成立的条件，故舍去； 当时，不等式可化为，时，显然不等式成立，因为不等式恒成立， 所以有且，即且，显然不成立，故舍 去； 当时，不等式可化为，时，显然不等式成立，因为不等式恒成立， 所以有且，即且，所以，即 ，解得或，因为，所以， 综上， 即答案为 【点睛】本题主要考查含参数的不等式，通常需要用到分类讨
13、论的思想，属于常考题型. 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 题，第题，第 1717 题题 1010 分，第分，第 18221822 题每题题每题 1212 分，共分，共 7070 分，解答应写出分，解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤文字说明、证明过程或演算步骤. . 17.设全集，集合， （1）求； （2）若，求实数 的取值范围 【答案】 （1）或（2） 【解析】 【分析】 (1)先解不等式得到集合 ，进而可求其补集； (2)先由确定之间的包含关系，从而可求出结果. 【详解】解： （1）由得或 故，即； 又，则； （2）由得， 又， 则，即， 故实数 的取值范围为 【点睛
14、】本题主要考查集合的混合运算，熟记相关概念和性质即可求解，属于基础题型. 18.如图，已知河水自西向东流速为，设某人在静水中游泳的速度为，在流水中实 际速度为 （1）若此人朝正南方向游去，且，求他实际前进方向与水流方向的夹角 和的大 小； （2）若此人实际前进方向与水流垂直，且，求他游泳的方向与水流方向的夹角 和 的大小 【答案】 （1）,的大小为； （2） 为，的大小为 【解析】 【分析】 用平面向量的方法求解，由向量的分解作出平行四边形，先设结合每 一问的条件即可求解. 【详解】解：如图，设， 则由题意知， 根据向量加法的平行四边形法则得四边形为平行四边形 （1）由此人朝正南方向游去得四边
15、形为矩形，且，如图所示， 则在直角中， ，又，所以； （2）由题意知，且，如图所示， 则在直角中， ，又，所以， 则 答： （1）他实际前进方向与水流方向的夹角 为 ，的大小为； （2）他游泳的方向与水流方向的夹角 为，的大小为 【点睛】本题主要考查平面向量在解三角形中的应用，需要熟记向量的基本定理，以及向量 的模等概念，即可求解，分析的过程非常关键，计算量不大. 19.已知函数 （1）将的图象上所有点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变） ，得到的图象若 ，求的值域； （2）若，求的值 【答案】 （1）（2） 【解析】 【分析】 （1）由函数的图像变换，先求出函数的解析式，再结合三角函数的图像
16、和性质即可求解； (2)根据和函数先求出 ，再用三角恒等变换，将所求式子化简，即可求 解. 【详解】 解:(1)将的图象上所有点横坐标变为原来的（纵坐标不变） 得到 的图象,则, 又,则, 所以当,即时取得最小值, 当时即时取得最大值 , 所以函数的值域为. (2)因为,所以, 则, 又, 则, 所以. 【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，以及三角恒等变换，熟记三角函数的性质， 以及相关公式，即可解题，属于基础题型. 20.已知函数为偶函数， （1）求 的值，并讨论的单调性； （2）若，求 的取值范围 【答案】 （1）a=1,在上单调递增，在上单调递减 （2） 【解析】 【分析】 (1)
17、由函数的奇偶性，先求出 ，再由单调性的定义，即可判断其单调性； (2)由（1）确定的函数的单调性，可得 和的大小，进而可求出结果. 【详解】解： （1）因为函数为偶函数，所以 所以， 所以, 化简得,所以 所以，定义域为 设为内任意两个数，且， 所以，所以， 所以， 所以，所以在上单调递减， 又因为函数为偶函数，所以在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减 （2）因为，由（1）可得， 所以， 所以 的取值范围是 【点睛】本题主要考查函数的基本性质，以及由函数的单调性解不等式，需要考生熟记函数 的奇偶性以及单调性等，会用定义法判断函数的单调性即可，难度不大. 21.如图，在中，分别在边上，
18、且满足， 为 中点 （1）若，求实数的值； （2）若，求边的长 【答案】 （1）（2）6 【解析】 【分析】 (1)先由，确定向量与，与之间的关系，用与表示出，由对应 系数相等，即可求出结果； （2）用向量，表示出向量和，再由向量数量积运算求解即可. 【详解】解： （1）因为，所以， 所以，所以， （2）因为， ， 所以， 设，因为， 所以，又因为， 所以， 化简得， 解得(负值舍去)，所以的长为 6 【点睛】本题主要考查向量的基本定理以及向量的数量积运算，只需熟记定理和公式即可求 解，难度不大. 22.已知函数 （1）若，求 的值； （2）若对任意的，满足，求 的取值范围； （3）若在上的最
19、小值为，求满足的所有实数 的值 【答案】 （1） 的值为（2）（3） 【解析】 【分析】 (1)将代入函数解析式，解对应的含绝对值方程即可； (2)由对任意的，满足，通过因式分解，约分，得到 对任意的恒成立，进而去绝对值即可求出结果; (3)讨论函数对称轴的位置，得到，再由解方程即可求解. 【详解】解:（1）因为,所以, 所以,解得 的值为. （2）对任意的，均有， 则，即， 所以，则， 所以且对任意的恒成立， 所以； (3)的对称轴为. 当时，即，最小值； 当时，即，； 当时，即，； 所以. 方法一： 当时， ，即，则（舍） ； 当时， ，即，则（舍） ； 当时， ，即，则. 综上所述，实数 的取值集合为. 方法二： 引理:若当时，单调递减，当时，单调递减，则在 上单调递减. 证明如下： 在 上任取，且. 若，因为当时，单调递减，则； 若，因为当时，单调递减，则； 若，则,综上可知，恒成立. 由引理可知单调递减，则可得，所以. 【点睛】本题主要考查函数与方程的综合，需要学生熟记三个二次之间的关系，以及函数的 基本性质等，通常需要用到分类讨论的思想求解，属于常考题型.
