1、1 1.2 2.2 2 组合 1.正确理解组合的意义,并能正确区分排列与组合. 2.掌握组合数的计算公式、组合数的性质以及组合数与排列数 之间的关系,并能运用这些知识解决一些简单的组合应用题. 3.合理进行分类、分步,综合应用排列组合知识解决实际问题. 1 2 3 1.组合的相关概念 (1)定义:一般地,从n个不同元素中取出m(mn)个元素合成一组, 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. (2)相同组合:只要两个组合的元素完全相同,不论元素的顺序如 何,都是相同组合. 名师点拨1.组合的定义包含两个基本内容:一是“取出元素”;二是 “合成一组”.“合成一组”表示与元素的顺序无关. 2.
2、组合与排列的异同:组合与排列都是“从n个元素中任意取出 m(mn)个元素”,不同的是,组合要求元素“不管元素的顺序合成一 组”,而排列要求元素“按照一定的顺序排成一列”,因此区分某一问 题是组合问题还是排列问题,关键是看取出的元素有无顺序. 1 2 3 【做一做1】 下列问题: 从a,b,c,d四名学生中选出2名学生,有多少种不同的选法? 从a,b,c,d四名学生中选出2名学生完成两件不同的工作,有多少 种不同的选法? a,b,c,d四支足球队之间进行单循环比赛,共需赛多少场? a,b,c,d四支足球队争夺冠亚军,有多少种不同的结果? 其中是组合问题的有 ,是排列问题的 有 .(填序号) 解析
3、:无顺序,是组合问题;2名学生完成两件不同的工作是排 列问题;单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛,没有顺 序,是组合问题;争夺冠亚军是有顺序的,是排列问题. 答案: 1 2 3 (2)组合数公式:C = A A = (-1)(-2)(-+1) ! = ! !(-)!. 规定C 0=1. 1 2 3 名师点拨1.组合与组合数是两个不同概念,如从3个不同元素a,b,c 中取出2个元素的组合为ab,bc,ac,其中每一种叫做一个组合,即组合 不是数,是完成一件事的一种方法,而该问题的组合数是3. 2.组合数公式推导的思路是依据分步乘法计数原理,遵循从特殊 到一般的原则,将求从4个不同元素中任取
4、3个的排列数分成先“求 组合数”,后求“全排列数”两步来完成,这样就清楚地揭示出组合与 排列的对应关系,从而利用这种对应关系和已知排列数公式得到组 合数公式. 1 2 3 【做一做2】 从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛,不 同选法的种数为( ) A.504 B.729 C.84 D.27 答案:C 解析:只需从 9 名学生中选出 3 名即可,从而有C9 3 = A9 3 A3 3=84 种选法. 1 2 3 3.组合数的性质 (1)性质 1:C = C - ; (2)性质 2:C+1 = C + C -1. 归纳总结 1.性质 1 反映了组合数的对称性.当 m 2时,通常不直 接计
5、算C ,而改为计算C - . 2.要注意性质C+1 = C + C -1的顺用、逆用、变形应用,顺用 是将一个组合数拆成两个,逆用则是“合二为一”,变形用如C -1 = C+1 C 等. 1 2 3 【做一做 3】 计算:(1)C20 18= ; (2)C99 3 + C99 2 = . 解析:(1)C20 18 = C20 2 = A20 2 A2 2 = 2019 2 =190. (2)C99 3 + C99 2 = C100 3 = A100 3 A3 3 = 1009998 321 =161 700. 答案:(1)190 (2)161 700 对组合的定义理解要注意哪些问题 剖析(1)
6、如果两个组合中的元素完全相同,那么不管它们的顺序如 何都是相同的组合.当两个组合中的元素不完全相同(即使只有一 个元素不同),就是不同的组合. 例如,从a,b,c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合有3个, 它们分别是ab,ac,bc.ba,ab是相同的组合,而ab,ac是不同的组合. (2)区分某一问题是排列问题还是组合问题,关键看选出的元素是 否与顺序有关,若交换某两个元素的位置对结果产生影响,则是排 列问题,而交换任意两个元素的位置对结果没有影响,则是组合问 题. 例如,在数的运算当中,加法运算和乘法运算就是组合问题,除法 运算则是排列问题;“寄信”是排列问题,“握手”是组合问题等.
7、题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 组合的概念及其简单应用 【例1】 判断下列问题是排列问题,还是组合问题. (1)从1,2,3,9这9个数字中任取3个,组成一个三位数,这样的三 位数共有多少个? (2)从1,2,3,9这9个数字中任取3个,然后把这3个数字相加得到 一个和,这样的和共有多少个? (3)从a,b,c,d这4名学生中选2名学生,去完成同一件工作有多少种 不同的选法? (4)规定每两人相互通话一次,5人共通了多少次电话? (5)5个人相互各写一封信,共写了多少封信? 分析观察取出的元素与顺序有关还是无关,确定是排列问题,还 是组合问题. 题型一 题型二 题型三 题型四 解:(1
8、)取出3个数字后,如果改变3个数字的顺序,会得到不同的三 位数,此问题不但与取出元素有关,而且与元素的安排顺序有关,是 排列问题. (2)取出3个数字之后,无论怎样改变这3个数字之间的顺序,其和 均不变,此问题只与取出元素有关,而与元素的安排顺序无关,是组 合问题. (3)2名学生完成的是同一件工作,没有顺序,是组合问题. (4)甲与乙通一次电话,也就是乙与甲通一次电话,无顺序区别,是 组合问题. (5)发信人与收信人是有区别的,是排列问题. 题型一 题型二 题型三 题型四 反思反思区分排列与组合的关键是看结果是否与元素的顺序有关,若 交换某两个元素的位置对结果产生影响,则是排列问题;若交换任
9、 意两个元素的位置对结果没有影响,则是组合问题.因此,排列问题 与选取元素的顺序有关,组合问题与选取元素的顺序无关.由此可 知,定序问题属于组合,即排列时,如果限定某些元素保持规定的顺 序,那么定序的这n个元素属于组合问题. 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训练1】 (1)从1,3,5,7中任取两个数相除,可以得到多少个 不同的商? (2)从1,3,5,7中任取两个数相乘,可以得到多少个不同的积? (3)请指出问题(1)和问题(2)的不同之处. 解:(1)从1,3,5,7中任取两个数相除,因为取出的两个数若先后顺序 不同,得到的商不同,所以不同的商的个数为 =43=12. (2)从1,3
10、,5,7中任取两个数相乘,所得不同的积为 13=3,15=5,17=7,35=15,37=21,57=35.共6个. (3)问题(1)所求的解与取出元素的先后顺序有关.如取出元素1和 3,则商为 =3两个不同结果,是排列问题.问题(2)所求的解与取 出元素的先后顺序无关,如取出1和3,相乘后得的积是3,与1,3的顺 序无关,是组合问题. 1 3 和 3 1 A4 2 题型一 题型二 题型三 题型四 题型二 组合数的计算、化简与证明 【例 2】 填空: (1)C3 38- + C21+ 3 = ; (2)C13+ 3 + C12+ 3-1 + C11+ 3-2 +C2 17- = ; (3)C3
11、 3 + C4 3 + C5 3+C103 = . 解析:(1)原式中的自然数 n 应满足: 3 38- 0, 21 + 3 0, N*, 解得 n=10. 故C3 38- + C21+ 3 = C30 28 + C31 30 = C30 2 + C31 1 =466. 题型一 题型二 题型三 题型四 (2)由原式知,n 应满足 0 3 13 + , 0 17- 2, 即 0 13 2 , 17 3 . 又 nN*,n=6. 原式=C19 18 + C18 17 + C17 16+C1211 =C19 1 + C18 1 +C12 1 =124. (3)原式=C4 4 + C4 3 + C5
12、3+C103 =C5 4 + C5 3 + C6 3+C103 = C6 4 + C6 3+C103 =C7 4 + C7 3 + C8 3 + C9 3 + C10 3 = C8 4 + C8 3 + C9 3 + C10 3 =C9 4 + C9 3 + C10 3 = C10 4 + C10 3 = C11 4 =111098 4321 =11103=330. 答案:(1)466 (2)124 (3)330 题型一 题型二 题型三 题型四 反思反思组合数公式的连乘形式体现了组合数与相应排列数的关系, 在计算具体的组合数时会经常用到.组合数公式的阶乘形式主要作 用是对含有字母的组合数的式子
13、变形或证明. 组合数的性质1可以用来进行转化,减少计算量;组合数的性质2 主要用于计算或化简多个组合数连加,此时往往需要先用性质1进 行适当的转化,使得有两个组合数为下标相同,上标差1的形式,再反 复运用性质2即可化成最简形式. 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训练 2】 求证:(1)C +1 + C -1+2C = C+2 +1; (2)m!+(+1)! 1! + (+2)! 2! +(+)! ! =m!C+1 . 证明(1)左边= ! (+1)!(-1)! + ! (-1)!(-+1)! + 2 ! !(-)! = ! (+1)!(-+1)! (n-m)(n-m+1)+m(m+1)+
14、2(m+1)(n-m+1) = ! (+1)!(-+1)!(n+2)(n+1) = (+2)! (+1)!(-+1)! =C+2 +1=右边. 题型一 题型二 题型三 题型四 (2)左边=m!(1+C+1 1 + C+2 2 +C+ ) =m!(C+1 0 + C+1 1 + C+2 2 +C+ ) =m!(C+2 1 + C+2 2 +C+ ) =m!(C+3 2 + C+3 3 +C+ ) =m!C+1 =右边. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型三 有限制条件的组合问题 【例3】 (1)某组织从4名男运动员、6名女运动员中各选一名运 动员作为最佳运动员,不同的选法种数为( ) A.12
15、 B.30 C.15 D.24 (2)从(1)中的4名男运动员、6名女运动员中选出3人参加某公益 活动,则至多有2名男运动员的选法有 种. C4 1 题型一 题型二 题型三 题型四 解析:(1)第一步选男运动员有 种选法,第二步选女运动员有 答案:(1)D (2)116 C6 1种选法.所以共有C41C61=24 种选法. (2)“至多有 2 名”包括“没有”“有 1 名”“有 2 名”三种情况. 没有男运动员时,有C6 3种选法; 有 1 名男运动员时,有C4 1C62种选法; 有 2 名男运动员时,有C4 2C61种选法. 所以共有C6 3 + C4 1C62 + C4 2C61=20+6
16、0+36=116 种选法. 题型一 题型二 题型三 题型四 反思反思解答有限制条件的组合问题的基本方法是“直接法”和“间接 法(排除法)”.其中用直接法求解时,应坚持“特 殊元素优先选取”的原则,即优先安排特殊元素,再安排其他元素.而 选择间接法的原则是“正难则反”,也就是若正面问题分类较多、较 复杂或计算量较大,不妨从反面问题入手,看是否简捷些,特别是涉 及“至多”“至少”等组合问题时更是如此.此时正确理解“都不是”“不 都是”“至多”“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键. 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训练3】 车间有11名工人,其中5名男工是钳工,4名女工是 车工,另
17、外2名老师傅既能当车工又能当钳工.现在要在这11名工人 中选派4名钳工,4名车工修理一台机床,则有多少种选派方法? 解法一 5 名男钳工有 4 名被选上的方法有C5 4C64=75 种; 5 名男钳工有 3 名被选上的方法有C5 3C44C21 + C5 3C43A22=100 种; 5 名男钳工有 2 名被选上的方法有C5 2C22C44=10 种. 故一共有 75+100+10=185 种选法. 解法二 4 名女车工都在内的选派方法有C4 4C74=35 种; 4 名女车工有 3名在内的选派方法有C4 3C21C54 + C4 3C53A22=120 种; 4 名女车工有 2 名在内的选派
18、方法有C4 2C22C54=30 种.故一共有 35+120+30=185 种选法. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型四 易错辨析 易错点:曲解题意而致错 【例4】 有编号分别为1,2,3,4的4个盒子和4个小球,要求把小球 全部放入盒子中.问: (1)共有多少种放法? (2)恰有1个空盒,有多少种放法? (1)错解由已知,相当于对1,2,3,4全排列,故有 种放法. 错因分析没有理解题意,这里的任务是把小球放入盒中即可,并 没有要求每盒中放1个小球. A4 4 题型一 题型二 题型三 题型四 错因分析错解属于重复计数问题.若取出的3个小球为1号,2号,3 号,则4号小球放入盒中时,其中一
19、种方式为1,4 2 3;若取出的3个小 球为2号,3号,4号,则1号小球放入盒中时,其中也有一种方式为2 3 1,4,故出现重复计数. (2)错解从 4个小球中任取 3 个,有C4 3种取法,从 4 个盒子中任取 3 个,有C4 3种取法,将 3个小球放到取出的 3 个盒子中,有A33种放法.再 把余下的小球放到 3 个盒子中的 1个,有 3种放法,所以放法共有 C4 3 C4 3 A3 3 3=288种. 题型一 题型二 题型三 题型四 (1)正解1号小球可放入任意1个盒子中,有4种放法.同理,2号、3号、 4号小球也各有4种放法,故共有44=256种放法. 反思反思解第(2)题时先把小球分成3组,再排就不容易出错,这也是解 决排列、组合综合题的方法,即先选后排. (2)正解由题设,必有 1个盒子中放入 2 个小球,从 4 个小球中取 出 2个小球,有C4 2种取法,此时把它看作 1 个小球,与另 2个小球共 3 个小球放入 4个盒子中,有A4 3种放法,所以满足题意的放法为C42 A4 3=144种.
