1、排列与组合排列与组合 121 排排 列列 第一课时第一课时 排列与排列数公式排列与排列数公式 预习课本预习课本 P1420，思考并完成以下问题思考并完成以下问题 1排列的概念是什么？排列的概念是什么？ 2排列数的定义是什么？什么是排列数公式？排列数的定义是什么？什么是排列数公式？ 3排列数公式有哪些性质？排列数公式有哪些性质？ 新知初探新知初探 1排列的概念排列的概念 从从 n 个不同元素中取出个不同元素中取出 m(mn)个元素，按照个元素，按照 排成一列， 叫做从排成一列， 叫做从 n 个不同元素中取出个不同元素中取出 m 个元素的一个元素的一 个排列个排列 2相同排列的两个条件相同排列的两
2、个条件 (1) 相同相同 (2) 相同相同 一定的一定的 顺序顺序 元素元素 顺序顺序 点睛点睛 排列中元素所满足的两个特性排列中元素所满足的两个特性 (1)无重复性：从无重复性：从 n 个不同元素中取出个不同元素中取出 m(mn)个不个不 同的元素，否则不是排列问题同的元素，否则不是排列问题 (2)有序性：安排这有序性：安排这 m 个元素时是有顺序的，有序的个元素时是有顺序的，有序的 就是排列，无序的不是排列而检验它是否有顺序的依据就是排列，无序的不是排列而检验它是否有顺序的依据 是变换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化就是有是变换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化就是有 顺序，无变
3、化就是无顺序顺序，无变化就是无顺序 3排列数及排列数公式排列数及排列数公式 排列数定义排列数定义 从从 n 个不同元素中取出个不同元素中取出 m(mn)个元素个元素 的所有的所有 的个数，叫做从的个数，叫做从 n 个不个不 同元素中取出同元素中取出 m 个元素的排列数个元素的排列数 排列数表示法排列数表示法 乘积式乘积式 Am n 排列数排列数 公式公式 阶乘式阶乘式 Am n 性质性质 A0 n 备注备注 n，mN*，mn 不同排列不同排列 n(n1)(n2)(nm1) n！ nm ！ 1 Am n 小试身手小试身手 1判断下列命题是否正确判断下列命题是否正确(正确的打正确的打“”“”，错误
4、的打，错误的打“”“”) (1)1,2,3 与与 3,2,1 为同一排列为同一排列 ( ) (2)在一个排列中，同一个元素不能重复出现在一个排列中，同一个元素不能重复出现 ( ) (3)从从 1,2,3,4 中任选两个元素，就组成一个排列中任选两个元素，就组成一个排列 ( ) (4)从从 5 个同学中任选个同学中任选 2 个同学分别参加数学和物理竞赛的所有个同学分别参加数学和物理竞赛的所有 不同的选法是一个排列问题不同的选法是一个排列问题 ( ) 2集合集合 Px|xAm 4， ，mN*，则，则 P 中的元素个数为中的元素个数为( ) A3 B4 C6 D8 答案：答案：A 3若若 Am 10
5、 1095，则，则 m_ 答案：答案：6 典例典例 判断下列问题是否为排列问题判断下列问题是否为排列问题 (1)选选 2 个小组分别去植树和种菜；个小组分别去植树和种菜； (2)选选 2 个小组种菜；个小组种菜； (3)某班某班 40 名同学在假期互发短信名同学在假期互发短信 解解 (1)植树和种菜是不同的，存植树和种菜是不同的，存在顺序问题，是排列问题在顺序问题，是排列问题 (2)不存在顺序问题，不是排列问题不存在顺序问题，不是排列问题 (3)A 给给 B 发短信与发短信与 B 给给 A 发短信是不同的，所以存在顺序问发短信是不同的，所以存在顺序问 题，是排列问题题，是排列问题 排列的概念排
6、列的概念 判断一个具体问题是否为排列问题的方法判断一个具体问题是否为排列问题的方法 活学活用活学活用 判断下列问题是否为排列问题判断下列问题是否为排列问题 (1)选选 10 人组成一个学习小组；人组成一个学习小组； (2)从从 1,2,3,4,5 中任取两个数相除；中任取两个数相除； (3)10 个车站，站与站间的车票个车站，站与站间的车票 解：解：(1)不存在顺序问题，不是排列问题不存在顺序问题，不是排列问题 (2)两个数相除与这两个数的顺序有关，是排列问题两个数相除与这两个数的顺序有关，是排列问题 (3)车票使用时有起点和终点之分，故车票的使用是有顺序车票使用时有起点和终点之分，故车票的使
7、用是有顺序 的，的，是排列问题是排列问题 简单排列问题简单排列问题 典例典例 (1)从从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位不同四个数字中任取两个数字组成两位不同 的数，一共可以组成多少个？的数，一共可以组成多少个？ (2)写出从写出从 4 个元素个元素 a，b，c，d 中任取中任取 3 个元素的所有排列个元素的所有排列 解解 (1)由题意作由题意作“树形图树形图”，如下，如下 故组成的所有两位数为故组成的所有两位数为 12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43， 共有共有 12 个个 (2)由题意作由题意作“树形图树形图”，如下，如下 故所有的排列为：故所
8、有的排列为：abc，abd，acb，acd，adb，adc， bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd， cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb 利用利用“树形图树形图”法解决简单排列问题的适用范围及策略法解决简单排列问题的适用范围及策略 (1)适用范围：适用范围：“树形图树形图”在解决排列元素个数不多的问题在解决排列元素个数不多的问题 时，是一种比较有效的表示方式时，是一种比较有效的表示方式 (2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安 排哪个元素为分类标准进行分类，再安排
9、第二个元素，并按此排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此 元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不 漏，然后再按树形图写出排列漏，然后再按树形图写出排列 活学活用活学活用 写出写出 A，B，C，D 四名同学站成一排照相，四名同学站成一排照相，A 不站在两端的所不站在两端的所 有可能站法有可能站法 解：解：如图所示的树形图：如图所示的树形图： 故所有可能的站法是故所有可能的站法是 BACD， BADC， BCAD， BDAC， CABD， CADB，CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB， 共
10、共 12 种种 排列数公式及应用排列数公式及应用 典例典例 (1)用排列数表示用排列数表示(55n)(56n)(69n) (nN*且且 n55)； (2)计算计算 2A3 4 A4 4； ； (3)求证：求证：Am n 1mAm 1 n 1Am n 解解 (1)55n,56n，69n 中的最大数为中的最大数为 69n，且共有，且共有 69n(55n)115 个元素，个元素， (55n)(56n)(69n)A15 69 n (2)2A3 4 A4 4 24324321482472 (3)证明：证明：Am n 1mAm 1 n 1 n1 ！ n1m ！ m n1 ！ nm ！ n 1 ！ nmm
11、nm ！ n！ nm ！ Am n 排列数公式的形式及选择方法排列数公式的形式及选择方法 排列数公式有两种形式，一种是连乘积的形式，另一种是排列数公式有两种形式，一种是连乘积的形式，另一种是 阶乘的形式，若要计算含有数字的排列数的值，常用连乘积的阶乘的形式，若要计算含有数字的排列数的值，常用连乘积的 形式进行计算，而要对含有字母的排列数的式子进行变形或作形式进行计算，而要对含有字母的排列数的式子进行变形或作 有关的论证时，一般用阶乘式有关的论证时，一般用阶乘式 活学活用活学活用 计算下列各题：计算下列各题： (1)A6 6； ；(2)2A 5 8 7A4 8 A8 8 A5 9 ； (3)若若 3A3 n 2A2 n 16A2 n， ，求求 n 解解：(1)A6 6 6！654321720 (2)2A 5 8 7A4 8 A8 8 A5 9 28765478765 8765432198765 1 (3)由由 3A3 n 2A2 n 16A2 n， ，得得 3n(n1)(n2)2(n1)n6n(n1) 因为因为 n3 且且 nN*， 所以所以 3n217n100 解得解得 n5 或或 n2 3(舍去 舍去) 所以所以 n5 “多练提能多练提能熟生巧熟生巧”见见“课时跟踪检测课时跟踪检测(三三)” ( (单击进入电子文档单击进入电子文档) )
