1、 分类加法计数原理和分步乘法计数原理分类加法计数原理和分步乘法计数原理 第一课时第一课时 两个计数原理及其简单应用两个计数原理及其简单应用 预习课本预习课本 P26，思考并完成以下问题思考并完成以下问题 1什么是分类加法计数原理与分步乘法计数原理？什么是分类加法计数原理与分步乘法计数原理？ 2 分类加法计数原理与分步乘法计数原理有怎样的区别与联系？ 分类加法计数原理与分步乘法计数原理有怎样的区别与联系？ 新知初探新知初探 1分类加法计数原理分类加法计数原理 2分步乘法计数原理分步乘法计数原理 点睛点睛 两个原理的区别两个原理的区别 区别一区别一 每类方法都能独立完每类方法都能独立完 成这件事它
2、是独立成这件事它是独立 的、一次的且每次得的、一次的且每次得 到的是最后结果，只到的是最后结果，只 需一种方法就完成需一种方法就完成 任何一步都不能独立任何一步都不能独立 完成这件事，缺少任完成这件事，缺少任 何一步也不可，只有何一步也不可，只有 各步骤都完成了才能各步骤都完成了才能 完成这件事完成这件事 区别二区别二 各类方法之间是互斥各类方法之间是互斥 的、并列的、独立的的、并列的、独立的 各步之间是相互依存各步之间是相互依存 的，并且既不能重复、的，并且既不能重复、 也不能遗漏也不能遗漏 小试身手小试身手 1判断下列命题是否正确判断下列命题是否正确(正确的打正确的打“”“”，错误的打，错
3、误的打“”“”) (1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同 ( ) (2)在分类加法计数原理中， 每类方案中的方法都能完成这件事在分类加法计数原理中， 每类方案中的方法都能完成这件事 ( ) (3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是 各不相同的各不相同的 ( ) (4)在分步乘法计数原理中，事情若是分两步完成的，那么其中在分步乘法计数原理中，事情若是分两步完成的，那么其中 任何一个单独的步骤都不能完成这件事， 只有两个步骤都完任何一个单独的步骤都不能完成这件事
4、， 只有两个步骤都完 成后，这件事情才算完成成后，这件事情才算完成 ( ) 2某学生去书店，发现某学生去书店，发现 2 本好书，决定至少买其中一本，则本好书，决定至少买其中一本，则 购买方式共有购买方式共有 ( ) A1 种种 B2 种种 C3 种种 D4 种种 答案：答案：C 3从从 10 名任课教师，名任课教师，54 名同学中，选名同学中，选 1 人参加元旦文艺演人参加元旦文艺演 出，共有出，共有_种不同的选法种不同的选法 答案答案：64 4一个袋子里放有一个袋子里放有 6 个球，另一个袋子里放有个球，另一个袋子里放有 8 个球，每个个球，每个 球各不相同，从两个袋子里各取一个球，共有球各
5、不相同，从两个袋子里各取一个球，共有_种不种不 同的取法同的取法 答案答案：48 典例典例 在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位 数的个数为数的个数为_ 分类加法计数原理的应用分类加法计数原理的应用 解 析解 析 (1) 法 一 ：法 一 ： 根 据 题 意 ， 将 十 位 上 的 数 字 按根 据 题 意 ， 将 十 位 上 的 数 字 按 1,2,3,4,5,6,7,8 的情况分成的情况分成 8 类， 在每一类中满足题目条件的两位类， 在每一类中满足题目条件的两位 数分别是数分别是 8 个，个，7 个，个，6 个，个，5 个，个，4 个，
6、个，3 个，个，2 个，个，1 个由个由 分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有 87654 32136(个个) 法二：法二：分析个位数字，可分以下几类：分析个位数字，可分以下几类： 个位是个位是 9， 则十位可以是， 则十位可以是 1,2,3，8 中的一个，故共有中的一个，故共有 8 个；个； 个位是个位是 8， 则十位可以是， 则十位可以是 1,2,3，7 中的一个，故共有中的一个，故共有 7 个；个； 同理，个位是同理，个位是 7 的有的有 6 个；个； 个位是个位是 2 的有的有 1 个个 由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有由分类加法计
7、数原理知，符合条件的两位数共有 8765 432136(个个) 答案答案 36 一题多变一题多变 1变条件变条件若本例条件变为个位数字小于十位数字且为偶数，若本例条件变为个位数字小于十位数字且为偶数， 那么这样的两位数有多少个那么这样的两位数有多少个 解：解：当个位数字是当个位数字是 8 时，十位数字取时，十位数字取 9，只有，只有 1 个个 当个位数字是当个位数字是 6 时，十位数字可取时，十位数字可取 7,8,9，共，共 3 个个 当个位数字是当个位数字是 4 时，十位数字可取时，十位数字可取 5,6,7,8,9，共，共 5 个个 同理可知，当个位数字是同理可知，当个位数字是 2 时，共时
8、，共 7 个，个， 当个位数字是当个位数字是 0 时，共时，共 9 个个 由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有 135 7925(个个) 2 变条件， 变设问变条件， 变设问用用 1,2,3 这这 3 个数字可以写出没有重复数个数字可以写出没有重复数 字的整数字的整数_个个 解析：解析：分三类：第一类为一位整数，有分三类：第一类为一位整数，有 3 个；个； 第二类为两位整数，有第二类为两位整数，有 12,21,23,32,13,31，共，共 6 个；个； 第三类为三位整数，有第三类为三位整数，有 123,132,231,213,321,312，共
9、，共 6 个，个， 共写出没有重复数字的整数共写出没有重复数字的整数 36615 个个 答案：答案：15 利用分类加法计数原理计数时的解题流程利用分类加法计数原理计数时的解题流程 分步乘法计数原理的应用分步乘法计数原理的应用 典例典例 从从 1,2,3,4 中选三个数字，组成无重复数字的整中选三个数字，组成无重复数字的整 数，则分别满足下列条件的数有多少个？数，则分别满足下列条件的数有多少个？ (1)三位数；三位数； (2)三位数的偶数三位数的偶数 解解 (1)三位数有三个数位，三位数有三个数位， 百位百位 十位十位 个位个位 故可分三个步骤完成：故可分三个步骤完成： 第第 1 步，排个位，从
10、步，排个位，从 1,2,3,4 中选中选 1 个数字，有个数字，有 4 种方法；种方法； 第第 2 步， 排十位， 从剩下的步， 排十位， 从剩下的 3 个数字中选个数字中选 1 个， 有个， 有 3 种方法；种方法； 第第 3 步， 排百位， 从剩下的步， 排百位， 从剩下的 2 个数字中选个数字中选 1 个， 有个， 有 2 种方法 依种方法 依 据分步乘法计数原理，据分步乘法计数原理， 共有共有 43224 个满足要求的三位数个满足要求的三位数 (2)分三个步骤完成：分三个步骤完成： 第第 1 步，排个位，从步，排个位，从 2,4 中选中选 1 个，有个，有 2 种方法；种方法； 第第
11、2 步， 排十位， 从余下的步， 排十位， 从余下的 3 个数字中选个数字中选 1 个， 有个， 有 3 种方法；种方法； 第第 3 步，排百位，只能从余下的步，排百位，只能从余下的 2 个数字中选个数字中选 1 个，有个，有 2 种种 方法方法 故共有故共有 23212 个三位数的偶数个三位数的偶数 利用分步乘法计数原理计数时的解题流程利用分步乘法计数原理计数时的解题流程 活学活用活学活用 某商店现有甲种型号电视机某商店现有甲种型号电视机 10 台，台， 乙种型号电视机乙种型号电视机 8 台，台， 丙丙 种型号电视机种型号电视机 12 台，台， 从这三种型号的电视机中各选从这三种型号的电视机
12、中各选 1 台检验，台检验， 有多少种不同的选法？有多少种不同的选法？ 解：解：从这三种型号的电视机中各选从这三种型号的电视机中各选 1 台检验可分三步完成：台检验可分三步完成： 第一步，从甲种型号中选第一步，从甲种型号中选 1 台，有台，有 10 种不同的选法；种不同的选法； 第二步，从乙种型号中选第二步，从乙种型号中选 1 台，有台，有 8 种不同的选法；种不同的选法； 第三步，从丙种型号中选第三步，从丙种型号中选 1 台，有台，有 12 种不同的选法种不同的选法 根据分步乘法计数原理， 不同的选法共有根据分步乘法计数原理， 不同的选法共有 10812960 种种 两个计数原理的简单综合应
13、用两个计数原理的简单综合应用 典例典例 在在 7 名学生中，有名学生中，有 3 名会下象棋但不会下围棋，名会下象棋但不会下围棋， 有有2名会下围棋但不会下象棋， 另名会下围棋但不会下象棋， 另 2名既会下象棋又会下围棋，名既会下象棋又会下围棋， 现在从现在从 7 人中选人中选 2 人分别参加象棋比赛和围棋比赛， 共有多少人分别参加象棋比赛和围棋比赛， 共有多少 种不同的选法？种不同的选法？ 解解 选参加象棋比赛的学生有两种方法：在只会下象棋的选参加象棋比赛的学生有两种方法：在只会下象棋的 3 人中选或在既会下象棋又会下围棋的人中选或在既会下象棋又会下围棋的 2 人中选； 选参加围棋比人中选；
14、选参加围棋比 赛的学生也有两种选法： 在只会下围棋的赛的学生也有两种选法： 在只会下围棋的 2 人中选或在既会下象人中选或在既会下象 棋又会下围棋的棋又会下围棋的 2 人中选互相搭配，可得四类不同的选法人中选互相搭配，可得四类不同的选法 从从 3 名只会下象棋的学生中选名只会下象棋的学生中选 1 名参加象棋比赛，同时从名参加象棋比赛，同时从 2 名只名只 会下围棋的学生中选会下围棋的学生中选 1 名参加围棋比赛有名参加围棋比赛有 326 种选法；种选法； 从从 3 名只会下象棋的学生中选名只会下象棋的学生中选 1 名参加象棋比赛，同时从名参加象棋比赛，同时从 2 名既名既 会下象棋又会下围棋的
15、学生中选会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛有名参加围棋比赛有326种选法；种选法； 从从 2 名只会下围棋的学生中选名只会下围棋的学生中选 1 名参加围棋比赛，同时从名参加围棋比赛，同时从 2 名既名既 会下象棋又会下围棋的学生中选会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛有名参加象棋比赛有224种选法；种选法； 2 名既会下象棋又会下围棋的学生分别参加象棋比赛和围棋比赛名既会下象棋又会下围棋的学生分别参加象棋比赛和围棋比赛 有有 2 种选法种选法 共有共有 664218 种选法所以共有种选法所以共有 18 种不同的选法种不同的选法 利用两个计数原理解题时的三个注意点利用两个计数原
16、理解题时的三个注意点 (1)当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即 怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几种方怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几种方 法，从这几种方法中归纳出解题方法法，从这几种方法中归纳出解题方法 (2)分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示 意图或树形图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律意图或树形图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律 (3)综合问题一般是先分类再分步综合问题一般是先分类再分步 活学活用活学活用 某地政府召
17、集某地政府召集 5 家企业的负责人开会，已知甲企业有家企业的负责人开会，已知甲企业有 2 人到会，人到会， 其余其余 4 家企业各有家企业各有 1 人到会，会上有人到会，会上有 3 人发言，则这人发言，则这 3 人来自人来自 3 家不同企业的可能情况为多少种？家不同企业的可能情况为多少种？ 解：解：分两类：第一类是甲企业有分两类：第一类是甲企业有 1 人发言，有人发言，有 2 种情况，另种情况，另 2 个发言人来自其余个发言人来自其余 4 家企业，有家企业，有 6 种情况，根据分步乘种情况，根据分步乘法计数原法计数原 理可得共有理可得共有 2612(种种)情况；情况； 另一类是另一类是 3 人全来自其余人全来自其余 4 家企业，共有家企业，共有 4 种情况根据分类加种情况根据分类加 法计数原理可得共有法计数原理可得共有 12416(种种)情况情况 “多练提能多练提能熟生巧熟生巧”见见“课时跟踪检测课时跟踪检测(一一)” ( (单击进入电子文档单击进入电子文档) )
