1、-1- 本章整合 -2- 本章整合 知识网络 专题归纳 -3- 本章整合 专题归纳 知识网络 专题一 专题二 专题三 专题一 两个计数原理 分类计数原理和分步计数原理是本部分内容的基础.在应用题的考查 中,经常要用它对问题进行分类或分步分析求解,如何灵活利用这两个原理 对问题进行分析往往是解应用题的关键.两个原理的共同之处是研究做一 件事,完成它共有的方法种数问题,而它们的主要差异是“分类”与“分步”.分 类计数原理的特点是:类与类相互独立,每类方法均可独立完成这件事(可类 比物理中的“并联”电路来理解);分步计数原理的特点是:步与步相互依存, 且只有当所有步骤均完成了(每个步骤缺一不可),这
2、件事才算完成(可类比 物理中的“串联”电路来理解).运用时要掌握其计数本质,合理恰当地运用两 个原理. 排列组合是解决计数问题的一种重要方法.但要注意,计数问题的基本 原理是分步计数原理和分类计数原理,是最普遍使用的,不要把计数问题等 同于排列组合问题. -4- 本章整合 专题归纳 知识网络 专题一 专题二 专题三 【例 1】 某地政府召集 5 家企业的负责人开会,其中甲企业有 2 人到 会,其余 4 家企业各有 1 人到会,会上有 3 人发言,则这 3 人来自 3 家不同企 业的可能情况的种数为( ) A.14 B.16 C.20 D.48 思路点拨:根据题意分成两类,一类是甲企业有 1 人
3、发言,另两个发言人 出自其余 4 家企业,另一类是 3 人全来自其余 4 家企业,采用分类加法和分 步乘法计数原理可得解. 解析:分两类, 第一类:甲企业有 1 人发言,有 2 种情况,另两个发言人出自其余 4 家企 业,有 6 种情况,由分步乘法计数原理,得 N1=26=12; 第二类:3 人全来自其余 4 家企业,有 4 种情况. 综上可知,共有 N=N1+N2=12+4=16 种情况. 答案:B -5- 本章整合 专题归纳 知识网络 专题一 专题二 专题三 专题二 排列与组合应用题求解策略 将具体问题抽象为排列问题或组合问题,是解排列、 组合应用题的关键 一步.(1)正确分类或分步,恰当
4、选择两个计数原理.(2)有限制条件的排列组 合问题应优先考虑“受限元素”或“受限位置”.而排列组合讨论的问题共同 点是“元素不相同”,不同点是排列与顺序有关,组合与顺序无关. -6- 本章整合 专题归纳 知识网络 专题一 专题二 专题三 【例 2】 在由数字 1,2,3,4,5 组成的所有没有重复数字的 5 位数中,大 于 23145 且小于 43521 的数共有 个. 解析:解法一:1,2,3,4,5 组成无重复五位数,大于 23145 且小于 43521 的 有 (1)形如 2 3 1 ,后两位只能填 5,4, 有 1 个数合要求. -7- 本章整合 专题归纳 知识网络 专题一 专题二 专
5、题三 (2)形如 2 3 ,第三位选 4 或 5 都满足要求,后两位任选都可. 符合要求的数有C2 1A22=4 个. (3)形如 2 ,第二位选 4 或 5,后三位任选,符合要求的数有C2 1A33=12 个. -8- 本章整合 专题归纳 知识网络 专题一 专题二 专题三 (4)形如 3 ,第二位开始,均可任选,符合要求的数有A4 4=24 个. -9- 本章整合 专题归纳 知识网络 专题一 专题二 专题三 (5)形如 4 ,第二位选 1 或 2,后三位任选,符合要求的数有C2 1A33=12 个.同理形如 4 3 ,符合要求的数有 2A2 2=4 个,形如 4 3 5 1 2 ,符合要求的
6、数有 1 个. 符合要求的数有(1+4+12)2+24=58 个. -10- 本章整合 专题归纳 知识网络 专题一 专题二 专题三 解法二:可用类似方法算出小于43521 的 5位数个数与小于等于23145 的五位数个数.两数之差即为小于 43521 且大于 23145 的五位数个数. 答案:58 -11- 本章整合 专题归纳 知识网络 专题一 专题二 专题三 专题三 二项式定理的应用 对于二项式定理的考查常出现两类问题,一类是直接运用通项公式来 求特定项.另一类,需要运用转化思想化归为二项式定理来处理问题.从近几 年高考命题趋势来看,对于本部分知识的考查以基础知识和基本技能为主, 难度不大,
7、但不排除与其他知识的交汇,具体归纳如下: (1)考查通项公式问题. (2)考查系数问题: 涉及项的系数、二项式系数以及系数的和. 一般采用通项公式或赋值法解决. (3)可转化为二项式定理解决问题. -12- 本章整合 专题归纳 知识网络 专题一 专题二 专题三 【例 3】 (1+2 )3(1- 3 )5的展开式中 x 的系数是( ) A.-4 B.-2 C.2 D.4 思路点拨:利用(a+b)n展开式中第 r+1 项 Tr+1=C an-rbr(r=0,1,2,n)将 两项展开,确定 x 的系数. 解析:(1+2 )3(1- 3 )5 =(1+6 1 2+12x+8 3 2)(1-5 1 3+
8、10 2 3-10x+5 4 3 5 3), x 的系数是-10+12=2. 答案:C -13- 本章整合 专题归纳 知识网络 专题一 专题二 专题三 【例 4】 2 3 + 1 3 3 展开式中的第 7 项与倒数第 7 项的比是 1 6,则展 开式中的第 7 项为 . 思路点拨:本题是应用二项式定理通项公式的典型问题,解答本题的关 键是利用方程思想列出方程,求出 n. -14- 本章整合 专题归纳 知识网络 专题一 专题二 专题三 解析:第 7 项:T7=C 6( 2 3 )n-6 1 3 3 6 ,倒数第 7 项:Tn-5=C -6( 23 )6 1 3 3 -6 , 由 C 6( 2 3 )n-6 1 3 3 6 C -6( 2 3 )6 1 3 3 n-6 = 1 6, n=9, 故 T7=C9 6( 2 3 )9-6 1 3 3 6 = C9 321 9 = 56 3 . 答案:56 3
