1、数学数学 第二课时第二课时 分类加法计数原理与分步乘法分类加法计数原理与分步乘法 计数原理的应用计数原理的应用( (习题课习题课) ) 数学数学 目标导航目标导航 课标要求课标要求 1.1.能根据具体问题的特征能根据具体问题的特征, ,选择两种计数原理解决选择两种计数原理解决 一些实际问题一些实际问题. . 2.2.会根据具体问题会根据具体问题, ,合理分类与分步合理分类与分步. . 3.3.掌握与计数原理有关的常见题型的解法掌握与计数原理有关的常见题型的解法. . 素养达成素养达成 1.1.通过分类加法计数原理与分步乘法计数原理分析通过分类加法计数原理与分步乘法计数原理分析 并解决一些简单的
2、实际问题的过程并解决一些简单的实际问题的过程, ,培养数学建模培养数学建模 与数学运算的核心素养与数学运算的核心素养. . 2.2.通过掌握与计数原理有关的常见题型的解法通过掌握与计数原理有关的常见题型的解法, ,培培 养直观想象的核心素养养直观想象的核心素养. . 数学数学 课堂探究课堂探究素养提升素养提升 题型一题型一 组数问题组数问题 例例11 用用0,1,2,3,40,1,2,3,4五个数字五个数字. . (1)(1)可以排成多少个三位数字的电话号码可以排成多少个三位数字的电话号码? ? (2)(2)可以排成多少个三位数可以排成多少个三位数? ? 解解: :(1)(1)三位数字的电话号
3、码三位数字的电话号码, ,首位可以是首位可以是0,0,数字也可以重复数字也可以重复, ,每个位置都每个位置都 有有5 5种排法种排法, ,共有共有5 55 55=53=1255=53=125种种. . (2)(2)三位数的首位不能为三位数的首位不能为0,0,但可以有重复数字但可以有重复数字, ,首先考虑首位的排法首先考虑首位的排法, ,除除0 0 外共有外共有4 4种方法种方法, ,第二、三位可以排第二、三位可以排0,0,因此因此, ,共有共有4 45 55=1005=100种种. . 数学数学 (3)(3)可以排成多少个能被可以排成多少个能被2 2整除的无重复数字的三位数整除的无重复数字的三
4、位数? ? 解解: :(3)(3)被被2 2整除的数即偶数整除的数即偶数, ,末位数字可取末位数字可取0,2,4,0,2,4,因此因此, ,可以分两类可以分两类, ,一一 类是末位数字是类是末位数字是0,0,则有则有4 43=123=12种排法种排法; ;一类是末位数字不是一类是末位数字不是0,0,则末位则末位 有有2 2种排法种排法, ,即即2 2或或4,4,再排首位再排首位, ,因因0 0不能在首位不能在首位, ,所以有所以有3 3种排法种排法, ,十位有十位有 3 3种排法种排法, ,因此有因此有2 23 33=183=18种排法种排法. . 因而有因而有12+18=3012+18=30
5、种排法种排法. .即可以排成即可以排成3030个能被个能被2 2整除的无重复数字的三整除的无重复数字的三 位数位数. . 数学数学 一题多变一题多变: :由本例中的由本例中的5 5个数字可组成多少个分别满足下列条件的数个数字可组成多少个分别满足下列条件的数. . (1)(1)四位偶数四位偶数; ; (2)(2)没有重复数字的四位数没有重复数字的四位数; ; (3)(3)没有重复数字的四位偶数没有重复数字的四位偶数; ; 解解: :(1)(1)四位偶数可以分类如下四位偶数可以分类如下: :末位数是末位数是0 0时时, ,首位有首位有4 4种种, ,其余其余2 2位分别有位分别有5 5种种, ,
6、共有共有4 45 55=1005=100个个; ;末位数是末位数是2 2时时, ,首位有首位有3 3种种, ,其余其余2 2位分别有位分别有5 5种种, ,共有共有3 35 5 5=755=75个个; ;同理末位数是同理末位数是4 4时时, ,也有也有7575个个. . 由分类加法计数原理由分类加法计数原理, ,可得所求无重复数字的四位偶数有可得所求无重复数字的四位偶数有100+75+75=250100+75+75=250个个. . (2)(2)因为这个四位数的最高位不能是因为这个四位数的最高位不能是0,0,故最高位有故最高位有4 4种选法种选法( (即选即选1 14 4中任一个中任一个 数字
7、数字),),第三位有第三位有4 4种选法种选法, ,第二位有第二位有3 3种选法种选法, ,第一位有第一位有2 2种选法种选法, , 根据分步乘法计数原理根据分步乘法计数原理, ,可得没有重复数字的四位数有可得没有重复数字的四位数有4 44 43 32=962=96个个. . (3)(3)因为当四位数为奇数时因为当四位数为奇数时, ,个位数字为个位数字为1,3,1,3,有有2 2种选法种选法, ,由于数不重复由于数不重复, ,千位不千位不 能为能为0,0,所以千位有所以千位有3 3种选法种选法, ,百位有百位有3 3种选法种选法, ,十位数字有十位数字有2 2种选法种选法, ,所以其中奇所以其
8、中奇 数有数有2 23 33 32=362=36个个, ,其中偶数有其中偶数有9696- -36=6036=60个个. . 数学数学 (4)(4)比比2 0002 000大的无重复数字的四位偶数大的无重复数字的四位偶数. . 解解: :(4)(4)完成这件事有三类方法完成这件事有三类方法: : 第一类是用第一类是用0 0做结尾的比做结尾的比2 0002 000大的大的4 4位偶数位偶数, ,它可以分三步去完成它可以分三步去完成: :第一第一 步步, ,选取千位上的数字选取千位上的数字, ,只有只有2,3,42,3,4可以选择可以选择, ,有有3 3种选法种选法; ;第二步第二步, ,选取百选取
9、百 位上的数字位上的数字, ,除除0 0和千位上已选定的数字以外和千位上已选定的数字以外, ,还有还有3 3个数字可供选择个数字可供选择, ,有有 3 3种选法种选法; ;第三步第三步, ,选取十位上的数字选取十位上的数字, ,还有还有2 2种选法种选法. .依据分步乘法计数依据分步乘法计数 原理原理, ,这类数的个数有这类数的个数有3 33 32=182=18个个. . 第二类是用第二类是用2 2做结尾的比做结尾的比2 0002 000大的大的4 4位偶数位偶数, ,它可以分三步去完成它可以分三步去完成: :第一第一 步步, ,选取千位上的数字选取千位上的数字, ,除去除去2,1,0,2,1
10、,0,只有只有2 2个数字可以选择个数字可以选择, ,有有2 2种选法种选法; ; 第二步第二步, ,选取百位上的数字选取百位上的数字, ,在去掉已经确定的首尾两数字之后在去掉已经确定的首尾两数字之后, ,还有还有3 3 个数字可供选择个数字可供选择, ,有有3 3种选法种选法; ;第三步第三步, ,选取十位上的数字选取十位上的数字, ,还有还有2 2种选法种选法. . 依据分步乘法计数原理依据分步乘法计数原理, ,这类数的个数有这类数的个数有2 23 32=122=12个个. . 数学数学 第三类是用第三类是用4 4做结尾的比做结尾的比2 0002 000大的大的4 4位偶数位偶数, ,它可
11、以分三步去完成它可以分三步去完成: :第一第一 步步, ,千位上的数字只能从千位上的数字只能从2,32,3中选一个中选一个, ,有有2 2种选法种选法; ;第二步第二步, ,选取百位上选取百位上 的数字的数字, ,在去掉已经确定的首尾两数字之后在去掉已经确定的首尾两数字之后, ,还有还有3 3个数字可供选择个数字可供选择, ,有有3 3 种选法种选法; ;第三步第三步, ,选取十位上的数字选取十位上的数字, ,还有还有2 2种选法种选法. .依据分步乘法计数原依据分步乘法计数原 理理, ,这类数的个数有这类数的个数有2 23 32=122=12个个. . 由分类加法计数原理由分类加法计数原理,
12、 ,可得所求无重复数字的比可得所求无重复数字的比2 0002 000大的四位偶数有大的四位偶数有 18+12+12=4218+12+12=42个个. . 数学数学 对于数字问题的计数对于数字问题的计数: :一般按特殊位置一般按特殊位置( (末位或首位末位或首位) )由谁占领分类由谁占领分类, ,每类每类 中再按特殊位置中再按特殊位置( (或元素或元素) )优先的方法分步来计数优先的方法分步来计数, ,但当分类较多时但当分类较多时, ,可用可用 间接法间接法. . 方法技巧方法技巧 数学数学 备用例题备用例题 1.1.用用0,1,2,3,4,50,1,2,3,4,5这这6 6个数字组成无重复数字
13、的四位数个数字组成无重复数字的四位数, ,若把每位数字比其左邻若把每位数字比其左邻 的数字小的数叫做“渐降数”的数字小的数叫做“渐降数”, ,则四位数中“渐降数”的个数为则四位数中“渐降数”的个数为 . . 解析解析: :分三类分三类: : 第一类第一类, ,千位数字为千位数字为3 3时时, ,要使四位数为要使四位数为“渐降数渐降数”, ,则四位数只有则四位数只有3 210,3 210,共共1 1个个. . 第二类第二类, ,千位数字为千位数字为4 4时时, ,“渐降数渐降数”有有4 321,4 320,4 310,4 210,4 321,4 320,4 310,4 210,共共4 4个个.
14、. 第三类第三类, ,千位数字为千位数字为5 5时时, ,“渐降数渐降数”有有5 432,5 431,5 430,5 421,5 420,5 410,5 432,5 431,5 430,5 421,5 420,5 410, 5 321,5 320,5 310,5 210,5 321,5 320,5 310,5 210,共共1010个个. . 由分类加法计数原理由分类加法计数原理, ,得共有得共有1+4+10=151+4+10=15个个“渐降数渐降数”. . 答案答案: :1515 数学数学 2.2.从从0,1,2,3,4,50,1,2,3,4,5这些数字中选出这些数字中选出4 4个数字个数字,
15、 ,那么能组成多少个无重复且能被那么能组成多少个无重复且能被5 5整除整除 的四位数的四位数? ? 解解: :满足条件的四位数可分两类满足条件的四位数可分两类. . 第一类第一类: :末位是末位是0 0的四位数的四位数. . 需确定前三位数需确定前三位数, ,分三步完成分三步完成, , 第一步确定千位第一步确定千位, ,有有5 5种选法种选法; ; 第二步确定百位第二步确定百位, ,有有4 4种选法种选法; ; 第三步确定十位第三步确定十位, ,有有3 3种选法种选法. . 根据分步乘法计数原理可得第一类共有根据分步乘法计数原理可得第一类共有5 54 43=603=60个四位数个四位数. .
16、第二类第二类: :末位是末位是5 5的四位数的四位数. . 由于由于0 0不能在首位不能在首位, ,所以确定千位有所以确定千位有4 4种选法种选法; ; 百位有百位有4 4种选法种选法; ;十位有十位有3 3种选法种选法. . 根据分步乘法计数原理可得第二类共有根据分步乘法计数原理可得第二类共有4 44 43=483=48个四位数个四位数. . 根据分类加法计数原理可得满足条件的四位数共有根据分类加法计数原理可得满足条件的四位数共有60+48=10860+48=108个个. . 数学数学 题型二题型二 涂色问题涂色问题 例例22 (8(8分分) )如图如图, ,要给地图要给地图A,B,C,DA
17、,B,C,D四个区域分别涂上四个区域分别涂上4 4种不同颜色中的种不同颜色中的 某一种某一种, ,允许同一种颜色使用多次允许同一种颜色使用多次, ,但相邻区域必须涂不同的颜色但相邻区域必须涂不同的颜色, ,不同不同 的涂色方案有多少种的涂色方案有多少种? ? 数学数学 规范解答规范解答: :法一法一 按按ABCDABCD的顺序分步涂色的顺序分步涂色. . 第一步第一步: :涂涂A A区域区域, ,有有4 4种不同的涂法种不同的涂法; ;1 1分分 第二步第二步: :涂涂B B区域区域, ,从剩下的从剩下的3 3种颜色中任选一种颜色种颜色中任选一种颜色, ,有有3 3种不同的涂法种不同的涂法;
18、; 2 2分分 第三步第三步: :涂涂C C区域区域, ,再从剩下的再从剩下的2 2种不同颜色中任选一种颜色种不同颜色中任选一种颜色, ,有有2 2种不同的种不同的 涂法涂法; ;3 3分分 第四步第四步: :涂涂D D区域区域, ,可分两类可分两类, ,一类一类D D区域与区域与A A同色同色; ;5 5分分 另一类另一类D D区域与区域与A A不同色不同色, ,共有共有1+1=21+1=2种涂法种涂法. .7 7分分 根据分步乘法计数原理共有根据分步乘法计数原理共有4 43 32 22=482=48种不同的涂法种不同的涂法. .8 8分分 法二法二 按所用颜色的多少分类涂色按所用颜色的多少
19、分类涂色. .3 3分分 第一类第一类: :用三种颜色用三种颜色, ,有有4 4(3(32 21 11)=241)=24种不同涂法种不同涂法; ;5 5分分 第二类第二类: :用四种颜色用四种颜色 , ,有有4 43 32 21=241=24种不同涂法种不同涂法. .7 7分分 根据分类加法计数原理根据分类加法计数原理, ,共有共有24+24=4824+24=48种不同涂法种不同涂法. .8 8分分 数学数学 解决涂色解决涂色( (种植种植) )问题的一般思路问题的一般思路 (1)(1)按涂色按涂色( (种植种植) )的顺序分步进行的顺序分步进行, ,用分步乘法计数原理计数用分步乘法计数原理计
20、数. . (2)(2)按颜色按颜色( (种植品种种植品种) )恰当选取情况分类恰当选取情况分类, ,用分类加法计数原理计数用分类加法计数原理计数. . (3)(3)几何体的涂色问题转化为平面的涂色问题处理几何体的涂色问题转化为平面的涂色问题处理. . (4)(4)如果正面情况较多如果正面情况较多, ,可用间接法计算可用间接法计算. . 方法技巧方法技巧 数学数学 即时训练即时训练2 2- -1 1: :用用6 6种不同颜色的彩色粉笔写黑板报种不同颜色的彩色粉笔写黑板报, ,板报设计如图所示板报设计如图所示, , 要求相邻区域不能用同一种颜色的彩色粉笔要求相邻区域不能用同一种颜色的彩色粉笔. .
21、则该板报有则该板报有 种不种不 同书写方案同书写方案. . 解析解析: :第一步第一步, ,选英语角用的彩色粉笔选英语角用的彩色粉笔, ,有有6 6种不同的选法种不同的选法; ;第二步第二步, ,选语文选语文 学苑用的彩色粉笔学苑用的彩色粉笔, ,不能与英语角用的彩色粉笔颜色相同不能与英语角用的彩色粉笔颜色相同, ,有有5 5种不同的种不同的 选法选法; ;第三步第三步, ,选理综视界用的彩色粉笔选理综视界用的彩色粉笔, ,与英语角和语文学苑用的彩色与英语角和语文学苑用的彩色 粉笔颜色都不能相同粉笔颜色都不能相同, ,有有4 4种不同的选法种不同的选法; ;第四步第四步, ,选数学天地用的彩色
22、粉选数学天地用的彩色粉 笔笔, ,只需与理综视界用的彩色粉笔颜色不同即可只需与理综视界用的彩色粉笔颜色不同即可, ,有有5 5种不同的选法种不同的选法. .由分由分 步乘法计数原理知步乘法计数原理知, ,共有共有6 65 54 45=6005=600种不同的书写方案种不同的书写方案. . 答案答案: :600600 数学数学 即时训练即时训练2 2- -2 2: :如图所示的几何体是由一个正三棱锥如图所示的几何体是由一个正三棱锥P P- -ABCABC与正三棱柱与正三棱柱 ABCABC- -A A1 1B B1 1C C1 1组合而成的组合而成的, ,现用现用3 3种不同的颜色对这个几何体的表
23、面涂色种不同的颜色对这个几何体的表面涂色( (底底 面面A A 1 1B B1 1C C1 1不涂色 不涂色),),要求相邻的面均不同色要求相邻的面均不同色, ,则不同的涂色方案共有则不同的涂色方案共有 种种. . 解析解析: :先涂三棱锥的三个侧面有先涂三棱锥的三个侧面有3 32 21=61=6种不同涂色方法种不同涂色方法, ,然后涂三棱然后涂三棱 柱的三个侧面有柱的三个侧面有2 21=21=2种种( (如先涂如先涂AAAA1 1B B1 1B,B,则只能从涂则只能从涂PABPAB后剩余的后剩余的2 2种种 颜色中选颜色中选1 1种有种有2 2种方法种方法, ,涂好涂好AAAA1 1B B1
24、 1B B后后, ,剩余的剩余的2 2个侧面只有一种涂法个侧面只有一种涂法).). 由分步乘法计数原理共有由分步乘法计数原理共有6 62=122=12种不同涂法种不同涂法. . 答案答案: :1212 数学数学 备用例题备用例题 1 1.(2018.(2018浙江宁波高考二模浙江宁波高考二模) )若用红、黄、蓝、绿四种颜色填涂如图方若用红、黄、蓝、绿四种颜色填涂如图方 格格, ,要求有公共顶点的两个格子颜色不同要求有公共顶点的两个格子颜色不同, ,则不同的涂色方案数有则不同的涂色方案数有( ( ) ) (A)48(A)48种种 (B)72(B)72种种 (C)96(C)96种种 (D)216(
25、D)216种种 数学数学 解析解析: :如图如图, ,将将6 6个格子依次编号个格子依次编号, ,先涂先涂1 1号区域有号区域有4 4种颜色可涂种颜色可涂. . 2 2号区域不能与号区域不能与1 1号区域同色号区域同色, ,故有故有3 3种颜色可选种颜色可选; ; 3 3号区域与号区域与1 1号区域和号区域和2 2号区域都有公共点号区域都有公共点, ,故只有故只有2 2种颜色可选种颜色可选. . 4 4号区域与号区域与2 2号区域和号区域和3 3号区域都有公共点号区域都有公共点, ,因此只能从剩余的因此只能从剩余的1 1种与涂种与涂1 1 号区域的号区域的1 1种颜色共种颜色共2 2种颜色中选
26、一种种颜色中选一种, ,有有2 2种方法种方法; ; 5 5号区域与号区域与2 2号区域、号区域、3 3号区域和号区域和4 4号区域都有公共点号区域都有公共点, ,故只能从故只能从4 4号区域号区域 中剩余的中剩余的1 1种选取种选取, ,只有一种方法只有一种方法; ; 6 6号区域与号区域与4 4号区域和号区域和5 5号区域都有公共点号区域都有公共点, , 只能从除只能从除4 4号、号、5 5号区域之外的颜色中选号区域之外的颜色中选1 1种有种有2 2种方法种方法, ,由分步乘法计数由分步乘法计数 原理知有原理知有4 43 32 22 21 12=962=96种种. .故选故选C.C. 数学
27、数学 2.2.用用6 6种不同的颜色给如图所示的种不同的颜色给如图所示的4 4个格子涂色个格子涂色, ,每个格子涂一种颜色每个格子涂一种颜色, ,要要 求相邻的两个格子颜色不同求相邻的两个格子颜色不同, ,且两端的格子的颜色也不同且两端的格子的颜色也不同, ,不同的涂色方不同的涂色方 法共有法共有 种种( (用数字作答用数字作答).). 解析解析: :由于共有由于共有4 4个格子个格子, ,依次编号为依次编号为. .当同色时有当同色时有6 6种不种不 同方法同方法, ,中有中有5 5种颜色可选种颜色可选, ,中可以从中剩余颜色中选中可以从中剩余颜色中选1 1种有种有5 5种种, , 由分步乘法
28、计数原理有由分步乘法计数原理有6 65 55=1505=150种不同方法种不同方法; ;当不同色时当不同色时, ,依依 次有次有6 65 54 44=4804=480种不同方法种不同方法. .由分类加法计数原理由分类加法计数原理, ,可得有可得有150+150+ 480=630480=630种不同涂色方法种不同涂色方法. . 答案答案: :630630 数学数学 3.3.如图所示的如图所示的A,B,C,DA,B,C,D按照下列要求涂色按照下列要求涂色. . A A B B C C D D (1)(1)用用3 3种不同颜色填涂图中种不同颜色填涂图中A,B,C,DA,B,C,D四个区域四个区域,
29、,且使相邻区域不同色且使相邻区域不同色, ,若若 按从左到右依次涂色按从左到右依次涂色, ,有多少种不同的涂色方案有多少种不同的涂色方案? ? (2)(2)若恰好用若恰好用3 3种不同颜色涂种不同颜色涂A,B,C,DA,B,C,D四个区域四个区域, ,且相邻区域不同色共有多且相邻区域不同色共有多 少种不同的涂色方案少种不同的涂色方案? ? 解解: :(1)(1)涂涂A A区有区有3 3种涂法种涂法,B,C,D,B,C,D区域各有区域各有2 2种不同的涂法种不同的涂法, ,由分步乘法计数由分步乘法计数 原理将原理将A,B,C,DA,B,C,D四个区域涂色共有四个区域涂色共有3 32 22 22=
30、242=24种不同方案种不同方案. . (2)(2)恰用恰用3 3种不同颜色涂四个区域种不同颜色涂四个区域, ,则则A,CA,C区域区域, ,或或A,DA,D区域区域, ,或或B,DB,D区域必同区域必同 色色. .由分类加法计数原理可得恰用由分类加法计数原理可得恰用3 3种不同颜色涂四个区域共种不同颜色涂四个区域共3 32 21+1+ 3 32 21+31+32 21=18(1=18(种种) )不同的方案不同的方案. . 数学数学 (3)(3)若恰好用若恰好用2 2种不同颜色涂完四个区域种不同颜色涂完四个区域, ,且相邻区域不同色且相邻区域不同色, ,共有多少种共有多少种 不同的涂色方案不同
31、的涂色方案? ? 解解: :(3)(3)若恰好用若恰好用2 2种不同颜色涂四个区域种不同颜色涂四个区域, ,则则A,CA,C区域必同色区域必同色, ,且且B,DB,D区域区域 必同色必同色. .先从先从3 3种不同颜色中任取两种颜色种不同颜色中任取两种颜色, ,共共3 3种不同的取法种不同的取法, ,然后用所然后用所 取的取的2 2种颜色涂四个区域共种颜色涂四个区域共2 2种不同的涂法种不同的涂法. .由分步乘法计数原理可得恰由分步乘法计数原理可得恰 好用好用2 2种不同颜色涂四个区域共有种不同颜色涂四个区域共有3 32=62=6种不同的涂色方案种不同的涂色方案. . 数学数学 题型三题型三
32、分配问题分配问题 例例33 (2018(2018唐山高二检测唐山高二检测) )高二年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个高二年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个 工厂去参加社会实践工厂去参加社会实践, ,但去何工厂可自由选择但去何工厂可自由选择, ,甲工厂必须有班级要去甲工厂必须有班级要去, , 则不同的分配方案有则不同的分配方案有 种种. . 解析解析: :法一法一 以甲工厂分配班级情况进行分类以甲工厂分配班级情况进行分类, ,共分为三类共分为三类: :第一类第一类, ,三三 个班级都去甲工厂个班级都去甲工厂, ,此时分配方案只有此时分配方案只有1 1种情况种情况; ;第二类第二类, ,有两个班级去有
33、两个班级去 甲工厂甲工厂, ,剩下的班级去另外三个工厂剩下的班级去另外三个工厂, ,其分配方案共有其分配方案共有3 33=93=9种种; ;第三类第三类, , 有一个班级去甲工厂有一个班级去甲工厂, ,另外两个班级去其他三个工厂另外两个班级去其他三个工厂, ,其分配方案共有其分配方案共有 3 33 33=273=27种种. .综上所述综上所述, ,不同的分配方案有不同的分配方案有1+9+27=371+9+27=37种种. . 法二法二 三个班去四个工厂不同的分配方案共三个班去四个工厂不同的分配方案共4 43 3种种, ,甲工厂没有班级去的甲工厂没有班级去的 分配方案共分配方案共3 33 3种种
34、, ,因此满足条件的不同的分配方案共有因此满足条件的不同的分配方案共有4 43 3- -3 33 3=37=37种种. . 答案答案: :3737 数学数学 方法技巧方法技巧 求解抽取求解抽取( (分配分配) )问题的方法问题的方法 (1)(1)当涉及对象数目不大时当涉及对象数目不大时, ,一般选用枚举法、树形图法、框图法或者一般选用枚举法、树形图法、框图法或者 图表法图表法. . (2)(2)当涉及对象数目很大时当涉及对象数目很大时, ,一般有两种方法一般有两种方法: :直接使用分类加法计直接使用分类加法计 数原理或分步乘法计数原理数原理或分步乘法计数原理. .间接法间接法: :去掉限制条件
35、去掉限制条件, ,计算所有的抽计算所有的抽 取方法数取方法数, ,然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可. . 数学数学 即时训练即时训练3 3- -1 1:(2018:(2018广东六校联合体高二联考广东六校联合体高二联考) )从从6 6名志愿者中选名志愿者中选4 4人分人分 别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作, ,若其中甲、乙两名志愿若其中甲、乙两名志愿 者不能从事翻译工作者不能从事翻译工作, ,则选派方案共有则选派方案共有( ( ) ) (A)280(A)280种种 (B)240(B)240种种 (C
36、)180(C)180种种 (D)96(D)96种种 解析解析: :由于甲、乙不能从事翻译工作由于甲、乙不能从事翻译工作, ,因此翻译工作从余下的因此翻译工作从余下的4 4名志愿名志愿 者中选者中选1 1人人, ,有有4 4种选法种选法. .后面三项工作的选法有后面三项工作的选法有5 54 43 3种种, ,因此共有因此共有 4 45 54 43=2403=240种种, ,故选故选B.B. 数学数学 备用例题备用例题 有四位老师在同一年级的有四位老师在同一年级的4 4个班级中个班级中, ,各教一个班的数学各教一个班的数学, ,在数在数 学考试时学考试时, ,要求每位老师均不在本班监考要求每位老师
37、均不在本班监考, ,则安排监考的方法种数是则安排监考的方法种数是( ( ) ) (A)8(A)8种种 (B)9(B)9种种 (C)10(C)10种种 (D)11(D)11种种 解析解析: :设四位监考教师分别为设四位监考教师分别为A,B,C,D,A,B,C,D,所教班分别为所教班分别为a,b,c,d.a,b,c,d.若若A A监考监考 b,b,则余下三人监考剩下的三个班则余下三人监考剩下的三个班, ,共有共有3 3种方法种方法. .同理同理, ,若若A A监考监考c,dc,d时时, , 也分别有也分别有3 3种不同方法种不同方法. .由分类加法计数原理由分类加法计数原理, ,得监考方法共有得监
38、考方法共有3+3+3=93+3+3=9 种种. .故选故选B.B. 数学数学 题型四题型四 易错辨析易错辨析 例例44 如图所示如图所示, ,花坛内有花坛内有5 5个花池个花池, ,有五种不同的颜色的花卉可供栽有五种不同的颜色的花卉可供栽 种种, ,每个花池内只能种同种颜色的花卉每个花池内只能种同种颜色的花卉, ,相邻两池的花色不同相邻两池的花色不同, ,则最多则最多 有有 种方案种方案( ( ) ) (A)480 (A)480 (B)240 (B)240 (C)360 (C)360 (D)420(D)420 数学数学 错解一错解一: :由于相邻两池的花色不同由于相邻两池的花色不同, ,所以花
39、池所以花池2,42,4可以同色可以同色,3,5,3,5可以同色可以同色. . (1)(1)当花池当花池2,42,4同色时同色时, ,花池花池2,42,4不同的栽种方案有不同的栽种方案有5 5种种, ,其余花池都不同色其余花池都不同色, , 不同的栽种方案依次有不同的栽种方案依次有4,3,24,3,2种种, ,根据分步乘法计数原理根据分步乘法计数原理, ,此时不同的栽此时不同的栽 种方案有种方案有5 54 43 32=1202=120种种; ; (2)(2)当花池当花池3,53,5同色时同色时, ,不同的栽种方案有不同的栽种方案有5 5种种, ,其余花池都不同色其余花池都不同色, ,不同的不同的
40、 栽种方案依次有栽种方案依次有4,3,24,3,2种种, ,根据分步乘法计数原理根据分步乘法计数原理, ,此时不同的栽种方案此时不同的栽种方案 有有5 54 43 32=1202=120种种; ; (3)(3)各花池均不同色时各花池均不同色时, ,各花池不同的栽种方案依次有各花池不同的栽种方案依次有5,4,3,2,15,4,3,2,1种种, ,根据根据 分步乘法计数原理分步乘法计数原理, ,此时不同的栽种方案有此时不同的栽种方案有5 54 43 32 21=1201=120种种. . 根据分类加法计数原理根据分类加法计数原理, ,不同的栽种方案共有不同的栽种方案共有120+120+120=36
41、0120+120+120=360种种, ,故选故选C.C. 数学数学 错解二错解二: :由于相邻两池的花色不同由于相邻两池的花色不同, ,所以花池所以花池2,42,4可以同色可以同色,3,5,3,5可以同色可以同色. . (1)(1)当花池当花池2,42,4同色时同色时, ,花池花池2,42,4不同的栽种方案有不同的栽种方案有5 5种种, ,由于花池由于花池3,53,5不相邻不相邻, ,所以所以 对花池对花池3,53,5进行分类进行分类: :若花池若花池3,53,5同色同色, ,则其不同的栽种方案有则其不同的栽种方案有4 4种种, ,花池花池1 1的栽种的栽种 方案有方案有3 3种种, ,根据
42、分步乘法计数原理根据分步乘法计数原理, ,不同的栽种方案有不同的栽种方案有4 43=123=12种种; ;若花池若花池3,53,5 不同色不同色, ,则不同的栽种方案依次有则不同的栽种方案依次有4,34,3种种, ,花池花池1 1的栽种方案有的栽种方案有2 2种种, ,根据分步乘法根据分步乘法 计数原理计数原理, ,不同的栽种方案有不同的栽种方案有4 43 32=242=24种种. . 根据分类加法计数原理根据分类加法计数原理, ,其余花池不同的栽种方案有其余花池不同的栽种方案有12+24=3612+24=36种种. . 故由分步乘法计数原理知故由分步乘法计数原理知, ,该花池不同的栽种方案有
43、该花池不同的栽种方案有36365=1805=180种种. . (2)(2)同理同理, ,当花池当花池3,53,5同色时同色时, ,不同的栽种方案有不同的栽种方案有180180种种. . (3)(3)当花池内的花均不同色时当花池内的花均不同色时, ,各花池不同的栽种方案依次有各花池不同的栽种方案依次有5,4,3,2,15,4,3,2,1种种, ,根据根据 分步乘法计数原理分步乘法计数原理, ,此时不同的栽种方案有此时不同的栽种方案有5 54 43 32 21=1201=120种种. . 综上所述综上所述, ,根据分类加法计数原理根据分类加法计数原理, ,不同的栽种方案共有不同的栽种方案共有180
44、+180+120=480180+180+120=480种种, ,故故 选选A.A. 数学数学 纠错纠错: :错解一中根据花池错解一中根据花池3,5,3,5,花池花池2,42,4是否同色分成了三类是否同色分成了三类, ,但是漏掉花但是漏掉花 池池3,53,5同色与花池同色与花池2,42,4同色的这一种情况同色的这一种情况, ,导致漏解导致漏解; ;错解二错解二, ,根据花池根据花池2,42,4 同色与花池同色与花池3,53,5是否同色进行分类是否同色进行分类, ,以及根据花池以及根据花池3,53,5同色与花池同色与花池2,42,4是否是否 同色进行分类时同色进行分类时, ,两个花池两个花池2,4
45、2,4同色与花池同色与花池3,53,5同色同时成立的情况重复同色同时成立的情况重复 进行了计算进行了计算, ,增大了计算结果增大了计算结果. . 正解正解: :由题意可知花池由题意可知花池2,42,4可以同色可以同色,3,5,3,5可以同色可以同色, ,因此最少用三种颜色因此最少用三种颜色 的花卉的花卉, ,按照花卉的颜色可分为三类方案按照花卉的颜色可分为三类方案, ,即有三种颜色、四种颜色、五即有三种颜色、四种颜色、五 种颜色种颜色. . (1)(1)当用三种颜色时当用三种颜色时, ,花池花池2,42,4同色同色, ,不同的栽种方案有不同的栽种方案有5 5种种, ,花池花池3,53,5同色同
46、色, , 不同的栽种方案为不同的栽种方案为4 4种种, ,最后花池最后花池1 1的栽种方案有的栽种方案有3 3种种, ,根据分步乘法计数根据分步乘法计数 原理原理, ,此时不同的栽种方案共有此时不同的栽种方案共有5 54 43=603=60种种. . 数学数学 (2)(2)当用四种颜色时当用四种颜色时, ,可分为两类可分为两类: :花池花池2,42,4同色同色, ,不同的栽种方案有不同的栽种方案有5 5种种, , 共余花池都不同色共余花池都不同色, ,不同的栽种方案依次有不同的栽种方案依次有4,3,24,3,2种种, ,根据分步乘法计数根据分步乘法计数 原理原理, ,此时不同的栽种方案有此时不
47、同的栽种方案有5 54 43 32=1202=120种种; ;当花池当花池3,53,5同色时同色时, ,不不 同的栽种方案有同的栽种方案有5 5种种, ,其余花池都不同色其余花池都不同色, ,不同的栽种方案依次有不同的栽种方案依次有4,3,24,3,2种种, , 根据分步乘法计数原理根据分步乘法计数原理, ,此时不同的栽种方案有此时不同的栽种方案有5 54 43 32=1202=120种种. . 根据分类加法计数原理根据分类加法计数原理, ,当用四种颜色时当用四种颜色时, ,不同的栽种方案共有不同的栽种方案共有120+120=120+120= 240240种种. . (3)(3)当用五种颜色时当用五种颜色时, ,各花池的颜色均不相同各花池的颜色均不相同, ,所以各花池不同的栽种方所以各花池不同的栽种方 案依次有案依次有5,4,3,2,15,4,3,2,1种种, ,根据分步乘法计数原理根据分步乘法计数原理, ,此时不同的栽种方案有此时不同的栽种方案有 5
