1、-1- 本章整合 -2- 本章整合 知识网络 专题归纳 -3- 本章整合 专题归纳 知识网络 专题一 专题二 专题三 专题四 专题一 典型的离散型随机变量分布列 离散型随机变量的分布列完全描述了随机变量所表示的随机现象的 分布情况,是进一步研究随机变量的数字特征的基础,对随机变量分布列的 求解要达到熟练的程度,求离散型随机变量的分布列应注意以下几个步 骤:(1)确定离散型随机变量所有的可能取值,以及取这些值时的意义;(2)尽 量寻求计算概率时的普遍规律;(3)检查计算结果是否满足分布列的第二条 性质. -4- 本章整合 专题归纳 知识网络 专题一 专题二 专题三 专题四 【例 1】 袋中有 8
2、 个白球、 2 个黑球,从中随机地连续抽 3 次,每次取 1 球. 求:(1)有放回抽样时,取到黑球的个数 X 的分布列; (2)不放回抽样时,取到黑球的个数 Y 的分布列. 思路点拨:(1)为二项分布;(2)为超几何分布. -5- 本章整合 专题归纳 知识网络 专题一 专题二 专题三 专题四 解:(1)有放回抽样时,取到的黑球数X可能的取值为0,1,2,3.又由于每次 取到的黑球的概率均为1 5,3次取球可以看成3次独立重复试验,则XB 3, 1 5 . 所以 P(X=0)=3 0 1 5 0 4 5 3 = 64 125;P(X=1)=3 1 1 5 1 4 5 2 = 48 125; P
3、(X=2)=3 2 1 5 2 4 5 1 = 12 125;P(X=3)=3 3 1 5 3 4 5 0 = 1 125. 因此,X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 64 125 48 125 12 125 1 125 -6- 本章整合 专题归纳 知识网络 专题一 专题二 专题三 专题四 (2)不放回抽样时,取到的黑球数 Y 可能的取值为 0,1,2,且有 P(Y=0)=2 083 10 3 = 7 15;P(Y=1)= 2 182 10 3 = 7 15; P(Y=2)=2 281 10 3 = 1 15.因此,Y 的分布列为 Y 0 1 2 P 7 15 7 15 1 15 -7-
4、本章整合 专题归纳 知识网络 专题一 专题二 专题三 专题四 专题二 事件的相互独立与二项分布的应用 独立事件与二项分布是高考的一个重点,独立事件是相互之间无影响 的事件,P(AB)=P(A)P(B)是事件 A,B 独立的充要条件.二项分布实质是独立 事件的一类具体情况.n 次独立重复试验中某事件 A 恰好发生 k 次的概率 P(X=k)=n kpk(1-p)n-k,k=0,1,2,n. -8- 本章整合 专题归纳 知识网络 专题一 专题二 专题三 专题四 【例 2】 某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个 问题,其中前两个问题回答正确各得10分,回答不正确各得0分,第三个题目
5、, 回答正确得 20 分,回答不正确得-10 分.如果一个挑战者回答前两题正确的 概率都是 0.8,回答第三题正确的概率为 0.6,且各题回答正确与否相互之间 没有影响. (1)求这位挑战者回答这三个问题的总得分 的分布列和数学期望; (2)求这位挑战者总得分不为负数(即 0)的概率. 思路点拨:本题解题的关键是明确的取值及取不同值时所表示的试 验结果,明确 的取值后,利用相互独立事件的概率公式计算即可. -9- 本章整合 专题归纳 知识网络 专题一 专题二 专题三 专题四 解:(1)如果三个题目均答错,得 0+0+(-10)=-10(分). 如果三个题目均答对,得 10+10+20=40(分
6、). 如果三个题目一对两错,包括两种情况: 前两个中一对一错,第三个错,得 10+0+(-10)=0(分); 前两个错,第三个对,得 0+0+20=20(分). 如果三个题目两对一错,也包括两种情形; 前两个对,第三个错,得 10+10+(-10)=10(分); 第三个对,前两个一对一错,得 20+10+0=30(分). 故 的可能取值为-10,0,10,20,30,40. -10- 本章整合 专题归纳 知识网络 专题一 专题二 专题三 专题四 P(=-10)=0.2 0.2 0.4=0.016;P(=0)=2 1 0.2 0.8 0.4=0.128; P(=10)=0.8 0.8 0.4=0
7、.256;P(=20)=0.2 0.2 0.6=0.024; P(=30)=2 1 0.8 0.2 0.6=0.192;P(=40)=0.8 0.8 0.6=0.384. 所以, 的分布列为 -10 0 10 20 30 40 P 0.016 0.128 0.256 0.024 0.192 0.384 的期望为 E()=-10 0.016+0 0.128+10 0.256+20 0.024+30 0.192+40 0.384=24. (2)这位挑战者总得分不为负数的概率为 P(0)=1-P(0)=1-0.016=0.984. -11- 本章整合 专题归纳 知识网络 专题一 专题二 专题三 专题
8、四 专题三 离散型随机变量的期望与方差 期望和方差都是随机变量的重要的数字特征,方差是建立在期望基础 之上,它表明了随机变量所取的值相对于它的期望的集中与离散程度,二者 的联系密切,现实生产生活中应用广泛. 离散型随机变量的期望与方差是概率统计知识的延伸,在实际问题特 别是风险决策中有着重要意义,因此在高考中是一个热点问题.求离散型随 机变量 X 的期望与方差的步骤: (1)理解 X 的意义,写出 X 可能的全部取值; (2)求 X 取每个值的概率或求出函数 P(X=k); (3)写出 X 的分布列; (4)由分布列和期望的定义求出 E(X); (5)由方差的定义,求 D(X),若 XB(n,
9、p),则可直接利用公式 求,E(X)=np,D(X)=np(1-p). -12- 本章整合 专题归纳 知识网络 专题一 专题二 专题三 专题四 【例 3】 某单位选派甲、乙、丙三人组队参加知识竞赛,甲、乙、丙 三人在同时回答一道问题时,已知甲答对的概率是3 4,甲、丙两人都答错的概 率是 1 12,乙、丙两人都答对的概率是 1 4,规定每队只要有一人答对此题则该队 答对此题. (1)求该单位代表队答对此题的概率; (2)此次竞赛规定每队都要回答 10 道必答题,每道题答对得 20 分,答错 得-10 分.若该单位代表队答对每道题的概率相等且回答任一道题的对错对 回答其他题没有影响,求该单位代表
10、队必答题得分的期望(精确到 1 分). -13- 本章整合 专题归纳 知识网络 专题一 专题二 专题三 专题四 思路点拨:(1)记甲、乙、丙分别答对此题为事件 A,B,C,分别求出 P(A),P(B),P(C),则代表队答对此题即只要有一个答对即可,可借助其对立事 件来解.根据题意问题,(2)符合二项分布 B 10, 91 96 ,直接利用二项分布均 值公式求均值. -14- 本章整合 专题归纳 知识网络 专题一 专题二 专题三 专题四 解:(1)记甲、乙、丙分别答对此题为事件 A,B,C,由已 知,P(A)=3 4,1-P(A)1-P(C)= 1 12, P(C)= 2 3, 又 P(B)P
11、(C)=1 4, P(B)= 3 8. 该单位代表队答对此题的概率 P=1- 1- 3 4 1- 3 8 1- 2 3 = 91 96. -15- 本章整合 专题归纳 知识网络 专题一 专题二 专题三 专题四 (2)记 为该单位代表队必答题答对的题数, 为必答题得分,则 B 10, 91 96 , E()=10 91 96 = 455 48 .而 =20-10(10-)=30-100, E()=30E()-100=1 475 8 184. -16- 本章整合 专题归纳 知识网络 专题一 专题二 专题三 专题四 专题四 正态分布的实际应用 对于正态分布问题,在新课程标准中的要求不是很高,只要求同
12、学们了 解正态分布中的最基础的知识.但由于正态分布中体现了数形结合的重要 思想,一些结合图象解决某一区间内的概率问题又成为热点问题,这就需要 同学们熟练掌握正态分布的形式,记住正态总体在三个区间内取值的概率, 运用对称性结合图象求相应的概率. -17- 本章整合 专题归纳 知识网络 专题一 专题二 专题三 专题四 【例 4】 在某次大型考试中,某班同学的成绩服从正态分布 N(80,52), 现已知该班同学中成绩在 8085 分的同学有 17 人.试计算该班同学中成绩 在 90 分以上的同学有多少人? 思路点拨:依题意,由 8085 分同学的人数和所占百分比求出该班同学 总数,再求 90 分以上
13、同学的人数. -18- 本章整合 专题归纳 知识网络 专题一 专题二 专题三 专题四 解: 成绩服从正态分布 N(80,52), =80,=5,-=75,+=85. 于是成绩在(75,85)内的同学占全班同学的 68.26%. 这样成绩在(80,85)内的同学占全班同学的 34.13%. 设该班有 x 名同学,则 x 34.13%=17.解得 x=50. 又 -2=80-10=70,+2=80+10=90, 成绩在(70,90)内的同学占全班同学的 95.44%. 成绩在(80,90)内的同学占全班同学的 47.72%. 成绩在 90 分以上的同学占全班同学的 2.28%. 即有 50 2.28%1(人). 即成绩在 90 分以上的仅有 1 人.
