1、-1- 1 1.3 3 二项式定理 -2- 1 1.3 3.1 1 二项式定理 -3- 1.3.1 二项式定理 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 课程目标课程目标 学习脉络学习脉络 1.能用计数原理证明二项式定理. 2.理解二项式定理及二项展开式的特征,能记住二 项式定理和二项展开式的通项公式. 3.正确运用二项展开式展开或化简某些二项式,运 用通项求某些特定项、二项式系数或项的系数. 4.能解决与二项式定理有关的简单问题. -4- 1.3.1 二项式定理 JICHU ZHISHI 基础知识 首 页
2、 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 1.二项式定理 (a+b)n=n 0an+ n 1an-1b+ n kan-kbk+ n nbn(nN*). (1)这个公式叫做二项式定理. (2)展开式:等号右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式,展开式共有 n+1 项. (3)二项式系数:各项的系数n k(k 0,1,2,n )叫做二项式系数. -5- 1.3.1 二项式定理 JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 思考 1如何理解二项式定理? 提示:(1)项数
3、:n+1 项.(2)指数:字母 a,b 的指数和为 n,字母 a 的指数由 n 递减到 0,同时 b 的指数由 0 递增到 n. -6- 1.3.1 二项式定理 JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 2.二项展开式的通项 (a+b)n展开式中的n kan-kbk 叫做二项展开式的通项,用 Tk+1表示,即通项 为展开式的第 k+1 项:Tk+1=n kan-kbk(其中 0kn,kN,nN*). 思考 2如何正确区分二项展开式中某一项的系数与二项式 系数? 提示:某一项的系数与该项的二项式系数不是一个概
4、念,n r(r=0,1,2,n) 叫做二项式系数,而某一项的系数是指此项中除字母外的部分,如(1+2x)3的 二项展开式中第 3 项的二项式系数为3 2,而该项的系数为 3 2 22=12. -7- 1.3.1 二项式定理 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 二项式定理 (1)简单的二项式展开时可直接利用二项式定理展开,对于形式较复杂 的二项式,在展开之前可以根据二项式的结构特点进行必要的变形,然后再 展开,以使运算得到简化,记准、 记熟二项式(a+b)n的展开
5、式是解答好与二项 式定理有关的问题的前提. (2)逆用二项式定理要注意二项展开式的结构特点.a 的指数是从高到 低,b 的指数是从低到高,a,b 的指数和都相等,如果项的系数是正负相间,则 是(a-b)n的形式. -8- 1.3.1 二项式定理 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 【典型例题 1】 (1)求 2 x + 1 x 4 的展开式; (2)化简(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1). 思路分析:(1)可直接用二项式定理展
6、开或先对括号内式子化简再展开. (2)分析式子的结构形式,逆用二项式定理求解. -9- 1.3.1 二项式定理 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 解:(1)方法一:直接利用二项式定理展开并化简: 2 x + 1 x 4 = 4 0(2 x)4 1 x 0 + 4 1(2 x)3 1 x + 4 2(2 x)2 1 x 2 + 4 3(2 x) 1 x 3 + 4 4(2 x)0 1 x 4 =16x2+32x+24+8 x + 1 x2. -10- 1.3.1 二项式
7、定理 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 方法二: 2 x + 1 x 4 = 2x+1 x 4 = 1 x2(2x+1) 4 = 1 x2 4 0(2x)410+ 4 1(2x)31+ 4 2(2x)212+ 4 3(2x)13 +4 4(2x)014=1 x2(16x 4+32x3+24x2+8x+1)=16x2+32x+24+8 x + 1 x2. (2)原式 =5 0(x-1)5+ 5 1(x-1)4+ 5 2(x-1)3+ 5 3(x-1)2+ 5 4(x-1
8、)+ 5 5-1=(x-1)+15-1=x5-1. -11- 1.3.1 二项式定理 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 规律总结熟记二项式(a+b)n的展开式,是解决此类问题的 关键,我们在解较复杂的二项式问题时,可根据二项式的结构特征进行适当 变形,简化展开二项式的过程,使问题的解决更加简便. -12- 1.3.1 二项式定理 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探
9、究二 探究三 探究四 探究二 二项展开式中特定项的计算 求展开式中的某些特定项时,应先确定哪些项是要求的项,再用通项公 式求解.常见问题:求常数项(未知量的指数为零),求有理项(项的指数为整 数),求某一项.注意某项的系数与二项式系数的区别. 【典型例题 2】 已知在 x 3 - 1 2 x 3 n 的展开式中,第 6 项为常数项. (1)求 n; (2)求含 x2的项的系数; (3)求展开式中所有的有理项. 思路分析:利用展开式的通项公式,求出当 x 的次数为 0 时 n 的值,再求 解第(2)问、第(3)问. -13- 1.3.1 二项式定理 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点
10、首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 解:(1)由通项公式知,展开式中第 k+1 项为 Tk+1=n k( x 3 )n-k - 1 2 3 k = n k(x1 3)n-k - 1 2 x- 1 3 k = - 1 2 k n kxn-2k 3. 第 6 项为常数项, k=5,且 n-5 2=0, n=10. (2)由(1)知 Tk+1= - 1 2 k 10 k x 10-2k 3. 令10-2k 3 =2,则 k=2. x2的系数为 - 1 2 2 10 2 = 1 4 45= 45 4 . -14- 1.3.
11、1 二项式定理 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 (3)当 Tk+1为有理项时,10-2k 3 为整数,0k10,且 kN*. 令10-2k 3 =z,则 k=5-3 2z, z 为偶数,从而求得当 z=2,0,-2 时,k=2,5,8 符合条件. 有理项为 T3=10 2 - 1 2 2 x2=45 4 x2,T6=10 5 - 1 2 5 =-63 8 ,T9=10 8 - 1 2 8 x-2= 45 256x -2. -15- 1.3.1 二项式定理 ZHONG
12、DIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 规律总结求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项 Tk+1=n kan-kbk 的特点,一般需要建立方程求 k,再将k的值代回通项求解,注意 k 的取值范围(k=0,1,2,3,n). (1)第 m 项:此时 k+1=m,直接代入通项; (2)常数项:即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为 0,建立方 程; (3)有理项:令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程. 特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解. -16- 1
13、.3.1 二项式定理 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究三 利用二项式定理解决整除和余数问题 用二项式定理解决an+b整除(或余数)问题时,一般需要将底数a写成除 数 m 的整数倍加上或减去 r(1rn)的形式,利用二项展开式求解. 【典型例题 3】 试判断 7777-1 能否被 19 整除. 思路分析:由于76 是19的倍数,可将 7777转化为(76+1)77用二项式定理 展开. 解:7777-1=(76+1)77-1 =7677+77 1 7676+77 2
14、 7675+77 76 76+ 77 77-1 =76(7676+77 1 7675+77 2 7674+77 76). 由于 76 能被 19 整除,因此 7777-1 能被 19 整除. -17- 1.3.1 二项式定理 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 规律总结应用二项式定理可以解决求余数和整除的问题, 通常需将底数化成两数的和或差的形式,且这种转化形式与除数有密切的 关系. -18- 1.3.1 二项式定理 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页
15、 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究四 易错辨析 易错点 混淆二项展开式中项的系数与二项式系数 【典型例题 4】 ( 2x-1)5的展开式中第 4 项的系数是( ) A.10 B.-10 C.20 D.-20 错解:第 4 项的系数为C5 3=10.故选 A. 错因分析:把二项展开式中项的系数与二项式系数混淆了. 正解:由展开式通项得 T4=C5 3( 2x)2(-1)3=-102x2=-20x2,所以第 4 项的系数为-20. 答案:D -19- 1.3.1 二项式定理 SUITANG LIANXI 随堂练习 首
16、页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 1. - 1 3 12 展开式中的常数项为( ) A.-1 320 B.1 320 C.-220 D.220 解析:Tr+1=C12 x12-r - 1 3 =(-1)rC12 12- 4 3r,令 12-4 3r=0,得 r=9.所以 T10=(-1)9 C12 9 =-220. 答案:C -20- 1.3.1 二项式定理 SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 2.如果 3 - 1 4
17、 的展开式中存在常数项,那么 n 可能为( ) A.6 B.7 C.8 D.9 答案:B -21- 1.3.1 二项式定理 SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 3. - 1 16 的二项展开式中第 4 项是 . 解析:展开式的通项公式为 Tr+1=C16 x16-r - 1 =(-1)rC16 x16-2r, 第 4 项为 T4=(-1)3C16 3 x10=-C16 3 x10. 答案:-C16 3 x10 -22- 1.3.1 二项式定理 SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 4.在(x+ 3 4 y)20的展开式中,系数为有理数的项共有 项. 解析: Tr+1=3 4C20 x20-ryr(r=0,1,2,20)的系数为有理数, r=0,4,8,12,16,20,共 6 项. 答案:6
