1、作一个三角形，有两个角相等，这两个角所作一个三角形，有两个角相等，这两个角所对的边是否相等？对的边是否相等？已知：已知：ABCABC中，中，B=CB=C。那么那么ABABACAC吗？试说明理由。吗？试说明理由。BACD1 2CAB 用符号语言表示为：用符号语言表示为：在在ABCABC中，中，B=C B=C（）AC=AB(AC=AB(）已知已知 在一个三角形中，在一个三角形中，等角等角对对等边等边如图如图,已知已知AB=ACAB=AC，A=36A=36,BDBD平分平分ABCABC，图中的等腰三，图中的等腰三角形有角形有 个个.DBAC例例1 1：如图如图,在在ABCABC中，已知中，已知ABC
2、=ACBABC=ACB，BFBF平分平分ABCABC，CFCF平分平分ACB,ACB,请想想看请想想看,由以上条由以上条件件,你能到哪几个等腰三角形你能到哪几个等腰三角形?并说明理由并说明理由.如果如果EGBCEGBC？A AB BC CF FE EG G 角平分线角平分线+平行线平行线 等腰三角形等腰三角形 角平分线角平分线+平行线平行线 等腰三角形等腰三角形1 1、如图：、如图：BFBF、CFCF分别是等腰三角形分别是等腰三角形ABCABC的底角的底角平分线，过交点平分线，过交点F F的直线的直线DEBCDEBC交两腰交两腰ABAB、ACAC于于点点D D、E E，若，若AB=20AB=2
3、0，则，则ADEADE的周长为的周长为 。2l3EDFBCA例例2 2：如图，如图，BDBD是等腰三角形是等腰三角形ABCABC的底边的底边ACAC上的上的高，高，DEBCDEBC，交，交ABAB于点于点E E。判断。判断BDEBDE是不是等是不是等腰三角形，并说明理由。腰三角形，并说明理由。(书写书写)1.1.已知：已知：ADAD平分平分EACEAC，AD/BCAD/BC，ABCABC是等腰是等腰三角形吗？请说明理由三角形吗？请说明理由.12等边三角形等边三角形等腰三角形等腰三角形底边与腰相等底边与腰相等三条边都相等的三角形叫做三条边都相等的三角形叫做等边三角等边三角形形 （正三角形）（正三
4、角形）等边三角形是特殊的等腰三角形。等边三角形是特殊的等腰三角形。三条边都相等的三角形三条边都相等的三角形三个内角都相等的三角形三个内角都相等的三角形有一个内角等于有一个内角等于60 60 的的等腰三角形等腰三角形一般三角形一般三角形A AB BC C等边三角形等边三角形A AB BC C等边三角形等边三角形A AB BC C等腰三角形等腰三角形AB BC C等边三角形的判定等边三角形的判定.在在ABC ABC 中，中，AB=BC=6,AB=BC=6,C=60C=600 0,则则CA=_CA=_3 3.若三角形中最大角是若三角形中最大角是60600 0,那么这个三角形那么这个三角形 是是_ .
5、_ .等边三角等边三角形形.已知已知a,b,ca,b,c是是ABC ABC 的三边的三边,且且(a-b)(a-b)2 2+=0,=0,则则ABCABC的形状是的形状是 cb等边三角形等边三角形.等边三角形有等边三角形有_条对称轴条对称轴.它们是它们是三条角平分线所在的直线三条角平分线所在的直线.等边三角形两条高线所夹的等边三角形两条高线所夹的锐角的度数是锐角的度数是600中线中线 1 1、三个角都是、三个角都是60600 0的三角形是等边三角形的三角形是等边三角形.().()5 5、一个角是、一个角是60600 0的等腰三角形是等边三角形的等腰三角形是等边三角形.().()判一判，并说明理由：
6、判一判，并说明理由：4 4、一个底角是、一个底角是60600 0的等腰三角形是等边三角形的等腰三角形是等边三角形.().()3 3、一个顶角是、一个顶角是60600 0的等腰三角形是等边三角形的等腰三角形是等边三角形.().()2 2、两个角都是、两个角都是60600 0的三角形是等边三角形的三角形是等边三角形.().()已知已知ABCABC是等边三角形是等边三角形,D,E,F,D,E,F分别是各边分别是各边上的一点上的一点,且且AD=BE=CF.AD=BE=CF.试说明试说明 DEFDEF是等边三角形是等边三角形.EDABCFDEBC,EFAC,FDAB变一变：变一变：练一练练一练如图如图,
7、ABCABC为等边三角形为等边三角形,1=2=3 1=2=3(1)(1)求求BECBEC的度数的度数.(2)(2)DEFDEF为等边三角形吗为等边三角形吗?为什么为什么?321EFDBAC试一试：试一试：名名称称图图 形形定义定义 性性 质质 判判 定定 等等 腰腰 三三 角角 形形A AB BC C有两边有两边相等的相等的三角形三角形是等腰是等腰三角形。三角形。2.在同一个三在同一个三角形中，等边角形中，等边对等角对等角,4.等腰三角形等腰三角形三线合一三线合一3.是轴对称图形是轴对称图形.2.在同一个三在同一个三角形中，等角角形中，等角对等边。对等边。1.两边相等。两边相等。1.1.两腰相
8、等两腰相等.小结1.1.等边三角形的定义等边三角形的定义.3.3.等边三角形的判定等边三角形的判定.（边、角、边（边、角、边+角）角）4.4.数学思想：数学思想：类比类比思想思想.2.2.等边三角形的性质等边三角形的性质（边、角、三线、对称性边、角、三线、对称性）5.5.对几何图形两方面的理解对几何图形两方面的理解静、动静、动2 2、已知正方形、已知正方形ABCDABCD和等边三角形和等边三角形EAD,EAD,试试求求BECBEC的度数。的度数。E ED DC CB BA AE ED DC CB BA A提高题提高题提高题提高题:如图，已知AB=AC，CE=BD，则FE=FD.说明理由.?F?
9、D?C?A?B?EHGFDBCAE提高题提高题如图如图ABC与与DCE都是正三角形，且都是正三角形，且B、C、E共线，连接共线，连接BD、AE分别交分别交AC、DC于于F、G。(1)求证求证FCG是等边三角形是等边三角形(2)BD、AE交于点交于点H，求证求证CH平分平分BHE1.?已知，如图所示，在ABC中，B=2C，AD是ABC的角平分线，求证：AC=AB+BD。拓展提高分析：遇到关于线段的等式，需要将所有线段转化到一条线段上。法一：在最长的线段上截取短的线段的长法二：在短的线段上延长至长线段等长证明：法一：在线段AC上截取点E，使AE=AB，连结DE。AD平分BAC?BAD=DAE?在A
10、BD和AED中ABD AED?BD=DE，B=AED?B=2C?AED=2C?AED=C+EDC?C=EDCED=ECBD=ECAC=AE+EC?AC=AB+BD；法二：延长线段AB至点F，使AF=AC，连结DF。AD平分BACFAD=CAD?又AC=AF?AD=ADAFD ACD?F=C?ABC=2CABC=2F?又ABC=F+BDFF=BDF?BF=BD?AF=AB+BF?AF=AB+BDAC=AB+BD。变式：如图所示，已知AD是BAC的平分线，AC=AB+BD，求证：B=2C.特殊的等腰三角形特殊的等腰三角形BCAABCDABC等边三角形等边三角形等腰直角三角形等腰直角三角形顶角顶角3
11、6的的等腰三角形等腰三角形底角底角36的等腰三角形的等腰三角形363636ABCD3636367272 本章要点聚焦本章要点聚焦一、四边形的概念一、四边形的概念1.1.定义：在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段定义：在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形首尾顺次相接组成的图形.2.2.四边形的内角和与外角和均为四边形的内角和与外角和均为360360.3.3.四边形具有不稳定性四边形具有不稳定性.4.4.多边形内角和定理：多边形内角和定理：n n边形的内角和等于边形的内角和等于(n-2)(n-2)1801805.5.多边形外角和定理：多边形外角和定理：n n边形的外角
12、和等于边形的外角和等于360360.6.6.多边形的对角线多边形的对角线.二二.重要知识规律总结重要知识规律总结:条条(n3)(n3)2 23 3)n n(n n1.1.多边形的对角线多边形的对角线.n n边形的内角和为：（边形的内角和为：（n n2)2)180180(n3).(n3).2.2.多边形的内角和公式多边形的内角和公式.3.3.平行四边形的性质有：平行四边形的性质有：平行四边形的平行四边形的对边相等对边相等平行四边形的平行四边形的对边平行对边平行平行四边形的平行四边形的对角相等对角相等平行四边形的平行四边形的对角线互相平分对角线互相平分平行四边形平行四边形邻角互补邻角互补中心对称中
13、心对称两个推论两个推论:定理定理2 2：两组对边分别相等两组对边分别相等的四边形是的四边形是平行四边形平行四边形.定义定义:两组对边分别平行两组对边分别平行的四边形是的四边形是平行四边形平行四边形.定理定理1:1:一组对边平行且相等一组对边平行且相等的四边形是的四边形是平行四边形平行四边形.4.4.平行四边形的判定平行四边形的判定:平行四边形平行四边形定理定理4 4：两组对角分别相等两组对角分别相等的四边形是的四边形是平行四边形平行四边形.推论推论1:有有一组对边平行且有一组对角相等一组对边平行且有一组对角相等的四边形是的四边形是平行四边形平行四边形.三角形的中位线平行于第三边，并且等三角形的
14、中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半于第三边的一半.5.5.三角形的中位线三角形的中位线6.6.逆命题与逆定理逆命题与逆定理.重要逆定理重要逆定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形定理定理1:1:到一条线段的两个端点的距离相等的点到一条线段的两个端点的距离相等的点,在在这条线段的垂直平分线上这条线段的垂直平分线上.定理定理2:2:如果三角形一边上的中线等于这边一半如果三角形一边上的中线等于这边一半,那那么这个三角形是直角三角形么这个三角形是直角三角形定理定理3:3:一个图形绕一点旋转一个图形绕
15、一点旋转180180度后与原度后与原来图形重合来图形重合.中心对称图形中心对称图形:关于一点成关于一点成中心对称中心对称:一个图形绕一点旋转一个图形绕一点旋转180度后与度后与另一图形互相重合另一图形互相重合.性质性质:对称中心平分连接两个对称点的线段对称中心平分连接两个对称点的线段直角坐标系中直角坐标系中,点点(x,yx,y)关于原点对称的点是关于原点对称的点是(-x,-y-x,-y)3 3、如图，在锐角、如图，在锐角ABCABC中，中，CDCD、BEBE分分别是别是ABAB、ACAC边上的高，且边上的高，且CDCD、BEBE交于一点交于一点P P，若，若A=50A=50，则，则BPCBPC
16、的度数是的度数是 ()()4 4、一个正多边形它的一个外角等于与它相邻的内角的、一个正多边形它的一个外角等于与它相邻的内角的四分之一，这个多边形是正四分之一，这个多边形是正边形。边形。B B1 1、在四边形中、在四边形中ABCDABCD，A=50A=500 0，B=90B=900 0，C=41C=410 0，则，则D=D=；2 2、一个多边形的内角和等于、一个多边形的内角和等于10801080，这个多边形的边，这个多边形的边数是数是A A十十1791790 0基础练习基础练习5 5、下例不能判定四边形、下例不能判定四边形ABCDABCD是平行四边形的是（是平行四边形的是（）A A、AB=CD
17、AD=BC BAB=CD AD=BC B、AB=CD ABCDAB=CD ABCD C C、AB=CD ADBC DAB=CD ADBC D、AB CD ADBCAB CD ADBC6 6、如图所示，在、如图所示，在ABCABC中，中，D D、E E、F F分别为分别为ABAB、BCBC、CACA边的中点，则图中共有平行四边形边的中点，则图中共有平行四边形()()个个 个个 个个 个个?A D F EB C7 7、如图、如图 ABCDABCD的对角线的对角线BDBD上有两点上有两点E E、F F，要使四边形，要使四边形AECFAECF是平行四边形，还需要增加的一个条件是是平行四边形，还需要增加
18、的一个条件是 （填（填上你认为正确的一个即可，不必考虑所有可能情形），上你认为正确的一个即可，不必考虑所有可能情形），并写出你的证明过程。并写出你的证明过程。C CC CBE=DFBE=DF、BF=DEBF=DE，AEFCAEFC、AFECAFEC8 8、如图在、如图在 ABCDABCD中中CEABCEAB，E E为垂足，为垂足，若若A=125A=1250 0，那么，那么BCE=BCE=。?A DE B C9 9、如图在、如图在 ABCABC中中,EFAB,DE:EA=2:3,EF=4,EFAB,DE:EA=2:3,EF=4,则则CD=CD=。?D C E F A B?A D B C1010、
19、如图在、如图在 ABCDABCD中中,AD=5,AB=3,AE,AD=5,AB=3,AE平分平分 BADBAD交交BCBC于于点点E,E,则则BE=BE=，。?A D OB C1111、在、在 ABCDABCD中，对角线中，对角线ACAC、BDBD相交于相交于O O点，点，AC=10,BD=8AC=10,BD=8，则，则ADAD的取值范围是的取值范围是()()A.AD A.AD1 B.AD1 B.AD9 9 C.1 C.1ADAD9 D.AD9 D.AD0 035350 010103 32 2C C1212、判断题、判断题:（1 1）邻角互补的四边形是平行四边形）邻角互补的四边形是平行四边形.
20、（2 2）一组对边平行）一组对边平行,另一组对边相等的四边形是另一组对边相等的四边形是平行四边形平行四边形.（3 3）一组对边平行）一组对边平行,一组对角相等的四边形是一组对角相等的四边形是平行四边形平行四边形.（4 4）对角线相等的四边形是平行四边形）对角线相等的四边形是平行四边形.1313、某人到瓷砖商店去购买一种多边形形状的瓷砖，用、某人到瓷砖商店去购买一种多边形形状的瓷砖，用来铺设无缝地板他购买的瓷砖形状不可以是（来铺设无缝地板他购买的瓷砖形状不可以是（）（A A）正三角形）正三角形 （B B）正四边形）正四边形 （C C）正八边形）正八边形 （D D）正六边形）正六边形 1414、平
21、行四边形一边长为、平行四边形一边长为12cm12cm，那么它的两条，那么它的两条对角线的长度可能是（对角线的长度可能是（）（A A）8cm8cm和和14cm 14cm （B B）10cm10cm和和14cm 14cm （C C）18cm18cm和和20cm 20cm （D D）10cm10cm和和34cm34cmC CC C1515、在平行四边形、在平行四边形ABCDABCD中中,AC=10,BD=8,AC=10,BD=8,则则ABAB的取值范的取值范围是围是()()A A、2AB18 B2AB18 B、1AB9 1AB2 DAB2 D、AB9AB91616、平行四边形一边长为、平行四边形一边
22、长为 10,10,则它的两条对角线可以则它的两条对角线可以是是()()A A、6,8 B6,8 B、8,12 8,12 C C、8,14 D8,14 D、6,146,14B BC C 例题解析例题解析【例例1 1】如图，在如图，在 ABCDABCD中，中，O O是对角线是对角线ACAC的中点，过的中点，过O O点作直线点作直线EFEF分别交分别交BCBC、ADAD于于E E、F.F.(1)(1)求证：求证：BE=DF.BE=DF.(2)(2)若若ACAC、EFEF将将 ABCDABCD分成的四部分的面积相等，指分成的四部分的面积相等，指出出E E点的位置，并说明理由点的位置，并说明理由.【例例
23、2 2】如图所示，已知如图所示，已知 ABCDABCD的周长为的周长为30cm30cm，AEAEBCBC于于E E点，点，AFAFCDCD于于F F点，且点，且AEAEAF=2AF=23 3，C=120C=120，求，求S S ABCDABCD.27 (cm2).?3?C（23，-2 ）C（-23，2 ）?【例例3 3】如图如图RtRtOABOAB的两条直角边都在坐标轴上，的两条直角边都在坐标轴上，AO=2AO=2，OBA=30OBA=300 0，求以，求以O O、A A、B B为其中三个顶点的为其中三个顶点的平行四边形的第四个顶点平行四边形的第四个顶点C C的坐标。的坐标。?C（23，2 ）
24、A O B?【例例4 4】如图已知平行四边形如图已知平行四边形ABCDABCD的周长是的周长是1414，两条，两条对角线对角线ACAC：BD=2BD=2：3 3，ACAC与与BDBD交于交于O O，AOBAOB和和BOCBOC的周长和是的周长和是1717，则则AC=AC=，BD=BD=。?A D OB C【例例5 5】如图在如图在ABCABC中点中点D D、E E分别是分别是ABAB，ACAC边的中点，边的中点，若把若把ADEADE饶着点饶着点E E顺时针旋转顺时针旋转1801800 0得到得到CEFCEF。（1 1）请指出图中哪些线段与线段）请指出图中哪些线段与线段CFCF相等；相等；（2
25、2）试判断四边形）试判断四边形DBCFDBCF是怎样的四边形？证明你的结论。是怎样的四边形？证明你的结论。A AE EF FD DB BC C2 2、四边形、四边形ABCDABCD中，中，AD/BCAD/BC，那么，那么：的值可能是（的值可能是（）1 1、在一个四边形中，、在一个四边形中，：，求这个四边形各内角的度数？：，求这个四边形各内角的度数？A A、：、：5 5：B B、：、：C C、：、：5 5：4 D4 D、：、：5 5：3 3、一个多边形、一个多边形,除了一个内角外除了一个内角外,其余内角和为其余内角和为12051205度度,则这个内角是多少度则这个内角是多少度,这是个几边形这是个
26、几边形?D D4 4、如图、如图,在在ABCABC中中,AB=AC=5,D,AB=AC=5,D是是BCBC上的点上的点,DEAB,DEAB交交ACAC于点于点E,DFACE,DFAC交交ABAB于点于点F,F,那么四边形那么四边形AFDEAFDE的周长是的周长是()()B B5 5、已知已知：如图，在：如图，在ABCDABCD中，中，E E，F F是对角线是对角线ACAC上的两上的两点，且点，且AE=CFAE=CF，求证求证：四边形：四边形BEDFBEDF是平行四边形是平行四边形 6 6.已知已知：如图，在：如图，在ABCDABCD中，中，E E，F F分别是分别是ADAD，BCBC的中点的中
27、点求证求证：MNBCMNBC，且，且MN=BCMN=BC127 7、已知如图在、已知如图在 ABCDABCD中中,过点过点O O做任意直线与一组做任意直线与一组对边分别交于点对边分别交于点E E和和F,F,求证：求证：OE=OFOE=OFB BD DC CA AO OE EF FA AB BC CD DO O8 8、如图，、如图，ABCDABCD的周长为的周长为cm,Ocm,O是对角线是对角线ACAC和和BDBD的交点的交点（）若（）若ABCABC的周长是的周长是18cm,18cm,求求OCOC的长的长（）若（）若OABOAB的周长比的周长比OBCOBC的周长短的周长短cmcm，求，求ABAB
28、的长的长4cm4cm3cm3cmE ED DA AC CB BF FO O变式：已知如图四边形变式：已知如图四边形ABCDABCD和四边形和四边形BFDEBFDE都是都是平行四边形平行四边形,求证：求证：AE=CFAE=CF9 9、如图在、如图在 ABCDABCD中中,E,E、F F是对角线是对角线ACAC上的两点，且上的两点，且AE=CF,AE=CF,求证：求证：四边形四边形BEDFBEDF是平行四边形是平行四边形1010、已知、已知:如图如图,四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形,ADEADE和和BCFBCF都是等边三角形都是等边三角形.求证求证:BD:BD和和EFEF互相
29、平分互相平分.ABCFDE1111、已知、已知:如图如图,O,O是等边三角形是等边三角形ABCABC内任意一内任意一点点,ODBC,OEAC,OFAB,ODBC,OEAC,OFAB,点点D,E,FD,E,F分别在分别在AB,BC,ACAB,BC,AC上上.求证求证:OD+OE+OF=BC.:OD+OE+OF=BC.A AF FO OE ED DB BC CM MN N1212、请说出、请说出“等腰三角形两腰上的高相等等腰三角形两腰上的高相等”的的逆命题这个逆命题是真命题吗？请逆命题这个逆命题是真命题吗？请证明证明你的你的判断判断.作图应用作图应用3 3、如图，在、如图，在 ABCDABCD中，
30、已知两条对角线相交于中，已知两条对角线相交于点点O O，E E、F F、G G、H H分别是分别是AOAO、BOBO、COCO、DODO的的中点中点，以图中的点为顶点，尽可能多地画出以图中的点为顶点，尽可能多地画出平行四边形平行四边形。A AD DC CB BE EF FG GH HO Ow我们知道我们知道,三角形的三条中线交于一点三角形的三条中线交于一点.这一点这一点 叫做三角形的叫做三角形的重心重心.w三角形的重心分每一条中线的比为三角形的重心分每一条中线的比为1212(重心到每边的中点距离重心到每边的中点距离重心重心到所对角的顶点的距离到所对角的顶点的距离).).w你能证明这个命题吗你能
31、证明这个命题吗?w三角形的重心有一个重要的几何性质三角形的重心有一个重要的几何性质:ABCDEFG探索提高探索提高证明一：连结证明一：连结EFEF，利用三角形的中位线按理证明，利用三角形的中位线按理证明w已知已知:如图如图,AE,BF,CD,AE,BF,CD是是ABCABC的三条中线的三条中线,且相交于点且相交于点G.G.w分析分析:要证明要证明GEGA=12GEGA=12,可以考虑折半法可以考虑折半法(如取如取GAGA的中点的中点M,GBM,GB的中点的中点N).N).w转化为证明转化为证明AM=MG=GE,BN=NG=GF.AM=MG=GE,BN=NG=GF.w分别连接分别连接FE,EN,
32、NM,MF.FE,EN,NM,MF.w求证求证:GEGA=GFGB=GDGC=12GEGA=GFGB=GDGC=12.ABCDEFGM?Nw从而借助于三角形的中位线从而借助于三角形的中位线构造平行四边形来获得证明构造平行四边形来获得证明.证明二：证明二：w证明证明:取取GAGA的中点的中点M,GBM,GB的中点的中点N,N,分别连接分别连接FE,EN,NM,MF.FE,EN,NM,MF.wF,EF,E是是AC,BCAC,BC的中点的中点,w FEMN,FE=MN.FEMN,FE=MN.ABCDEFGM?Nw四边形四边形FENMFENM是平行四边形是平行四边形.wMG=GE,NG=GF.MG=GE,NG=GF.21ABFE FEAB,MNAB,MNAB,.21ABMN wAM=MG=GE,BN=NG=GF.AM=MG=GE,BN=NG=GF.w GEGA=GFGB=12.GEGA=GFGB=12.w同理同理,GD GC=1 2.wGEGA=GFGB=GDGC=12.GEGA=GFGB=GDGC=12.w已知已知:如图如图,AE,BF,CD,AE,BF,CD是是ABCABC的三条中线的三条中线,且相交且相交于点于点G.G.w求证求证:GEGA=GFGB=GDGC=12GEGA=GFGB=GDGC=12.
