1、16.1 二根次式第十六章 二次根式导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第1课时 二次根式的概念学习目标1.理解二次根式的概念.（重点）2.掌握二次根式有意义的条件.（重点）3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.（难点）导入新课导入新课情景引入里约奥运会上，哪位奥运健儿给你留下了深刻的印象？你能猜出下面表情包是谁吗？你们是根据哪些特征猜出的呢？下面来看傅园慧在里约奥运会赛后的采访视频，注意前方高能表情包.通过表情包来辨别人物，最重要的是根据个人的特征，那么数学的特征是什么呢？“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也.”-中科院数学与系统科学研究院 李邦河复习引入问题1 什么叫做平方根?一
2、般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.问题2 什么叫做算术平方根?如果 x2=a（x0），那么 x 称为 a 的算术平方根.用 表示.(0)a a 问题3 什么数有算术平方根?我们知道,负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.思考 用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？(1)如图的海报为正方形，若面积为2m2,则边长为_m；若面积为S m2，则边长为_m(2)如图的海报为长方形，若长是宽的2倍，面积为6m2，则它的宽为_m 图图2S3（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系 h=5t2
3、，如果用含有h 的式子表示 t，那么t为_5h问题1 这些式子分别表示什么意义？5h分别表示2，S，3，的算术平方根 上面问题中，得到的结果分别是：，2S35h讲授新课讲授新课二次根式的概念及有意义的条件一根指数都为2;被开方数为非负数.问题2 这些式子有什么共同特征？归纳总结 一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式.“”称为二次根号.(0)aa 两个必备特征外貌特征：含有“”内在特征：被开方数a 0注意：a可以是数，也可以是式.例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？23(1)32;(2)6;(3)12;(4)-0(5),;(6)1;(7)5.m mxy x ya；异号 解：(1)(4)
4、(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.是否含二次根号被开方数是不是非负数二次根式不是二次根式是是否否分析：典例精析例2 当x是怎样的实数时,在实数范围内有 意义?2x解：由x-20，得x2.当x2时，在实数范围内有意义.2x111x（）；解：由题意得x-10，x1.3(2).1xx解：被开方数需大于或等于零，3+x0，x-3.分母不能等于零，x-10，x1.x-3 且x1.要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数0，列不等式求解即可.若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.归纳2(1)21;xx2
5、(2)23.xx解：(1)无论x为何实数，当x=1时，在实数范围内有意义.(2)无论x为何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-20，无论x为何实数，在实数范围内都无意义.221xx223xx 被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.归纳222110 xxx ，(1)单个二次根式如 有意义的条件：A0；A(2)多个二次根式相加如 有意义的 条件：.ABN00.0ABN；(3)二次根式作为分式的分母如 有意义的条件：A0；BA(4)二次根式与分式的和如 有意义的条件：A0且B0.1AB归纳总结1.下列各式：.一定是二次根式的个数有 （）2233
6、;5;112721axxxx；;A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 B2.(1)若式子 在实数范围内有意义，则x的取值 范围是_;12x (2)若式子 在实数范围内有意义，则x的 取值范围是_.12xxx 1 x 0且x2 练一练问题1 当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？2x3x前者x为全体实数；后者x为正数和0.当a0时，表示a的算术平方根，因此 0；当a=0时，表示0的算术平方根，因此 =0.这就是说，当a0时，0.aaaaa问题2 二次根式 的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？a二次根式的双重非负性二 二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.
7、对于任意一个二次根式 ，我们知道：a（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a0；（2）表示一个数或式的算术平方根，可知 0.aa二次根式的被开方数非负二次根式的值非负二次根式的双重非负性归纳总结例3 若 ，求a-b+c的值.223(4)0abc解：由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,解得a=2,b=3,c=4.所以a-b+c=2-3+4=3.多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.归纳典例精析例4 已知y=,求3x+2y的算术平方根.338xx解：由题意得 x=3，y=8，3x+2y=25.25的算术平方根为5，3x+2y的算
8、术平方根为53 030 xx，3264baa解：由题意得a=3，b=4.当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=1130260aa，若 ，则根据被开方数大于等于0，可得a=0.归纳yaab已知|3x-y-1|和 互为相反数，求x+4y的平方根24xy解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0解得x=1，y=2x+4y=1+24=9，x+4y的平方根为3.练一练当堂练习当堂练习2.式子 有意义的条件是 （）236xA.x2 B.x2 C.x2 D.x23.当x=_时，二次根式 取最小值，其最小值 为_1.下列式子中，不属于二次根式的是（）CDa
9、CA-11x 04.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有 意义？(1)1;(2)23;2(3);(4).5aaaa(1)-101.aa 解：，3(2)230.2aa，(3)00.aa，(4)505.aa，5.(1)若二次根式 有意义，求m的取值范围222mmm解：由题意得m-20且m2-m-20，解得m2且m-1，m2，m2(2)无论x取任何实数，代数式 都有意义，求m的取值范围26xxm解：由题意得x2+6x+m0，即(x+3)2+m-90.(x+3)20，m-90，即m9.6.若x，y是实数，且y ,求 的值.1112xx 11yy解：根据题意得，x=1.y ,y ，.1112xx
10、1211111yyyy 1 010 xx，7.先阅读，后回答问题：当x为何值时，有意义？解：由题意得x(x-1)0由乘法法则得解得x1 或x0即当x1 或x0时，有意义.1x x 001 01 0 xxxx，或，1x x 能力提升：体会解题思想后，试着解答：当x为何值时，有意义？221xx解：由题意得则 解得x2或x ，即当x2或x 时，有意义2021xx，202021 021 0 xxxx，或，1212221xx课堂小结课堂小结二次根式定义带有二次根号在有意义条件下求字母的取值范围抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集.被开方数为非负数二次根式的双重非负性二次根式 中,a0且 0
11、aa见学练优本课时练习课后作业课后作业1.2.3 相反数第一章 有理数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结1.2 有理数学习目标1.借助数轴理解相反数的意义，懂得数轴上表示相反数的两个点关于原点对称.（难点）2.会求有理数的相反数.(重点）导入新课导入新课情境引入1 成语故事南辕北辙讲了一个人 如果点O表示魏国的位置，点A表示楚国的位置，假设楚国与魏国相距30 km，以魏国为原点0，我们规定向南为正方向，而此人从魏国出发向北到了点B也走了30 km，请同学们把这3个点在数轴上表示出来现在的位置魏国楚国OBA-30 -20 -10 0 10 20 30 两位同学背靠背，规定向前为正，一人向前走3步，
12、记作 ,一人向后走3步 ，记作 .对照数轴,说出-3与+3两数的相同点和不同点.你还能说出具备这些特征的成对的数吗？情境引入2活动1：观察下列一组数1和1，2.5和2.5，4和4，并把它们在数轴上表示出来.思考：1）上述各对数之间有什么特点？2）请写出一组具有上述特点的数 3）你能得出相反数的概念吗？4）表示各对数的点在数轴上有什么位置关系？相反数一探究一 相反数的概念讲授新课讲授新课活动2：请观察这两个数，它们有什么异同点？你还能列举两个这样的数吗？5.25.2数字相同符号不同1.定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数.2.一般地，a和-a互为相反数.要点归纳代数意义 判断题：（1）5是5
13、的相反数;（）（2）5是相反数;（）（3）与 互为相反数;（）（4）5和5互为相反数；（）21221（5）相反数等于它本身的数只有0；（6）符号不同的两个数互为相反数.练一练结合数轴考虑：0的相反数是_._.一个正数的相反数是一个。一个负数的相反数是一个。负数正数一个数的相反数是它本身的数是 _0 00 0思考：在数轴上，画出几组表示相反数的点，并观 察这两个点具有怎样的特征？位于原点两侧，且与原点的距离相等.05-5-11探究二 相反数的几何意义a-a思考：数轴上到原点的距离相等的点所表示的数有什 么特点？借助数轴填一填：1.数轴上与原点距离是2的点有_个，这些点表示的 数是_；2.与原点的
14、距离是5的点有_个，这些点表示的数是 _.02-2两 2和-25和-5两 5-51.互为相反数的两个数分别位于原点的两侧（0除外）；2.互为相反数的两个数到原点的距离相等.要点归纳几何意义3.一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是 a的点有两个，它们分别在原点的两侧，表示a和 -a，这两点关于原点对称.1.一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有_个，它们分别在原点的_，表示_，我们说这两点_.两左右-a和a关于原点对称归纳总结多重符号的化简二问题1：a的相反数是什么？在这个数前加一个“”号问题2：如何求一个数的相反数？a 的相反数是a，a可表示任意有理数.（1.1）表示什么
15、？（7）呢？（9.8）呢？它们的结果应是多少？问题3：若把 a分别换成5，7，0时，这些数的相 反数怎样表示？a =+5，-a =-（+5）a =-7，-a =-（-7）a =0，-a =0 (1)是_的相反数，(2)是_的相反数，=_ (3)是_的相反数，(4)是_的相反数，4_41.7_1.7100_10015157.17.11001004-4)51()51(填一填思考：如果在一个数前面加上“”号所得得到的 结果是什么呢？归纳总结在一个数前面加上“”号表示求这个数的相反数.化简下列各数（先读后写）(1)-(+10)(2)+(-0.15)(3)+(+3)(4)-(-12)(5)+-(-1.1
16、)(6)-+(-7)例2(6)-+(-7)=-(-7)=7.由内向外依次去括号方法总结：化简多重符号时，只需数一下数字前面有多少个负号，若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负.解：(1)-(+10)=-10；(2)+(-0.15)=-0.15；(3)+(+3)=3；(4)-(-12)=12；(5)+-(-1.1)=+(+1.1)=1.1；技巧：技巧：（一查二定）（一查二定）1.1.式子中含式子中含偶数个偶数个“”号号时，结果时，结果正正；含含奇数个奇数个“”号号时，结果为时，结果为负负。2.2.凡是凡是“+”+”都去掉。都去掉。1-1.6是_的相反数，_的相反数是0.32下列几对数中互
17、为相反数的一对为（）A 和 B 与 C 与35的相反数是_；a的相反数是_；)8()8()8()8()8()8(1.6-a-5C-0.3当堂练习当堂练习4若a=-13，则-a=_;若-a=-6，则a=_ 5若a是负数，则-a是_数；若-a是负数,则 a是_数6.的相反数是_，-3x的相反数是_.2x2x136正3x正7.（1）若a=3.2，则-a=;(2)若-a=2,则a=;(3)若-（-a）=3，则-a=;(4)-（a-b）=.能力拓展-2-3.2-3b-a8.若2x+1是-9的相反数，求x的值.解：由相反数的意义，得 2x+1=9 2x=8 x=4拓展思考：已知两个有理数x、y，且x+y=0,那么这两个有理数有什么关系？课堂小结课堂小结1.相反数的概念:只有符号不同的两个数叫做 互为相反数；特别地，0的相反数是0.2 表示 的相反数.aa
