1、第五章第五章 几何证明初步几何证明初步几何证明举例（几何证明举例（4 4）一、预习诊断一、预习诊断 下列说法中，错误的是（）。A三角形任意两个角的平分线的交点都在三角形任意两个角的平分线的交点都在三角形内部三角形内部 B B三角形任意两个角的平分线的交点到三三角形任意两个角的平分线的交点到三角形三边的距离相等角形三边的距离相等 C C三角形任意两个角的平分线的交点都在三角形任意两个角的平分线的交点都在第三个角的平分线上第三个角的平分线上 D D三角形任意两个角的平分线的交点到三三角形任意两个角的平分线的交点到三角形三个顶点的距离都相等角形三个顶点的距离都相等教学目标教学目标1.1.掌握并证明角
2、平分线的性质掌握并证明角平分线的性质定理及其逆定理；定理及其逆定理；2.2.会运用角平分线的性质定理会运用角平分线的性质定理及其逆定理解决有关实际问题。及其逆定理解决有关实际问题。回顾与思考回顾与思考1.1.什么叫角的平分线？什么叫角的平分线？2.2.根据本册第二章的学习你知道角根据本册第二章的学习你知道角的垂直平分线有什么性质？的垂直平分线有什么性质？3.3.这个性质你是怎样得到的？这个性质你是怎样得到的？这个这个性质是真命题吗？你能用逻辑推性质是真命题吗？你能用逻辑推理的方法，证明它的真实性吗？理的方法，证明它的真实性吗？二、精讲点拨二、精讲点拨证明证明:角平分线上的点到这个角的两边的距离
3、相等角平分线上的点到这个角的两边的距离相等P PM MN NC CB BA AD D已知已知：如图：如图,BD,BD是是ABCABC的平分的平分线线,点点P P在在BDBD上，上，PMPMAB,PNBC,AB,PNBC,垂足分别是点垂足分别是点M M和和N.N.求证求证:PM=PN:PM=PN温馨提示：温馨提示：证明的推理过程可以用文字语言，也证明的推理过程可以用文字语言，也 可以用符号语言。可以用符号语言。符号语言符号语言 角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：点点P P在的平分线在的平分线BDBD上上 PMPMBA,PNBA,PNBCBC PM=PN PM=PNPMNCBAD 你能说出角
4、平分线的性质定理的你能说出角平分线的性质定理的逆命题逆命题吗？吗？它是真命题吗？应如何证明它的真实性它是真命题吗？应如何证明它的真实性?角的内部到角的两边距离相等的点角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上在这个角的平分线上.PNMBAC已知:如图,点P是ABC内的一点，PMAB,PNBC,垂足分别是M与N，且PM=PN求证:点P在ABC的平分线上符号语言符号语言 角平分线的判定定理：角平分线的判定定理：PMBA,PNBCPMBA,PNBC，PM=PNPM=PN 点点P P在在ABCABC的平分线上的平分线上 （或（或BPBP是是ABCABC的平分线）的平分线）PNMBAC典型例题典型
5、例题 我们通过画图得知三角形三条平分线交于一点，我们通过画图得知三角形三条平分线交于一点，如何证明这个结论？如何证明这个结论？例例:已知已知：如图，：如图，AMAM，BNBN，CPCP是是ABCABC的三的三 条角平分线。条角平分线。求证求证：AMAM，BNBN，CPCP交于一点交于一点。要证明三角形的三条角平分线交要证明三角形的三条角平分线交与一点，只要证明与一点，只要证明两条角平分线两条角平分线的交点也在第三条角评分线上的交点也在第三条角评分线上就就可以了。可以了。小试身手小试身手如图如图24-7924-79，ABCABC中，中，ABABACAC，M M是是BCBC的中点，的中点，MDAB
6、MDAB，MEACMEAC，D D、E E是垂足。是垂足。求证：求证：MDMDMEME。再试身手再试身手如图1-34，已知：ABC中，BAC=90,ADBC于D，AE平DAC，EFBC交AC于F，连接BF.求证：BF是ABC的平分线.ABCDEF图 1-34三、系统总结系统总结1.1.角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角两的两边的角平分线上的点到这个角两的两边的距离相等。距离相等。作用：作用：证明两条线段相等证明两条线段相等2.2.角平分线性质定理的逆定理：角平分线性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点点角的内部到角的两边距离相等的点点在这个角的平分线上。在
7、这个角的平分线上。作用作用:证明两个角相等或线是角平分证明两个角相等或线是角平分 线线3.3.符号语言：符号语言：角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：点点P P在的平分线在的平分线BDBD上上 且且 PMPMBA,PNBA,PNBCBC PM=PN PM=PN 角平分线的判定定理：角平分线的判定定理：PMBA,PNBCPMBA,PNBC，且，且 PM=PN PM=PN 点点P P在在ABCABC的平分线上的平分线上 （或（或BPBP是是ABCABC的平分线）的平分线）确定二次函数的表达式学习目标学习目标1、会利用待定系数法求二次函数的表达式；、会利用待定系数法求二次函数的表达式；（重点）（
8、重点）2、能根据已知条件，设出相应的二次函数的、能根据已知条件，设出相应的二次函数的表达式的形式，较简便的求出二次函数表表达式的形式，较简便的求出二次函数表达式。（难点）达式。（难点）课前复习课前复习二次函数有哪几种表达式？二次函数有哪几种表达式？一般式：一般式：y=ax2+bx+c (a0)(a0)顶点式：顶点式：y=a(x-h)2+k (a0)(a0)交点式：交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a0)(a0)例题选讲例题选讲解：解：所以，设所求的二次函数为所以，设所求的二次函数为y=a(xy=a(x1)1)2 2-6-6由条件得：由条件得：点点(2,3)(2,3)在抛物线上，在抛物线上
9、，代入上式，得代入上式，得3=a3=a（2+12+1）2 2-6,-6,得得 a=1a=1所以，这个抛物线表达式为所以，这个抛物线表达式为 y=(xy=(x1)1)2 2-6-6即：即：y=xy=x2 2+2x+2x5 5例例 1 1例题例题封面封面因为二次函数图像的顶点坐标是因为二次函数图像的顶点坐标是（1 1，6 6），），已知抛物线的顶点为（已知抛物线的顶点为（1 1，6 6），与轴交点为），与轴交点为（2 2，3 3）求抛物线的表达式？）求抛物线的表达式？例题选讲解：解：设所求的二次函数为设所求的二次函数为y=ax2+bx+c将将A、B、C三点坐标代入得：三点坐标代入得：a-b+c=6
10、16a+4b+c=69a+3b+c=2解得：解得：所以：这个二次函数表达式为：所以：这个二次函数表达式为：a=1,b=-3,c=2y=x2-3x+2已知点已知点A（1,6）、）、B（2,3）和）和C（2,7），），求经过这三点的二次函数表达式。求经过这三点的二次函数表达式。oxy例例 2例题例题封面封面例题选讲解：解：所以设所求的二次函数为所以设所求的二次函数为y=a(xy=a(x1)(x1)(x1 1）由条件得：由条件得：已知抛物线与已知抛物线与X X轴交于轴交于A A（1 1，0 0），），B B（1,01,0）并经过点并经过点M M（0,10,1），求抛物线的表达式？），求抛物线的表达式
11、？yox点点M(0,1)M(0,1)在抛物线上在抛物线上所以所以：a(0+1)(0-1)=1a(0+1)(0-1)=1得：得：a=-1a=-1故所求的抛物线表达式为故所求的抛物线表达式为 y=y=-(x(x1)(x-1)1)(x-1)即：即：y=y=x x2 2+1+1例题例题例例 3 3封面封面因为函数过因为函数过A A（1 1，0 0），），B B（1,01,0）两点两点：小组探究小组探究1、已知二次函数对称轴为、已知二次函数对称轴为x=2，且过（，且过（3，2）、）、（-1,10）两点，求二次函数的表达式。）两点，求二次函数的表达式。2、已知二次函数极值为、已知二次函数极值为2，且过（，
12、且过（3，1）、）、（-1,1）两点，求二次函数的表达式。）两点，求二次函数的表达式。解：设解：设y=a(x-2)y=a(x-2)2 2-k-k解：设解：设y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+2+2例题选讲例题选讲有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为为16m16m，跨度为，跨度为40m40m现把它的图形放在坐标系里现把它的图形放在坐标系里(如图所示如图所示)，求抛物线的表达式，求抛物线的表达式 例例 4 4设抛物线的表达式为设抛物线的表达式为y=axy=ax2 2bxbxc c，解：解：根据题意可知根据题意可知抛物线经过抛物线经过(0(
13、0，0)0)，(20(20，16)16)和和(40(40，0)0)三点三点 可得方程组可得方程组 通过利用给定的条件通过利用给定的条件列出列出a a、b b、c c的三元的三元一次方程组，求出一次方程组，求出a a、b b、c c的值，从而确定的值，从而确定函数的解析式函数的解析式过程较繁杂，过程较繁杂，评价评价封面封面练习练习例题选讲例题选讲有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为为16m16m，跨度为，跨度为40m40m现把它的图形放在坐标系里现把它的图形放在坐标系里(如图所示如图所示)，求抛物线的表达式，求抛物线的表达式 例例 4设抛物线
14、为设抛物线为y=a(x-20)216 解：解：根据题意可知根据题意可知 点点(0，0)在抛物线上，在抛物线上，通过利用条件中的顶通过利用条件中的顶点和过原点选用顶点点和过原点选用顶点式求解，方法比较灵式求解，方法比较灵活活 评价评价 所求抛物线表达式为所求抛物线表达式为 封面封面练习练习用待定系数法求函数表达式的一般步骤用待定系数法求函数表达式的一般步骤:1、设出适合的函数表达式；、设出适合的函数表达式；2 2、把已知条件代入函数表达式中，得到关于、把已知条件代入函数表达式中，得到关于待定系数的方程或方程组；待定系数的方程或方程组；3 3、解方程（组）求出待定系数的值；解方程（组）求出待定系数的值；4 4、写出一般表达式。写出一般表达式。课堂小结课堂小结求二次函数表达式的一般方法：求二次函数表达式的一般方法：已知图象上三点或三对的对应值，已知图象上三点或三对的对应值，通常选择一般式通常选择一般式已知图象的顶点坐标、对称轴或和最值已知图象的顶点坐标、对称轴或和最值 通常选择顶点式通常选择顶点式已知图象与已知图象与x轴的两个交点的横轴的两个交点的横x1、x2，通常选择交点式。通常选择交点式。yxo封面封面确定二次函数的表达式时，应该根据条件的特点，确定二次函数的表达式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式。恰当地选用一种函数表达式。
