1、13.2 命题与证明一命题与证明一n1、什么叫做命题、什么叫做命题n2、命题的类型、命题的类型n3、命题的结构命题的组成局部、命题的结构命题的组成局部n4、命题的一般形式、命题的一般形式n5、什么样的两个命题叫做互逆命题、什么样的两个命题叫做互逆命题n6、什么样的命题只可举出反例就行、什么样的命题只可举出反例就行1北京是中华人民共和国的首都北京是中华人民共和国的首都 2 如 果 如 果 1 与与 2 是 对 顶 角，那 么是 对 顶 角，那 么 1=231+124如果一个整数的各位上的数字和能被如果一个整数的各位上的数字和能被3整除那么整除那么这个数能被这个数能被3整除整除什么叫做命题：什么叫
2、做命题：对某一事物作出正确真或者错误假判断的对某一事物作出正确真或者错误假判断的语句叫做命题。也可以说：判断一件事情的语句语句叫做命题。也可以说：判断一件事情的语句叫做命题叫做命题判断对错：判断对错：正确的命题叫做正确的命题叫做真命题真命题命题的类型命题的类型1你的作业做完了吗？你的作业做完了吗？2欢送前来参观！欢送前来参观！3以点以点O为圆心，为圆心，3cm长为半径长为半径画弧画弧像这样对某一事件的对错没有给出任何像这样对某一事件的对错没有给出任何判断就不是命题判断就不是命题因此，祈使句、疑问句、感慨句都不是命因此，祈使句、疑问句、感慨句都不是命题题2 2两条直线相交，有且只有一个交点两条直
3、线相交，有且只有一个交点 4 4一个平角的度数是一个平角的度数是180180度度 6 6取线段取线段ABAB的中点的中点C C；1 1长度相等的两条线段是相等的线段吗长度相等的两条线段是相等的线段吗?7 7画两条相等的线段画两条相等的线段 判断以下语句是不是命题？是用判断以下语句是不是命题？是用“，不是用不是用“表示。表示。3 3不相等的两个角不是对顶角不相等的两个角不是对顶角 5 5相等的两个角是对顶角相等的两个角是对顶角 命题的结构：命题的结构：任何一个数学命题都是由任何一个数学命题都是由 两局部组成的两局部组成的.是是 ，是由是由 ，这种这种命题常可写成命题常可写成 的的形式形式,“如果
4、后面的局部是题设如果后面的局部是题设,“那那么后面的局部是结论么后面的局部是结论.题设和结论题设和结论题设题设事项，事项，结论结论事项推出的事项事项推出的事项“如果如果 那么那么1、如果两条直线相交，那么它们只、如果两条直线相交，那么它们只 有一个交点；有一个交点；题设：题设：结论：结论：两条直线相交两条直线相交它们只有一个交点它们只有一个交点 指出以下命题的题设和结论指出以下命题的题设和结论2、如果、如果1=2，2=3，那么那么1=3；题设：题设：结论：结论：1=2，2=31=34、两条平行线被第三条直线所截，两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；内错角相等；题设：题设：结论：结论：两条平
5、行线被第三条直线所截两条平行线被第三条直线所截内错角相等内错角相等3、两条直线被第三条直线所截，如果、两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行同旁内角互补，那么这两条直线平行;题设：题设：结论：结论：两条直线被第三条直线所截，两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补同旁内角互补这两条直线平行这两条直线平行将以下命题改写成如果、将以下命题改写成如果、“那么的形式，然后指出它们那么的形式，然后指出它们的题设是什么的题设是什么?结论是什么结论是什么?(1)同位角相等同位角相等.(2)形状和大小相同的两个三角形面积相等形状和大小相同的两个三角形面积相等.如果两个角是同位角，那么这两
6、个角相等。如果两个三角形的形状和大小相同，那么这两个三角形面积相等。题设题设结论结论题设题设结论结论如果在同一个三角形中，有两个角相等，如果在同一个三角形中，有两个角相等，如果两个角是对顶角，如果两个角是对顶角，那么这两个角所对的边也相等。那么这两个角所对的边也相等。题设题设结论结论那么这两个角相等。那么这两个角相等。题设题设结论结论观察交流观察交流(1)两直线平行两直线平行,同旁内角互补同旁内角互补.(2)同旁内角互补同旁内角互补,两直线平行两直线平行.(3)对顶角相等对顶角相等.(4)相等的两个角是对顶角相等的两个角是对顶角.问题问题:(1)上述四个语句是命题吗上述四个语句是命题吗?(2)
7、它们的题设它们的题设,结论分别是什么结论分别是什么?(3)(1)和和(2),(3)和和(4)之间之间,你发现了什么你发现了什么?把一个命题的题设和结论互换，便可以得到一个新的命题，我们称这样的两个命 题为互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题。第一个命题的第一个命题的题设题设是第二个命题的是第二个命题的结结论论而且第一个命题而且第一个命题的结论的结论又是第二个命题又是第二个命题的题设的题设这样的两个命题就这样的两个命题就叫做叫做互逆命题互逆命题命题的一般形式：如果命题的一般形式：如果p那么那么q假设假设p,那那么么q 其中其中p是题设，是题设，q是结论是结论“假设假设p,那么那
8、么q 中的条件和结论互换，中的条件和结论互换，便得到便得到“假设假设q，那么，那么p.我们把这样的我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个是原命两个命题称为互逆命题，其中一个是原命题，另一个叫原命题的逆命题题，另一个叫原命题的逆命题写出以下命题的逆命题，并判断它们的真假。写出以下命题的逆命题，并判断它们的真假。1如果如果a=b，那么，那么a2=b2。2等角的余角相等。等角的余角相等。3同位角相等，两直线平行。同位角相等，两直线平行。如果如果a2=b2，那么，那么 a=b。如果两个角的余角相等，那么这两个角也相等。如果两个角的余角相等，那么这两个角也相等。两直线平行，同位角相等。两直线平行，同
9、位角相等。思考：思考：原命题是真命题，那么它的逆命原命题是真命题，那么它的逆命题也是真命题吗？题也是真命题吗？讨论：我们如何判断一个命题的真假？讨论：我们如何判断一个命题的真假？要判断一个命题是要判断一个命题是真命题真命题需要需要推理论证推理论证；要；要判断一个命题是判断一个命题是假命题假命题只要举出一个只要举出一个反例反例即可。即可。例如：相等的两个角是对顶角。例如：相等的两个角是对顶角。12 反例：符合命题条件，但不符合命题结论的例子。反例：符合命题条件，但不符合命题结论的例子。当一个命题是真命题时，他的逆命题不当一个命题是真命题时，他的逆命题不一定是真命题一定是真命题例：指出以下命题的条
10、件和结论，并说出例：指出以下命题的条件和结论，并说出其逆命题其逆命题1两条直线都平行于同一条直线，这两两条直线都平行于同一条直线，这两条直线平行条直线平行2如果如果A=B，那么，那么A的补角与的补角与B的补角相等的补角相等学生练习：书本学生练习：书本77面面1 1、什么是命题？命题的结构是什么？、什么是命题？命题的结构是什么？2 2、什么是真命题？什么是假命题？如何说明、什么是真命题？什么是假命题？如何说明一个命题是一个假命题？一个命题是一个假命题？3 3、如果原命题是真命题，那么它的逆命题是、如果原命题是真命题，那么它的逆命题是否一定是真命题？否一定是真命题？1是是3的的 ，两边分别在同一条
11、直线上，两边分别在同一条直线上.因此一个角的对顶角可看作是把这个角的两边因此一个角的对顶角可看作是把这个角的两边 延延长得到的没有公共边的角长得到的没有公共边的角AOC和BOD有公共顶点，且AOC的两边分别是BOD两边的反向延长线.如图直线AB与CD相交于点O，1和3有公共顶点O，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角.对顶角：那么对顶角有那么对顶角有什么样的关系呢？什么样的关系呢？由12180，23180，可得13.对顶角相等对顶角相等3=11=68 3=68解：解：等量代换等量代换2=1801=1124=2=112对顶角相等对顶角相等 如图所示，有一个破损的扇形零件，怎样用量
12、角器量出这个扇形零件的圆心角的度数.观察以下各图，寻找对顶角不含平角观察以下各图，寻找对顶角不含平角)ABCDOabcAABBCCDDOOEFGH 如图如图a a，图中共有，图中共有 对对顶角对对顶角 如图如图b b，图中共有，图中共有 对对顶角对对顶角 如图如图c c，图中共有，图中共有 对对顶角对对顶角 研究小题中直线条数与对顶角的对数之研究小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，假设有间的关系，假设有n n条直线相交于一点，那么可形成条直线相交于一点，那么可形成 对对顶角对对顶角 假设有假设有20212021条直线相交于一点，那么可形成条直线相交于一点，那么可形成 对对对顶角对顶角.其中
13、一条直线叫做另一条其中一条直线叫做另一条直线的直线的垂线垂线1.定义：当两条直线AB和CD所成的四个角中，如果有一个角是直角时，我们就说这两条直线互相垂直.2.垂直用符号“来表示，读作“垂直于.如“直线AB垂直于直线CD，就记作“ABCD.O OA AB BC CD D3.交点O叫做垂足探究新知探究新知：垂线的定义FEMNO记作：记作：_,垂足为垂足为_.ABOE记作：记作：_，垂足为垂足为_.试一试试一试 填一填填一填MNEFOABOEO或者或者MNEF于于O或者或者ABOE于于O你能举出生活中直线互相垂直的例子吗？你能举出生活中直线互相垂直的例子吗？生活中的垂直生活中的垂直1 1、ABCD
14、ABCD 1=90 1=90垂线的定垂线的定义义2 2、1=901=90 ABCD ABCD垂线的定垂线的定义义A AB BC CD D1 1A AB BC CD D1 1垂直有以下两层含义解：解：135，255 垂直垂直 AOE18012 1803555 90OEAB (垂直的定义垂直的定义)CDABOE12例例 如图，直线如图，直线AB、CD都经过都经过O点，点，OE为射线，假设为射线，假设135 255，那么，那么OE与与AB的位置关系的位置关系是是 .应用新知应用新知1、两条直线相交所成的四个角中，以下条件中能两条直线相交所成的四个角中，以下条件中能判判定两条直线垂直的是定两条直线垂直
15、的是()A 有两个角相等有两个角相等 B有两对角相等有两对角相等 C 有三个角相等有三个角相等 D 有四对邻补角有四对邻补角C 练一练练一练2、下面四种判定两条直线的垂直的方法，正确、下面四种判定两条直线的垂直的方法，正确的有的有 个个1两条直线相交所成的四个角中有一个角是两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直直角，那么这两条直线互相垂直 2两条直线相交，只要有一组邻补角相等，两条直线相交，只要有一组邻补角相等，那么这两条直线互相垂直那么这两条直线互相垂直 3两条直线相交，所成的四个角相等，这两两条直线相交，所成的四个角相等，这两条直线互相垂直条直线互相垂直 4两条直
16、线相交，有一组对顶角互补，那么两条直线相交，有一组对顶角互补，那么这两条直线互相垂直这两条直线互相垂直 A 4 B 3 C 2 D 1ALOA动手操作LABLAB根据以上的操作，你能得出什么结论？根据以上的操作，你能得出什么结论？垂线的第一性质：垂线的第一性质：过一点有且只有一条直线与直线垂直过一点有且只有一条直线与直线垂直.1“过一点中的点，可以在直线上，过一点中的点，可以在直线上，也可以在直线外也可以在直线外.2“有且只有中，有且只有中，“有指存在，有指存在，“只有指唯一性只有指唯一性.注意：注意：总结：总结：1.在小学学段我们曾在小学学段我们曾通过折纸的方法，通过折纸的方法，得到两条垂得
17、到两条垂线，现在你可以用几种折法得到两条垂线？线，现在你可以用几种折法得到两条垂线？2.2.如图如图(5)(5)：直线：直线a a上有一点上有一点A A，经过点，经过点A A，你能折出，你能折出几条与几条与a a垂直的直线？如图垂直的直线？如图(6)(6)：直线：直线a a外有一点外有一点B,B,经过点经过点B B，你能折出几条与，你能折出几条与a a垂直的直线？垂直的直线？过点A、B分别可以做直线a的几条垂线呢？1.过点过点P 向线段向线段AB 所在直线引垂线，正确的选项是所在直线引垂线，正确的选项是 .A B C DC课堂练习PPPPPPABO2、问题：如何画一条线段或射线的垂线？3.如图如图，AB.CD相交于相交于O,OECD于于O,AOC=36，那么，那么BOE=.A36 (B)64 (C)144 (D)54 ABOCDED
