1、 热点专题 8 二次函数压轴题 二次函数与几何图形相结合的综合性问题， 是近年来全国各地中考的热点题型， 也是大 部分地区全卷的压轴题。近 6 年一直作为河南中考数学压轴题第 23 题呈现，其题型、题序 及分值都比较稳定，题目综合性强，难度大，占 11 分。二次函数压轴题，常考查函数解析 式、交点坐标、图形面积或周长、存在性问题、图形的平移、对称、旋转等，是数与形的相 互结合，相互渗透。 河南省中考 考试说明要求 掌握数形结合，分类讨论等数学思想方法。具有阅读理解能力、收集处 理信息的能力和运用数学知识对问题的探究能力等。 考向考向 1 与线段长、角度有关的二次函数问题与线段长、角度有关的二次
2、函数问题 1.（河南省新乡市长垣市 2020 届九年级上学期期末调研测试数学试题）如图，直线 y x+5 与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 D，抛物线 yx2+bx+c 与直线 yx+5 交于 B， D 两点，点 C 是抛物线的顶点 （1）求抛物线的解析式； （2） 点 M 是直线 BD 上方抛物线上的一个动点， 其横坐标为 m， 过点 M 作 x 轴的垂线， 交直线 BD 于点 P，当线段 PM 的长度最大时，求 m 的值及 PM 的最大值 （3）在抛物线上是否存在异于 B、D 的点 Q，使BDQ 中 BD 边上的高为23，若存 在求出点 Q 的坐标；若不存在请说明理由 2.（2019
3、 年河南省许昌市中考数学二模试卷）如图，抛物线 y1ax2+bx+与 x 轴交于点 A （3，0） ，点 B，点 D 是抛物线 y1的顶点，过点 D 作 x 轴的垂线，垂足为点 C（1，0） （1）求抛物线 y1所对应的函数解析式； （2）如图 1，点 M 在抛物线 y1上，横坐标为 m，连接 MC，若MCBDAC，求 m 的值； （3）如图 2，将抛物线 y1平移后得到顶点为 B 的抛物线 y2点 P 为抛物线 y1上的一个 动点，过点 P 作 y 轴的平行线，交抛物线 y2于点 Q，过点 Q 作 x 轴的平行线，交抛物线 y2于点 R当以点 P，Q，R 为顶点的三角形与ACD 全等时，请直
4、接写出点 P 的坐标 考向考向 2 与周长、面积有关的二次函数问题与周长、面积有关的二次函数问题 1.（2019 年河南省中原名校中考第三次大联考数学试卷）如图，直线 yx+5与 x 轴交于 点 B，与 y 轴交于点 C，抛物线 yx2+bx+c 与直线 yx+5 交于 B，C 两点，已知点 D 的坐标为（0，3） （1）求抛物线的解析式； （2）点 M，N分别是直线 BC和 x轴上的动点，则当DMN的周长最小时，求点 M，N 的 坐标，并写出DMN 周长的最小值； （3） 点 P 是抛物线上一动点， 在 （2） 的条件下， 是否存在这样的点 P， 使PBAODN？ 若存在，请直接写出点 P的
5、坐标；若不存在，请说明理由 2.(2019 年河南省实验外国语学校中考数学模拟试卷)如图，直线 y- 1 2 x-3 与 x轴，y轴分别 交于点 A，C，经过点 A，C的抛物线 yax2+bx3与 x轴的另一个交点为点 B(2，0)，点 D 是抛物线上一点，过点 D作 DEx轴于点 E，连接 AD，DC设点 D的横坐标为 m (1)求抛物线的解析式； (2)当点 D在第三象限，设DAC的面积为 S，求 S与 m 的函数关系式，并求出 S的最大值 及此时点 D的坐标； (3)连接 BC，若EADOBC，请直接写出此时点 D的坐标 考向考向 3 与特殊三角形有关的二次函数问题与特殊三角形有关的二次
6、函数问题 1.（2019 年河南省实验中学中考三模数学试卷）.如图，矩形 OABC中，点 O 为原点，点 A 的坐标为（0，8） ，点 C 的坐标为（6，0） 抛物线 2 4 9 yxbxc 经过 A、C 两点，与 AB 边交于点 D （1）求抛物线的函数表达式； （2）点 P 为线段 BC上一个动点（不与点 C 重合） ，点 Q 为线段 AC上一个动点，AQ=CP， 连接 PQ，设 CP=m，CPQ的面积为 S 求 S 关于 m的函数表达式，并求出 m 为何值时，S 取得最大值； 当 S 最大时，在抛物线 2 4 9 yxbxc 的对称轴 l上若存在点 F，使FDQ 为直角三 角形，请直接写
7、出所有符合条件的 F的坐标；若不存在，请说明理由 2.（新乡市名校联考 2019-2020 学年九年级上学期期末数学试题）如图，抛物线 2 y2axxc经过( 1,0)A ，B两点， 且与y轴交于点 (0,3)C ， 抛物线与直线1yx 交于A，E两点 （1）求抛物线的解析式； （2）坐标轴上是否存在一点Q，使得AQE是以AE为底边的等腰三角形？若存在，请直 接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由 （3）P点在x轴上且位于点B的左侧，若以P，B，C为顶点的三角形与ABE相似， 求点P的坐标 考向考向 4 与特殊四边形有关的二次函数问题与特殊四边形有关的二次函数问题 1.（河南省外国语中学 201
8、9 届九年级中招适应性测试卷数学试题）如图，在平面直角坐标 系 xOy中，已知抛物线 y=ax2-2x+c 与直线 y=kx+b 都经过 A（0，-3） 、B（3，0）两点，该抛 物线的顶点为 C （1）求此抛物线和直线 AB 的解析式； （2）设直线 AB与该抛物线的对称轴交于点 E，在射线 EB 上是否存在一点 M，过 M 作 x 轴的垂线交抛物线于点 N，使点 M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点 M 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）设点 P是直线 AB 下方抛物线上的一动点，当PAB面积最大时，求点 P的坐标，并求 PAB面积的最大值 2. （河南省洛阳市 2019
9、-2020 学年九年级上学期期中数学试题） 如图， 抛物线 2 yxbxc 交x轴于A，B两点，交y轴于点C.直线 1 2 2 yx 经过点B，C. （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线BC上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为m. 求PBC面积最大值和此时m的值； Q是直线BC上一动点，是否存在点P，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四 边形，若存在，直接写出点P的坐标. 3.（河南省濮阳市县区 2019-2020 学年九年级上学期期末数学试题）如图，已知抛物线 2 3)0(yabxa经过点()1,0A和点3,0B，与y轴交于点C. （1）求此抛物线的解析式； （2）若点P是直线BC
10、下方的抛物线上一动点（不点B，C重合） ，过点P作y轴的平行 线交直线BC于点D，设点P的横坐标为m. 用含m的代数式表示线段PD的长； 连接PB，PC，求PBC的面积最大时点P的坐标； （3）设抛物线的对称轴与BC交于点E，点M是抛物线的对称轴上一点，N为y轴上一 点，是否存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？ 如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由. 考向考向 5 与三角形相似有关的二次函数问题与三角形相似有关的二次函数问题 1.（河南省新乡市辉县市 2019-2020 学年九年级上学期期末数学试题）已知抛物线 2 3yaxbx与 x轴分别交于
11、(3,0)A ，(1,0)B两点，与 y轴交于点 C （1）求抛物线的表达式及顶点 D的坐标； （2）点 F 是线段 AD上一个动点 如图 1，设 AF k AD ，当 k何值时， 2 CFAD 1 . 如图 2，以 A，F，O 为顶点的三角形是否与ABC相似？若相似，求出点 F的坐标；若 不相似，请说明理由 2. （2020 年河南省中考数学一模试题） 如图， 抛物线 2 yaxbxc与 x 轴交于点( 1,0)A ， 点(3,0)B，与 y轴交于点 C，且过点(2, 3)D点 P、Q是抛物线 2 yaxbxc上的动 点 (1)求抛物线的解析式； (2)当点 P在直线 OD下方时，求POD面积的最大值 (3)直线 OQ与线段 BC相交于点 E，当OBE与ABC相似时，求点 Q的坐标
