1、 专题 04 相切的存在性问题解题策略 专题攻略 一、圆与圆的位置关系问题，一般无法先画出比较准确的图形 解这类问题，一般分三步走，第一步先罗列三要素：R、r、d，第二 步分类列方程，第 三步解方程并验根 第一步在罗列三要素 R、r、d 的过程中，确定的要素罗列出来以后，不确定的要素要用 含有 x 的式子表示第二步分类列方程，就是指外切与内切两种情况 二、直线与圆的位置关系问题，一般也无法先画出比较准确的图形 解这类问题，一般也分三步走，第一步先罗列两要素：R 和 d，第二步列方程，第三步 解方程并验根 第一步 在罗列两要素 R 和 d 的过程中，确定的要素罗列出来以后，不确定的要素要用 含有
2、 x 的式子表示第二步列方程，就是根据直线与圆相切时 dR 列方程 例题解析 例 如图 1-1，已知抛物线 yx21 与 x 轴相交于 A、B 两点 （1）有一半径为 r 的P，且圆心 P 在抛物线上运动， 当P 与两坐标轴都相切时，求半径 r 的值； （2）半径为 1 的P 在抛物线上，当点 P 的纵坐标在 什么范围内取值时，P 与 y 轴相离、相交？ 图 1-1 【解析】 （1）如果P 与两坐标轴都相切，那么圆心 P 到两坐标轴的距离相等画直线 yx 和 yx，四个圆心 P 就都找到了，如图 1-2，图 1-3其实求半径 r，只需一个图就 可以了，P 的半径为 r|x| 5+1 2 或 5
3、1 2 （2）要判断P 与 y 轴相离、相交，先找到临界位置P 与 y 轴相切，此时 x1 或 x 1如图 1-4，可以想象，当圆心 P 在 x 轴下方时，P 与 y 轴相交，此时1yP0； 当圆心 P 在 x 轴上方时，P 与 y 轴相离，此时 yP0 图 1-2 图 1-3 图 1-4 例 如图 2-1，ABC 中，BCAC5，AB8，CD 为 AB 边上的高如图 2-1，A 在 原点处，点 B 在 y 轴的正半轴上，点 C 在第一象限若 A 从原点出发，沿 x 轴向右以每秒 1 个单位长的速度运动，则点 B 随之沿 y 轴下滑，并带动ABC 在平面上滑动如图 2-2，设 运动的时间为 t
4、 秒，当 B 到达原点时停止运动当以点 C 为圆心、CA 为半径的圆与坐标轴 相切时，求 t 的值 图 2-1 图 2-2 【解析】这道题讲一下画图策略，答案就在图形中 （1）如图 2-3，画 x 轴，取点 A；作 CAx 轴，且 CA5；以 CA 为半径画C，以 A 为圆心，8 为半径画弧，产生点 B 如图 2-4，过点 B 画 y 轴在 RtAOB 中，已知 AB 和1，求得 OAt4.8 （2）如图 2-5，先画 y 轴和点 B，产生点 A 后再画 x 轴求得 OAt6.4 图 2-3 图 2-4 图 2-5 例 如图 3-1，A(5,0)，B(3,0)，C(0, 3)，四边形 OADC
5、 是矩形点 P 从点 Q(4,0) 出发， 沿 x 轴向左以每秒 1 个单位 长的速度运动， 以 PC 为半径的P 随点 P 的运动而变化， 当P 与四边形 ABCD 的边（或边所在的直线）相切时，求运动时间 t 的值 图 3 -1 【解析】我们先根据“dr”讲解题策略 如图 3-2，动点 P 到切线 BC 的所有垂线段中，哪条等于半径 PC？此时 P(3, 0)，t1 如图 3-3，动点 P 到 切线 DC 的所有垂线段中，半径 PC 是哪条？此时 P(0, 0)，t4 如图 3-4，动点 P 到切线 AD 的距离就是 PA，PA 与半径 PC 相等，点 P 在 AC 的垂直平 分线上，此时
6、在 RtPCO 中，由勾股定理解得 AP3.6，所以 QP5.4，t5.4. 图 3-2 图 3-3 图 3-4 我们再灵活应用“圆的切线垂直于经过切点的半径”画图，答案就在图形中 如图 3-5，经过切点 C 画切线 BC 的垂线，与 x 轴的交点就是 P(3, 0) 如图 3-6，经过切点 C 画切线 DC 的垂线，与 x 轴的交点就是 P(0, 0) 如图 3-7，已知圆上两点 A 和 C，画 AC 的垂直平分线，与 x 轴的交点就是 P 图 3-5 图 3-6 图 3-7 例 如图 4-1， 已知抛物线 ymx2bxc(m0)经过 A(1, 0)、 B(3,0)两点， 顶点为 P， 与
7、y 轴交于点 DC 的直径为 A、B，当 m 为何值时，直线 PD 与C 相切？ 图 4-1 【解析】由 ym(x1)(x3)，可得 D(0,3m)，P(1,4m) C 的半径为 2，切线 PD 随 m 变化 如图 4-2，先假设切点为 E，那么CPEPDF由 sinCPEsinPDF，得 CEPF CPPD 解方程 2 21 4 1 m m ，得 3 3 m 所以当 3 3 m 时，直线 PD 与C 相切 事实上，此时直线 PD 与C 相切于点 D，PCD30（如图 4-3） 图 4-2 图 4-3 例 如图 5-1，在梯形 ABCD 中，ABC90，ADBC，AB8，BC18， 5 4 s
8、inBCD，点 P 从点 B 开始沿 BC 边向终点 C 以每秒 3 个单位的速度移动，点 Q 从点 D 开始沿 DA 边向终点 A 以每秒 2 个单位的速度移动，设运动时间为t秒如果P 的半径 为 6， Q 的半径为 4， 在移动的过程中， 试探索：t为何值时P 与Q 外离、 外切、 相交？ 图 5-1 【解析】对于P，R6；对于Q，r4圆心距 dPQ 怎么表示呢？ 如图 5-2，PQ2QH2PH282(125t)2 当两圆外切时，由 dRr10，得 d2102 解方程 82(12 5t)2102，得 t1.2（如图 5-3） ，或 t3.6（如图 5-4） 现在，我们想象两圆的运动过程，从
9、外离到外切、相交，再到外切，外离，然后写出结 论：当 0t1.2 和 3.6t6 时，两圆外离；当 1.2t3.2 时，两圆相交 图 5-2 图 5-3 图 5-4 例 如图 6-1，RtABC 中，ACB90，AC4 厘米，BC3 厘米，O 为ABC 的内切圆 （1）求O 的半径； （2）动点 P 从点 B 沿 BA 向点 A 以每秒 1 厘米的速度匀速运动，以 P 为圆心，PB 为 半径作圆设点 P 运动的时间为 t 秒，若P 与O 相切，求 t 的值 图 6-1 【解析】如图 6-2，O 的半径 r1（厘米） 对于O，r1；对于P，Rt；圆心距 dOP 在 RtPOH 中解决（如图 6-
10、3） 由 OP2OH2PH212(2t)2，得 dOP 2 45tt 当P 与O 外切时，由 dRr，得 2 451ttt 解得 2 3 t （如图 6-4） 当P 与O 内切时，由 d|Rr|，得 2 45 |1|ttt解得 t2（如图 6-5） 图 6-2 图 6-3 图 6-4 图 6-5 例 如图 7-1，已知直线 l： 4 4 3 yx与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，O 的半径为 1， 点 C 是 y 轴正半轴上的一点，如果C 既与O 相切，也与直线 l 相切，求圆心 C 的坐标 图 7-1 【解析】先确定C 与直线 l 相切，再解方程C 与O 相切 如图 7-2，过点 C 作
11、 CDAB，垂足为 D设 BC5m，半径 CD3m 对于O，r1；对于C，R3m；圆心距 dOCOBBC45m 当两圆外切时，Rrd解方程 3m145m，得 3 8 m 此时 17 (0,) 8 C （如图 7-3） 当两圆内切时，Rrd解方程 3m145m，得 5 8 m 此时 7 (0, ) 8 C （如图 7-4） 图 7-2 图 7-3 图 7-4 例 如图 8-1， 已知在等腰ABC 中， ABAC5， BC6， 点 D 为 BC 边上一动点 （不 与点 B 重合） ，过点 D 作射线 DE 交 AB 于点 E，BDEA，以点 D 为圆心，DC 的长为 半径作D设 BDx （1）当D
12、 与边 AB 相切时，求 x 的值； （2）如果E 是以 E 为圆心，AE 的长为半径的圆，当D 与E 相切时，求 x 的值 图 8-1 【解析】如图 8-2，ABAC 和BDEA，隐含了ABCDBE ，DBDEx （1）如图 8-3，当D 与边 AB 相切时，dr，解 DHDC 就可以了 解方程 4 6 5 xx，得 10 3 x （2）对于D，RDC6x；对于E，rAEABBE 6 5 5 x； 圆心距 dDEDBx 当两圆外切时，由 dRr，得 6 (6)(5) 5 xxx 解得 55 16 x （如图 8-4） 当两圆内切时，由 dRr，得 6 (6)(5) 5 xxx 解得 5 4
13、x （如图 8-5） 图 8-2 图 8-3 图 8-4 图 8-5 例 如图 9-1， 一个 RtDEF 的直角边 DE 落在 AB 上， 点 D 与点 B 重合， 过 A 点作射 线 AC 与斜边 EF 平行，已知 AB12，DE4，DF3如图 9-2，点 P 从 A 点出发，沿射 线 AC 方向以每秒 2 个单位的速度运动，Q 为 AP 的中点同时 RtDEF 沿着 BA 方向以每 秒 1 个单位的速度运动，当点 D 运动到点 A 时，两个运动都停止在运动过程中，是否存 在以点 Q 为圆心的圆与 RtDEF 的两条直角边所在直线都相切？若存在，求运动时间 t， 若不存在，说明理由 图 9
14、-1 图 9-2 【解析】这道题目我们讲画图的策略注意到 AQBDt 如图 9-3，画CAMCAB；在射线 AM 上取一点 D，过点 D 作 AM 的垂线；画直 角的平分线产生 点 Q；在点 D 右侧截取 DBAQ 作 QHAM 于 H，以 QH 为半径的Q 符合题意 由 QHDH，得 39 12 55 tt解得 t5 过点 D 画直角的平分线还有图 9-4 的情形，此时 DH 9 12 5 t 解方程 93 12 55 tt，得 t10 从上面的过程我们可以体验到，画图与点 P 无关，与DEF 无关我们去伪存真，A 的大小确定，以 D 为顶点构造直角，作直角的平分线产生点 Q，截取得到点 B 就可以了 图 9-4 图 9-5
