1、 决战决战 20202020 年中考典型压轴题大突破年中考典型压轴题大突破 模块二模块二 中考压轴题几何变换综合专题中考压轴题几何变换综合专题 考向导航考向导航 在近几年的中考试题中，为了体现教育部关于中考命题改革的精神，出现了动手操作题。动手操作 题是让学生在通过实际操作的基础上设计有关的问题。这类题对学生的能力有更高的要求，有利于培养学 生的创新能力和实践能力，体现新课程理念。此类试题的显著特点是以动手为基础的手脑并用的形式，有 助于创新能力的培养和实践能力的提高，改变了以往一只笔一张纸的学习方式，是新课程改革的基本理念 之，在中考中越来越受到关注。常见的有折叠、旋转和平移操作。操作型问题
2、是指通过动手测量作图(象)、 取值、计算等实验，猜想获得数学结论的探索研究性活动，这类活动完全模拟以动手为基础的手脑结合的 科学研究形式，需要动手操作、合情合理和验证，不但有助于实践能力和创新能力的培养，更有助于养成 实验研究的习惯，符合新课程标准，特别强调发现式学习、探究式学习和研究式学习，鼓励学生进行“微 科研”活动，提倡要积极引导学生从事实验活动和实践活动，培养学生乐于动手、勤于实践的意识和习惯， 切实提高学生的动手能力、实践能力的指导思想因此，实验操作问题将成为今后中考的热点题型。 专题 06 平移、旋转问题 方法点拨方法点拨 旋转类问题证明问题，既体现此类题型的动手能力、又能利用几何
3、图形的性质进行全等、相似等证明。 精典例题精典例题 （2019大同二模）综合与实践 问题情境：如图 1，在数学活动课上，老师让同学们画了等腰 RtABC 和等腰 RtADE，并连接 CE， BD 操作发现：（1）当等腰 RtADE 绕点 A 旋转，如图 2，勤奋小组发现了： 线段 CE 与线段 BD 之间的数量关系是 ECBD 直线 CE 与直线 BD 之间的位置关系是 BDEC 类比思考：（2）智慧小组在此基础上进行了深入思考，如图 3，若ABC 与ADE 都为直角三角形， BACDAE90，且 AC2AB，AE2AD，请你写出 CE 与 BD 的数量关系和位置关系，并加以证 明 拓展应用：
4、（3）创新小组在（2）的基础上，又作了进一步拓展研究，当点 E 在直线 AB 上方时，若 DE AB，且 AB= 5，AD1，其他条件不变，试求出线段 CE 的长（直接写出结论） 【点睛】（1）如图 2 中，延长 BD 交 AC 于点 O，交 EC 于 H证明EACDAB（SAS），即可解决 问题 （2） 结论： CE2BD， CEBD 如图 3 中， 延长 BD 交 AC 于点 O， 交 EC 于点 H 证明ABDACE， 即可解决问题 （3）如图 4 中，当 DEAB 时，设 DE 交 AC 于 H，易证 ACDE求出 EH，CH，理由勾股定理即可 解决问题 【详解】解：（1）如图 2 中
5、，延长 BD 交 AC 于点 O，交 EC 于 H AEAD，ACAB，EADCAB90， EACDAB， EACDAB（SAS）， ECBD，ECAABD， ABD+AOB90，AOBCOH， ECA+COH90， CHO90， BDEC， 故答案为 ECBD，BDEC （2）结论：CE2BD，CEBD 理由：如图 3 中，延长 BD 交 AC 于点 O，交 EC 于点 H BACDAE， BADCAE， AC2AB，AE2AD， = = 1 2， ABDACE， = = 1 2， CE2BD，ABDACE， ABD+AOB90，AOBCOH， ECA+COH90， CHO90， BDEC
6、（3）如图 4 中，当 DEAB 时，设 DE 交 AC 于 H，易证 ACDE AE2AD，AD1， AE2，DE= 5，AH= 25 5 ，EH= 45 5 ， AC2AB，AB= 5， CHACAH= 85 5 ， 在 RtECH 中，EC= 2+ 2=(4 5 5 )2+ (8 5 5 )2=4 巩固突破巩固突破 1（2019邓州市二模）阅读材料 如图，ABC 与DEF 都是等腰直角三角形，ACBEDF90，且点 D 在 AB 边上，AB、EF 的中点均为 O，连接 BF、CD、CO，显然，点 C、F、O 在同一条直线上，可以证明BOFCOD， 所以 BFCD 解决问题： （1）将图中
7、的 RtDEF 绕点 O 旋转到图的位置，猜想此时线段 BF 与 CD 的数量关系，并证明你 的结论； （2）如图，若ABC 与DEF 都是等边三角形，AB、EF 的中点均为 O，上述（1）中结论仍然成立 吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出 BF 与 CD 之间的数量关系； （3）如图，若ABC 与DEF 都是等腰三角形，AB、EF 的中点均为 O，且顶角ACBEDF， BF 与 CD 之间的数量关系如何（用含 的式子表示出来）？请直接写出结果 【点睛】（1）如答图所示，连接 OC、OD，由全等三角形的判定定理 SAS 证明BOFCOD； （2）如答图所示，连接 OC、OD，由等边三
8、角形的性质和锐角三角函数的定义推知 = = 3 3 ， 结合BOFCOD 即可证明BOFCOD，相似比为 3 3 ； （3）如答图所示，连接 OC、OD，由等边三角形的性质和锐角三角函数的定义推知 = =tan 2， 结合BOFCOD 即可证明BOFCOD，相似比为 tan 2 【详解】解：（1）猜想：BFCD理由如下： 如答图所示，连接 OC、OD ABC 为等腰直角三角形，点 O 为斜边 AB 的中点， OBOC，BOC90 DEF 为等腰直角三角形，点 O 为斜边 EF 的中点， OFOD，DOF90 BOFBOC+COF90+COF，CODDOF+COF90+COF， BOFCOD 在
9、BOF 与COD 中， = = = BOFCOD（SAS）， BFCD （2）答：（1）中的结论不成立 如答图所示，连接 OC、OD ABC 为等边三角形，点 O 为边 AB 的中点， =tan30= 3 3 ，BOC90 DEF 为等边三角形，点 O 为边 EF 的中点， =tan30= 3 3 ，DOF90 = = 3 3 BOFBOC+COF90+COF，CODDOF+COF90+COF， BOFCOD 在BOF 与COD 中， = = 3 3 ，BOFCOD， BOFCOD， = 3 3 （3）如答图所示，连接 OC、OD ABC 为等腰三角形，点 O 为底边 AB 的中点， =tan
10、 2，BOC90 DEF 为等腰三角形，点 O 为底边 EF 的中点， =tan 2，DOF90 = =tan 2 BOFBOC+COF90+COF，CODDOF+COF90+COF， BOFCOD 在BOF 与COD 中， = =tan 2，BOFCOD， BOFCOD， =tan 2 2（2019中原区校级四模）问题发现：如图（1）在 RtABC 和 RtBDE 中，ADEB30，BC BE6，RtBDE 绕点 B 逆时针旋转，H 为 CD 的中点，当点 C 与点 E 重台时，BH 与 AE 的位置关系 为 BHAE ，BH 与 AE 的数量关系为 AE23BH ； 问题证明：在 RtBD
11、E 绕点 B 旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图（2）的情 形给出证明若不成立，请说明理由； 拓展应用：在 RtBDE 绕点 B 旋转的过程中，当 DEBC 时，请直接写出 BH2的长 【点睛】问题发现：如图 1 中，结论：AE23BH，AEBH解直角三角形求出 AC，BH 即可判断 问题证明：如图 2 中，（1）中结论成立延长 BH 到 F 使得 HFBH，连接 CF设 AE 交 BF 于 O证 明ABEBCF 即可解决问题 拓展应用：分两种情形：如图 31 中，当 DE 在 BC 的下方时，延长 AB 交 DE 于 F当 DE 在 BC 的上方时，利用上面结论求出 A
12、E2即可解决问题 【详解】解：问题发现：如图 1 中，结论：AE23BH，AEBH 理由：在 RtABC 中，BC6，A30， AE2BC12， 在 RtCDB 中，DCB30， CD= 30 =43， CHDH， BH= 1 2CD23， = 12 23 =23， AE23BH 故答案为 AEBH，AE23BH 问题证明：如图 2 中，（1）中结论成立 理由：延长 BH 到 F 使得 HFBH，连接 CF设 AE 交 BF 于 O CHDH，BHHF，CHFBHD， CHFDHB（SAS）， BDCF，FDBH， CFBD， AB= 3BC，BE= 3BD， BE= 3CF， = =3， C
13、FBD， BCF+CBD180， ABC+DBEABD+CBD+CBD+CBECBD+ABE180， BCFABE， ABEBCF， CBFBAE， = =3， AE= 3BF23BH， CBF+ABF90， ABF+BAE90， AOB90， BHAE 拓展应用：如图 31 中，当 DE 在 BC 的下方时，延长 AB 交 DE 于 F DEBC ABCBFD90， 由题意 BCBE6，AB63，BD23，DE43， 1 2BDBE= 1 2DEBF， BF= 623 43 =3， EF= 3BF33， AF63 +3， AE2AF2+EF2（63 +3）2+（33）2144+363 AE2
14、3BH， AE212BH2， BH212+33 如图 32 中，当 DE 在 BC 的上方时，同法可得 AF63 3，EF33， BH2= 2 12 =（(63;3) 2:(33)2 12 =1233 【点评】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和 性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问 题，属于中考压轴题 3（2019宛城区二模）【问题背景】如图，在 RtABC 中，BAC90，ABAC，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，ADAE，连接 DC，BE，点 P 为 DC 的中点 【观察猜想】观察图
15、 1，猜想线段 AP 与 BE 的数量关系是 AP= 1 2BE ，位置关系是 PABE （2）【拓展探究】把ADE 绕点 A 逆时针方向旋转到图 2 的位置，（1）中的结论是否仍然成立，若成 立，请证明：否则写出新的结论并说明理由 （3）【问题解决】把ADE 绕点 A 在平面内自由旋转，若 DE4，BC8，请直接写出线段 AP 长的取 值范围 【点睛】（1）如图 1 中，设 PA 交 BE 于点 O证明DACEAB（SAS），结合直角三角形斜边中线 的性质即可解决问题 （2）结论成立如图 2 中，延长 AP 到 J，使得 PJPA，连接 JC延长 PA 交 BE 于 O证明EAB JCA（S
16、AS），即可解决问题 （3）利用三角形的三边关系求出 AJ 的取值范围，即可解决问题 【详解】解：（1）如图 1 中，设 PA 交 BE 于点 O ADAE，ACAB，DACEAB， DACEAB（SAS）， BECD，ACDABE， DAC90，DPPC， PA= 1 2CDPCPD， PA= 1 2BECPAE， CAP+BAO90， ABO+BAO90， AOB90， PABE， 故答案为：AP= 1 2BE，PABE （2）结论成立 理由：如图 2 中，延长 AP 到 J，使得 PJPA，连接 JC延长 PA 交 BE 于 O PAPJ，PDPC，APDCPJ， APDJPC（SAS）
17、， ADCJ，ADPJCP， ADCJ， DAC+ACJ180， BACEAD90， EAB+DAC180， EABACJ， ABAC，AEADCJ， EABJCA（SAS）， BEAJ，CAJABE， PA= 1 2AJ， PA= 1 2BE， CAJ+BAO90， ABE+BAO90， AOB90， PABE （3）AED，ABC 都是等腰三角形，DE4，BC8， ADAE22，ACAB42 由（2）可知 CJAD22，AC42， 42 22 AJ42 +22， 22 AJ62， AJ2AP， 2 PA32 4（2019中原区校级三模）等腰直角三角形 ABC 中，ACBC42，E 为 AC
18、 中点，以 CE 为斜边作如 图所示等腰直角三角形 CED （1）观察猜想：如图 1 所示，过 D 作 DFAE 于 F，交 AB 于 G，线段 CD 与 BG 的关系为 CDBG， CDBG ； （2）探究证明：如图 2 所示，将CDE 绕点 C 顺时针旋转到如图所示位置，过 D 作 DFAE 于 F，过 B 作 DE 的平行线与直线 FD 交于点 G，（1）中结论是否成立？请说明理由； （3）拓展延伸：如图 3 所示，当 E、D、G 共线时，直接写出 DG 的长度 【点睛】（1）先根据等腰三角形三线合一得：PCAB，证明PCB 和PDG 是等腰直角三角形，可得 PCPB，PDPG，可得结论
19、； （2）如图 2，作辅助线，构建全等三角形，证明ACEBCH（SAS），得 AEBH，EACHBC， 根据三角形的内角和定理可得：AKBACB90，所以可以证明四边形 BHDG 为平行四边形，从 而得结论； （3）存在两种情况：分别根据勾股定理进行计算即可 【详解】解：（1）CDBG，CDBG， 理由是：如图 1，延长 CD 交 AB 于 P， EDC 是等腰直角三角形， ECD45， ACB90， ACPBCP45， ACBC， PCAB，即 CDBG， PCB 是等腰直角三角形， PCPB， DFAC，ACBC， FGBC， DGPB45， PDG 是等腰直角三角形， PDPG， PCP
20、DPBPG，即 CDBG； 故答案为：CDBG，CDBG； （2）如图 2，延长 ED 至 H，使得 DHDE，连接 CH、BH，延长 BH 交 AE 于 K，设 AC 与 BK 交于点 O， CDE 是等腰直角三角形 CDDE CECH，ECDHCD45 ECH90 CEH 为等腰直角三角形， ECHACB90， ACEBCH， 又ACBC，ECHC ACEBCH（SAS）， AEBH，EACHBC， 又AOKBOC， AKBACB90， 又DFAE， BHGE， 又BGEH， 四边形 BHDG 为平行四边形， DHBG， 又CDDEDH，CDDH， CDBG，CDBG； （3）存在两种情况
21、： 如图 4，由（2）知：CDDEBG2， 当 E、D、G 三点共线时，RtBCD 中，CDB90， CD2，BC42， BD= 2 2=(42)2 22=27， DGBDBG27 2； 如图 5，E、D、G 三点共线， 同理可得：BD27， DGBD+BG27 +2， 综上，DG 的长为 27 2 或 27 +2 5 （2019金水区校级模拟）如图，ABC 与CDE 为等腰直角三角形，BACDEC90，连接 AD， 取 AD 中点 P，连接 BP，并延长到点 M，使 BPPM，连接 AM、EM、AE，将CDE 绕点 C 顺时针旋 转 （1） 如图， 当点D在BC上， E在AC上时， AE与A
22、M的数量关系是 AM= 2AE ， MAE 45 ； （2）将CDE 绕点 C 顺时针旋转到如图所示的位置，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请给出 证明，若不成立，请说明理由； （3）若 CD= 1 2BC，将CDE 由图位置绕点 C 顺时针旋转 （0360），当 ME= 6 2 CD 时， 请直接写出 的值 【点睛】（1）证明四边形 ABDM 是平行四边形即可解决问题 （2）如图 2 中，连接 BD，DM，BD 交 AC 于点 O，交 AE 于 G证明BCDACE，推出CBD CAE， = =2，即可解决问题 （3）如图 2 中，首先证明AEM 是等腰直角三角形，分两种情形画出图形分别求
23、解即可 【详解】解：（1）结论：AM= 2AE，MAE45 理由：如图 1 中， APPD，BPPM， 四边形 ABDM 是平行四边形， AMBC， MAEC， ABAC，BAC90， C45， MAE45， AEMDEC90， AMEEAM45， MA= 2AE 故答案为：AM= 2AE，45 （2）如图 2 中，连接 BD，DM，BD 交 AC 于点 O，交 AE 于 G BC= 2AC，CD= 2CE， = =2， ACBDCE45， BCDACE， BCDACE， CBDCAE， = =2， BD= 2AE， BOCAOG， AGOBCO45， APPD，BPPM， 四边形 ABDM
24、是平行四边形， AMBD，AMBD= 2AE， MAEBGA45， EHAM， AHE 是等腰直角三角形， AH= 2 2 AE，AM= 2AE， AHMH， EAEM， EAMEMA45， AEM90 （3）如图 2 中，作 EHAM 于 H EHAM，MAE45， AHE 是等腰直角三角形， AH= 2 2 AE，AM= 2AE， AHMH， EAEM， EAMEMA45， AEM90 如图 31 中， EMEA= 6 2 CD，设 CD= 2a，则 CEa，BC22a，AC2a，EA= 3a， AC2AE2+EC2， AEC90， tanACE= = 3， ACE60， 旋转角 60 如
25、图 32 中，同法可证AEC90，ACE60，此时旋转角 300 综上所述，满足条件的 的值为 60或 300 6 （2019镇平三模）如图 1，已知直角三角形 ABC，ACB90，BAC30，点 D 是 AC 边上一点， 过 D 作 DEAB 于点 E，连接 BD，点 F 是 BD 中点，连接 EF，CF （1）发现问题：线段 EF，CF 之间的数量关系为 EFCF ；EFC 的度数为 120 ； （2）拓展与探究：若将AED 绕点 A 按顺时针方向旋转 角（030），如图 2 所示，（1）中 的结论还成立吗？请说明理由； （3）拓展与运用：如图 3 所示，若AED 绕点 A 旋转的过程中，
26、当点 D 落到 AB 边上时，AB 边上另有 一点 G，ADDGGB，BC3，连接 EG，请直接写出 EG 的长度 【点睛】（1）利用直角三角形斜边中线定理解决问题即可 （2）结论成立如图 2 中，取 AB 的中点 M，AD 的中点 N，连接 MC，MF，ED，EN，FN想办法证 明MFCNEF（SAS），可得结论 （3）如图 3 中，作 EHAB 于 H想办法求出 EH，HG 即可解决问题 【详解】解：（1）如图 1 中， DEAB， BED90， BCD90，BFDF， FEFBFDCF， FBEFEB，FBCFCB， EFCEFD+CFDFBE+FEB+FBC+FCB2（FBE+FBC）
27、2ABC120， 故答案为：EFCF，120 （2）结论成立 理由：如图 2 中，取 AB 的中点 M，AD 的中点 N，连接 MC，MF，ED，EN，FN BMMA，BFFD， MFAD，MF= 1 2AD， ANND， MFAN，MFAN， 四边形 MFNA 是平行四边形， NFAM，FMAANF， 在 RtADE 中，ANND，AED90， EN= 1 2ADANND，同理 CM= 1 2ABAMMB， 在AEN 和ACM 中， AENEAN，MCAMAC， MACEAN， AMCANE， 又FMAANF， ENFFMC， 在MFC 和NEF 中， = = = ， MFCNEF（SAS）
28、， FEFC，NFEMCF， NFAB， NFDABD， ACB90，BAC30， ABC60，BMC 是等边三角形，MCB60 EFCEFN+NFD+DFCMCF+ABD+FBC+FCBABC+MCB60+60 120 （3）如图 3 中，作 EHAB 于 H 在 RtABC 中，BAC30，BC3， AB2BC6， 在 RtAED 中，DAE30，AD2， DE= 1 2AD1， 在 RtDEH 中，EDH60，DE1， EHEDsin60= 3 2 ， DHEDcos60= 1 2， 在 RtEHG 中，EG=( 3 2 )2+ (2 + 1 2) 2 = 7 7 （2019葫芦岛模拟）
29、 在等腰ABC 中， BAC90， 作ABC 的平分线交 AC 于点 D， MDN135， 将MDN 绕点 D 旋转，使MDN 的两边交直线 BA 于点 E，交直线 BC 于点 F （1）当MDN 绕点 D 旋转到如图的位置时，请直接写出三条线段 AE，CF，AD 的数量关系； （2）当MDN 绕点 D 旋转到如图的位置时，（1）中结论是否成立，若成立，请证明；若不成立， 请写出正确的结论，并说明理由； （3）若 BC2+2，当CDF15时，请直接写出线段 CF 的长度 【点睛】（1）结论：AE+CFAD如图 1 中，作 DHBC 于 H证明DAEDHF（ASA），即可 解决问题 （2）结论不
30、成立应为 CFAEAD如图中，作 DGBC 于点 G，证明DAEEDGF（ASA）， 即可解决问题 （3）分两种情形分别求解：如图1 中，作 DHBC 于 H求出 ADDHCH1，利用（1）中 结论即可解决问题如图2 中，当CDF15时，作 DHBC 于 H，求出 FH即可解决问题 【详解】解：（1）结论：AE+CFAD 理由：如图 1 中，作 DHBC 于 H ABAC，A90， ABCC45， ADHB90， ADH360909045135， EDF135， ADHEDF， ADEHDF， BD 平分ABC，DAAB，DHBC， DADH， DAEDHF（ASA）， AEHF， CHDC4
31、5， DHCHAD， AE+CFHF+CFCHAD （2）不成立应为 CFAEAD 理由如下：如图中，作 DGBC 于点 G， BAC90， DABA， AC 平分ABC， DADG， ABAC，BAC90， ABCACB45， ADG360909045135， MDN135， ADEGDF135ADF， 又DAEDGF90， DAEEDGF（ASA）， AEFG， DCG45DGC90， DCGGDC45， GCDGAD， FCFGGC， FCAEAD （3）如图1 中，作 DHBC 于 H 由（1）可知：DADHCH，设 DADHHCa，则 CD= 2a，ABACBHa+2a， 2a+2a
32、2+2， a1， AD1， CDF15， ADE1801351530， AE= 3 3 ， AE+CFAD， CF1 3 3 如图2 中，当CDF15时，作 DHBC 于 H， ADDHCH1，CFD30， FH= 3DH= 3， CFFHCH= 3 1 综上所述，满足条件的 CF 的值为1 3 3 或3 1 8（2019北辰区二模）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点点 A（3，4）点 B（6，0） （）如图，求 AB 的长； （）如图，把图中的OAB 绕点 B 顺时针旋转，使点 O 的对应点 M 恰好落在 OA 延长线上，N 是点 A 旋转后的对应点求证：BNOM；求点 N 的坐标； （）点
33、 C 是 OB 的中点，点 D 为线段 OA 上的动点在OAB 绕点 B 顺时针旋转过程中，点 D 的对应点 是 P，求线段 CP 长的取值范围（直接写出结果） 【点睛】（）如图中，作 AHOB 于 H求出 AH，BH，利用勾股定理即可解决问题 （）想办法证明BMOMBN 即可 连接 AN，作 NEOB 于 E证明四边形 OANB 是菱形，解直角三角形即可解决问题 （）分别求解 PC 的最小值，最大值即可解决问题 【详解】（）解：如图中，作 AHOB 于 H A（3，4），B（6，0）， OH3，AC4，OB6， BH633， 在 RtACB 中，AB= 2+ 2= 32+ 42=5 （）证明
34、：如图中， 由（1）可知：OAAB， AOBABO， 由旋转可知：OBBM， AOBBMO，MBNABO， BMOMBN， BNOM 解：连接 AN，作 NEOB 于 E OANB，OAOBBN5， 四边形 OANB 是菱形， ANOB，NE4， 在 RtBNE 中，BE= 2 2= 52 42=3， OEOB+BE6+39， N（9，4） （）解：如图1 中，作 BPMN 于 P 则 BP= 46 5 = 24 5 ，当点 P 在 BC 的延长线上时，PC 的值最小，最小值= 24 5 3= 9 5， 当点 P 与点 M 重合，旋转到点 M 在 CB 的延长线上时，PC 的值最大，最大值3+
35、69， 9 5 CP9 9（2019南岗区四模）已知：在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，线段 AB 的两个端点的坐标分别 为 A（0，a），B（b，0），且 a0，b0，将线段 AB 绕点 A 顺时针旋转 90得到线段 AC （1）如图 1，用 a，b 表示点 C 的坐标； （2）如图 2，连接 BC 并延长交 y 轴于点 D，点 E 在 x 轴上，连接 CE，DE，且 BECE，求证：BDE 45； （3）如图 3，在（2）条件下，过点 D 作 BD 的垂线 DF，点 F 在第一象限内，连接 BF 交 CE 于点 G， 若 BG：BC：DF3：3：4，BF17，求 AO 的长 【点睛】
36、（1）如图 1 中，作 CHy 轴于 H证明BOAAHC（AAS），即可解决问题 （2）连接 EA 交 BC 于 L，作 CKOD 于 K证明ABECAD（ASA），即可解决问题 （3）如图 3 中，作DBF 的平分线交 DE 于 P，作 PRBD 于 R，PSDF 于 S，PTBF 于 T则点 P 是BDF 的内心由 BC：BG：DF3：3：4，可以假设 BCBG6k，DF8k，证明DBPBDA （ASA），推出 DPAB32k，推出 DSPSPRDR3k，推出 SFFT5k，BRBT175k， BD172k在 RtBDF 中，利用勾股定理求出 k 即可 【详解】（1）解：如图 1 中，作
37、CHy 轴于 H A（0，a），B（b，0）， OAa，OBb， CHAAOBBAC90， ABO+BAO90，BAO+CAH90， ABOCAH， ABAC， BOAAHC（AAS）， CHOAa，AHOBb， OHab， C（a，ab） （2）证明：连接 EA 交 BC 于 L，作 CKOD 于 K ABAC，EBEC， EA 垂直平分线段 BC， ALBC， ABAC，BAC90， ABLACBCALBAL45， ALBLCL， ACDBAE135， ABAC，ABECAD， ABECAD（ASA）， AECD， LCLA， LDLE，DLE90， BDE45 （3）如图 3 中，作DB
38、F 的平分线交 DE 于 P，作 PRBD 于 R，PSDF 于 S，PTBF 于 T则点 P 是BDF 的内心 BC：BG：DF3：3：4， 可以假设 BCBG6k，DF8k， BCBG，BP 平分CBG， BPCG， 3+BCG90， EABC， 1+CBE1+BCE90， 13， 由（2）可知：12， 32， DBABDP45，BDDB， DBPBDA（ASA）， DPAB32k， DSPSPRDR3k， SFFT5k，BRBT175k，BD172k 在 RtBDF 中，（8k）2（172k）2172， k1， BRBT12，BGBG6，CR6，CDAE9， tanRBP= 1 4 =t
39、anBEA= ，设 OAm，OE4m， m2+16m281， m= 917 17 或 917 17 （舍弃）， OA= 917 17 10（2019洛阳三模）如图 1，在 RtABC 中，C90，AC8，AB10，D，E 两点分别是 AC，CB 上的点，且 CD6，DEAB，将CDE 绕点 C 顺时针旋转一周，记旋转角为 （1）问题发现 当 0时， = 4 3 ； 当 90时， = 4 3 （2）拓展探究 请你猜想当CDE 在旋转的过程中， 是否发生变化？根据图 2 证明你的猜想 （3）问题解决 在将CDE 绕点 C 顺时针旋转一周的过程中，当 AD213时，BE 313 2 ，此时 60或
40、300 【点睛】（1）利用勾股定理求出 BC，再利用平行线分线段成比例定理求出 EC 即可解决问题 正确画出图形，求出 AD，BE 即可解决问题 （2）猜想： 的值不变利用相似三角形的性质即可解决问题 （3）分两种情形：当 AD 在 AC 阿德右侧，当 AD 在 AC 的左侧，分别求解即可 【详解】解：（1）如图 1 中，当 0 时， 在 RtACB 中，C90，AC8，AB10， BC= 102 82=6， DEAB， = ， 6 8 = 6 ， CE= 9 2， DEAB， = ， = = 6 9 2 = 4 3 如图 11 中，当 90时，易知 ADAB10，BE= 2+ 2=62+ (9 2) 2 = 15 2 = 10 15 2 = 4 3 故答案为4 3， 4 3 （2）猜想： 的值不变 理由：如图 2 中， 旋转过程中，DCEACB， ACBDCE， = ， = ，ACDBCE， ACDBCE， = = 4 3 （3）如图 31 中，作 DHAC 于 H设 CHx DH2AD
